Theorem log2le1 26445

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 26444 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 26444	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 12381	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12809	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12811	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12707	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12689	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12689	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12480	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12689	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12689	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12480	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12694	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 12484	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12691	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12712	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 12140	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 229	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 11225	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 11213	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 11323	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11944	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5173	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 12976	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 26076	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11978	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 11211	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 11337	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 691	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11245   / cdiv 11868  2c2 12264  3c3 12265  5c5 12267  6c6 12268  ;cdc 12674  ℝ⁺crp 12971  logclog 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-ulm 25881  df-log 26057  df-atan 26362

This theorem is referenced by:  emgt0  26501  hgt750lemd  33649