Theorem log2le1 25129

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 25128 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 25128	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 11661	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		5nn0 11664	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 11860	. . . . 5 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
5		3nn0 11662	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		6nn0 11665	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11860	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
8		3lt10 11984	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9		5lt10 11982	. . . . . 6 ⊢ 5 < ;10
10		2lt3 11554	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
11	2, 5, 3, 6, 9, 10	decltc 11875	. . . . 5 ⊢ ;25 < ;36
12	4, 7, 5, 3, 8, 11	decltc 11875	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
13	4, 5	deccl 11860	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 11654	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
15	7, 3	deccl 11860	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 11654	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
17		6nn 11467	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
18	5, 17	decnncl 11866	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
19		0nn0 11659	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		10pos 11862	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
21	18, 3, 19, 20	declti 11884	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
22	14, 16, 16, 21	ltdiv1ii 11307	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
23	12, 22	mpbi 222	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
24	16	recni 10391	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
25		0re 10378	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
26	25, 21	gtneii 10488	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
27	24, 26	dividi 11108	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
28	23, 27	breqtri 4911	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
29		2rp 12142	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30		relogcl 24759	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
32	14, 16, 26	redivcli 11142	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
33		1re 10376	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
34	31, 32, 33	lttri 10502	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
35	1, 28, 34	mp2an 682	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   < clt 10411   / cdiv 11032  2c2 11430  3c3 11431  5c5 11433  6c6 11434  ;cdc 11845  ℝ⁺crp 12137  logclog 24738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-tan 15204  df-pi 15205  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-ulm 24568  df-log 24740  df-atan 25045

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  31328