Theorem log2le1 27093

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 27092 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 27092	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 12415	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12853	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12855	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12750	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12736	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12733	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12755	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 12145	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 233	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 11224	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 11211	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 11323	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11949	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5137	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 13022	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 26718	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11983	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 11209	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 11337	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 704	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   < clt 11244   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  5c5 12299  6c6 12300  ;cdc 12712  ℝ⁺crp 13017  logclog 26697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-ulm 26518  df-log 26699  df-atan 27010

This theorem is referenced by:  emgt0  27149  hgt750lemd  35013