Theorem sqrt2gt1lt2 15209

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 15206	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 12323	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11672	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 12231	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 12259	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 15196	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 5123	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 12327	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 12241	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 12264	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 11268	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 15196	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 694	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 230	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 15207	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 5125	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 470	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179  2c2 12212  4c4 12214  √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170

This theorem is referenced by: (None)