Theorem sqrt2gt1lt2 14967

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 14964	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 12127	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 10959	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11481	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 12030	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 12058	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 14954	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 229	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 5101	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 12131	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 12040	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 10961	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 12063	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 11081	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 14954	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 689	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 229	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 14965	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 5103	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 470	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   < clt 10993   ≤ cle 10994  2c2 12011  4c4 12013  √csqrt 14925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927

This theorem is referenced by: (None)