Theorem le9lt10 12785

Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
le9lt10.c	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
le9lt10.e	⊢ 𝐴 ≤ 9

Assertion

Ref	Expression
le9lt10	⊢ 𝐴 < ;10

Proof of Theorem le9lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le9lt10.e	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 9
2		le9lt10.c	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0zi 12668	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		9nn0 12577	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 12668	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℤ
6		zleltp1 12694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
7	3, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
8	1, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
9		9p1e10 12760	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
10	8, 9	breqtri 5191	1 ⊢ 𝐴 < ;10

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  declth  12788  decltdi  12797