Theorem sqrt2gt1lt2 15035

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 15032	. . 3 ⊢ (√‘1) = 1
2		1lt2 12194	. . . 4 ⊢ 1 < 2
3		1re 11025	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		0le1 11548	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
5		2re 12097	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		0le2 12125	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
7		sqrtlt 15022	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2)))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (1 < 2 ↔ (√‘1) < (√‘2))
9	2, 8	mpbi 229	. . 3 ⊢ (√‘1) < (√‘2)
10	1, 9	eqbrtrri 5104	. 2 ⊢ 1 < (√‘2)
11		2lt4 12198	. . . 4 ⊢ 2 < 4
12		4re 12107	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
13		0re 11027	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		4pos 12130	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 11148	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
16		sqrtlt 15022	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 4)) → (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4)))
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (2 < 4 ↔ (√‘2) < (√‘4))
18	11, 17	mpbi 229	. . 3 ⊢ (√‘2) < (√‘4)
19		sqrt4 15033	. . 3 ⊢ (√‘4) = 2
20	18, 19	breqtri 5106	. 2 ⊢ (√‘2) < 2
21	10, 20	pm3.2i 472	1 ⊢ (1 < (√‘2) ∧ (√‘2) < 2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  ℝcr 10920  0cc0 10921  1c1 10922   < clt 11059   ≤ cle 11060  2c2 12078  4c4 12080  √csqrt 14993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995

This theorem is referenced by: (None)