Theorem log2le1 27124

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 27123 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 27123	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 12528	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 12529	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 12418	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12856	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12858	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12753	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12519	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12519	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12739	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12736	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12758	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 12148	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 233	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 11227	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 11214	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 11326	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11952	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5136	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 13025	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 26749	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11986	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 11212	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 11340	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 704	1 ⊢ (log‘2) < 1

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   < clt 11247   / cdiv 11875  2c2 12299  3c3 12300  5c5 12302  6c6 12303  ;cdc 12715  ℝ⁺crp 13020  logclog 26728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-tan 16129  df-pi 16130  df-dvds 16315  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035  df-ulm 26549  df-log 26730  df-atan 27041

This theorem is used by:  emgt0  27180  hgt750lemd  35044