Theorem halffl 41057

Description: Floor of (1 / 2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
halffl	⊢ (⌊‘(1 / 2)) = 0

Proof of Theorem halffl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10478	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		halfre 11688	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3		halfgt0 11690	. . 3 ⊢ 0 < (1 / 2)
4	1, 2, 3	ltleii 10599	. 2 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
5		halflt1 11692	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6		1e0p1 11978	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
7	5, 6	breqtri 4981	. 2 ⊢ (1 / 2) < (0 + 1)
8		0z 11829	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		flbi 13024	. . 3 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(1 / 2)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (0 + 1))))
10	2, 8, 9	mp2an 688	. 2 ⊢ ((⌊‘(1 / 2)) = 0 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < (0 + 1)))
11	4, 7, 10	mpbir2an 707	1 ⊢ (⌊‘(1 / 2)) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510   ≤ cle 10511   / cdiv 11134  2c2 11529  ℤcz 11818  ⌊cfl 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fl 13000

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  41881