Theorem dec2dvds 17041

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4	⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2	1	nn0zi 12627	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
3		2z 12634	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		dvdsmul2 16265	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ (5 · 2)
6		5t2e10 12817	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
7	5, 6	breqtri 5177	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ ;10
8		10nn0 12735	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12627	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℤ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12627	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
12		dvdsmultr1 16282	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴)))
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ (;10 · 𝐴)
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12627	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
17		dvdsmul2 16265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
18	16, 3, 17	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ (𝐵 · 2)
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	breqtri 5177	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 𝐶
21	8, 10	nn0mulcli 12550	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
22	21	nn0zi 12627	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ
23		2nn0 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	15, 23	nn0mulcli 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
25	19, 24	eqeltrri 2826	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
26	25	nn0zi 12627	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
27		dvds2add 16276	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)))
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
29	14, 20, 28	mp2an 690	. . . 4 ⊢ 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
30		dfdec10 12720	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
31	29, 30	breqtrri 5179	. . 3 ⊢ 2 ∥ ;𝐴𝐶
32	10, 25	deccl 12732	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0zi 12627	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℤ
34		2nn 12325	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
35		1lt2 12423	. . . 4 ⊢ 1 < 2
36		ndvdsp1 16397	. . . 4 ⊢ ((;𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)))
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1))
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)
39		dec2dvds.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)
40	39	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐷
41		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
42	10, 25, 40, 41	decsuc 12748	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐶 + 1) = ;𝐴𝐷
43	42	breq2i 5160	. 2 ⊢ (2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ ;𝐴𝐷)
44	38, 43	mtbi 321	1 ⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   < clt 11288  ℕcn 12252  2c2 12307  5c5 12310  ℕ₀cn0 12512  ℤcz 12598  ;cdc 12717   ∥ cdvds 16240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241

This theorem is referenced by:  11prm  17093  13prm  17094  17prm  17095  19prm  17096  23prm  17097  37prm  17099  43prm  17100  83prm  17101  139prm  17102  163prm  17103  317prm  17104  631prm  17105  257prm  46948  139prmALT  46983  31prm  46984  127prm  46986