Theorem log2le1 26928

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 26927 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 26927	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 12324	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12754	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12756	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12652	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12424	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12424	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 12246	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12639	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12636	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12657	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 12083	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 230	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 11158	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 11257	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11886	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5125	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 12922	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 26552	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11920	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 11271	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 693	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  6c6 12216  ;cdc 12619  ℝ⁺crp 12917  logclog 26531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-tan 16006  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-ulm 26354  df-log 26533  df-atan 26845

This theorem is referenced by:  emgt0  26985  hgt750lemd  34825