Theorem log2le1 26832

Description: log2 is less than 1. This is just a weaker form of log2ub 26831 when no tight upper bound is required. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
log2le1	⊢ (log‘2) < 1

Proof of Theorem log2le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ub 26831	. 2 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
2		2nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		5nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		6nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		2lt3 12385	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
7		5lt10 12813	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
8		3lt10 12815	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
9	2, 3, 4, 5, 3, 4, 6, 7, 8	3decltc 12711	. . . 4 ⊢ ;;253 < ;;365
10	2, 4	deccl 12693	. . . . . . 7 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12484	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
13	3, 5	deccl 12693	. . . . . . 7 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
14	13, 4	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12484	. . . . 5 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
16		6nn 12302	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	3, 16	decnncl 12698	. . . . . 6 ⊢ ;36 ∈ ℕ
18		0nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		10pos 12695	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
20	17, 4, 18, 19	declti 12716	. . . . 5 ⊢ 0 < ;;365
21	12, 15, 15, 20	ltdiv1ii 12144	. . . 4 ⊢ (;;253 < ;;365 ↔ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365))
22	9, 21	mpbi 229	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) < (;;365 / ;;365)
23	15	recni 11229	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℂ
24		0re 11217	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	24, 20	gtneii 11327	. . . 4 ⊢ ;;365 ≠ 0
26	23, 25	dividi 11948	. . 3 ⊢ (;;365 / ;;365) = 1
27	22, 26	breqtri 5166	. 2 ⊢ (;;253 / ;;365) < 1
28		2rp 12982	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
29		relogcl 26459	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
31	12, 15, 25	redivcli 11982	. . 3 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
32		1re 11215	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
33	30, 31, 32	lttri 11341	. 2 ⊢ (((log‘2) < (;;253 / ;;365) ∧ (;;253 / ;;365) < 1) → (log‘2) < 1)
34	1, 27, 33	mp2an 689	1 ⊢ (log‘2) < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  5c5 12271  6c6 12272  ;cdc 12678  ℝ⁺crp 12977  logclog 26438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-tan 16018  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-ulm 26263  df-log 26440  df-atan 26749

This theorem is referenced by:  emgt0  26889  hgt750lemd  34188