Theorem sqrt2gt1lt2 15234

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 15231	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 12345	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 11142	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11671	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 12253	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 12281	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 15221	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 699	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 231	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 5102	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 12349	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 12263	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 12286	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 11267	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 15221	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 699	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 231	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 15232	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 5104	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 471	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177   ≤ cle 11178  2c2 12234  4c4 12236  √csqrt 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195

This theorem is referenced by: (None)