Theorem dec2dvds 17113

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4	⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2	1	nn0zi 12610	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
3		2z 12617	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		dvdsmul2 16326	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ (5 · 2)
6		5t2e10 12807	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
7	5, 6	breqtri 5130	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ ;10
8		10nn0 12724	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12610	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℤ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12610	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
12		dvdsmultr1 16344	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴)))
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1485	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ (;10 · 𝐴)
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12610	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
17		dvdsmul2 16326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
18	16, 3, 17	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ (𝐵 · 2)
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	breqtri 5130	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 𝐶
21	8, 10	nn0mulcli 12533	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
22	21	nn0zi 12610	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ
23		2nn0 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	15, 23	nn0mulcli 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
25	19, 24	eqeltrri 2862	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
26	25	nn0zi 12610	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
27		dvds2add 16338	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)))
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1485	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
29	14, 20, 28	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
30		dfdec10 12705	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
31	29, 30	breqtrri 5132	. . 3 ⊢ 2 ∥ ;𝐴𝐶
32	10, 25	deccl 12717	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0zi 12610	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℤ
34		2nn 12305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
35		1lt2 12404	. . . 4 ⊢ 1 < 2
36		ndvdsp1 16459	. . . 4 ⊢ ((;𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)))
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1485	. . 3 ⊢ (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1))
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)
39		dec2dvds.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)
40	39	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐷
41		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
42	10, 25, 40, 41	decsuc 12738	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐶 + 1) = ;𝐴𝐷
43	42	breq2i 5113	. 2 ⊢ (2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ ;𝐴𝐷)
44	38, 43	mtbi 325	1 ⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231  ℕcn 12224  2c2 12286  5c5 12289  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ;cdc 12702   ∥ cdvds 16300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301

This theorem is referenced by:  11prm  17165  13prm  17166  17prm  17167  19prm  17168  23prm  17169  37prm  17171  43prm  17172  83prm  17173  139prm  17174  163prm  17175  317prm  17176  631prm  17177  257prm  48168  139prmALT  48203  31prm  48204  127prm  48206