Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2le1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2le1 25539
 Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 25538 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
log2le1 (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1
StepHypRef Expression
1 log2ub 25538 . 2 (log‘2) < (253 / 365)
2 2nn0 11906 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3 3nn0 11907 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
4 5nn0 11909 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
5 6nn0 11910 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
6 2lt3 11801 . . . . 5 2 < 3
7 5lt10 12225 . . . . 5 5 < 10
8 3lt10 12227 . . . . 5 3 < 10
92, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 83decltc 12123 . . . 4 253 < 365
102, 4deccl 12105 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12105 . . . . . 6 253 ∈ ℕ0
1211nn0rei 11900 . . . . 5 253 ∈ ℝ
133, 5deccl 12105 . . . . . . 7 36 ∈ ℕ0
1413, 4deccl 12105 . . . . . 6 365 ∈ ℕ0
1514nn0rei 11900 . . . . 5 365 ∈ ℝ
16 6nn 11718 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
173, 16decnncl 12110 . . . . . 6 36 ∈ ℕ
18 0nn0 11904 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
19 10pos 12107 . . . . . 6 0 < 10
2017, 4, 18, 19declti 12128 . . . . 5 0 < 365
2112, 15, 15, 20ltdiv1ii 11562 . . . 4 (253 < 365 ↔ (253 / 365) < (365 / 365))
229, 21mpbi 233 . . 3 (253 / 365) < (365 / 365)
2315recni 10648 . . . 4 365 ∈ ℂ
24 0re 10636 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2524, 20gtneii 10745 . . . 4 365 ≠ 0
2623, 25dividi 11366 . . 3 (365 / 365) = 1
2722, 26breqtri 5058 . 2 (253 / 365) < 1
28 2rp 12386 . . . 4 2 ∈ ℝ+
29 relogcl 25170 . . . 4 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . 3 (log‘2) ∈ ℝ
3112, 15, 25redivcli 11400 . . 3 (253 / 365) ∈ ℝ
32 1re 10634 . . 3 1 ∈ ℝ
3330, 31, 32lttri 10759 . 2 (((log‘2) < (253 / 365) ∧ (253 / 365) < 1) → (log‘2) < 1)
341, 27, 33mp2an 691 1 (log‘2) < 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  6c6 11688  ;cdc 12090  ℝ+crp 12381  logclog 25149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-ulm 24975  df-log 25151  df-atan 25456 This theorem is referenced by:  emgt0  25595  hgt750lemd  32027
 Copyright terms: Public domain W3C validator