Theorem sqrt2gt1lt2 15470

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 15467	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 12542	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 11335	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11866	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 12444	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 12472	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 15457	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 5131	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 12547	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 12454	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 11337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 12480	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 11460	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 15457	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 233	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 15468	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 5133	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 476	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   ≤ cle 11371  2c2 12424  4c4 12426  √csqrt 15429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431

This theorem is used by: (None)