Theorem dec2dvds 17005

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4	⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2	1	nn0zi 12591	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
3		2z 12598	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		dvdsmul2 16229	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ (5 · 2)
6		5t2e10 12781	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
7	5, 6	breqtri 5166	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ ;10
8		10nn0 12699	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12591	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℤ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12591	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
12		dvdsmultr1 16246	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴)))
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ (;10 · 𝐴)
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 12591	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
17		dvdsmul2 16229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
18	16, 3, 17	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ (𝐵 · 2)
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	breqtri 5166	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 𝐶
21	8, 10	nn0mulcli 12514	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
22	21	nn0zi 12591	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ
23		2nn0 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	15, 23	nn0mulcli 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
25	19, 24	eqeltrri 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
26	25	nn0zi 12591	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
27		dvds2add 16240	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)))
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
29	14, 20, 28	mp2an 689	. . . 4 ⊢ 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
30		dfdec10 12684	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
31	29, 30	breqtrri 5168	. . 3 ⊢ 2 ∥ ;𝐴𝐶
32	10, 25	deccl 12696	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0zi 12591	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℤ
34		2nn 12289	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
35		1lt2 12387	. . . 4 ⊢ 1 < 2
36		ndvdsp1 16361	. . . 4 ⊢ ((;𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)))
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1))
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)
39		dec2dvds.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)
40	39	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐷
41		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
42	10, 25, 40, 41	decsuc 12712	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐶 + 1) = ;𝐴𝐷
43	42	breq2i 5149	. 2 ⊢ (2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ ;𝐴𝐷)
44	38, 43	mtbi 322	1 ⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252  ℕcn 12216  2c2 12271  5c5 12274  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ;cdc 12681   ∥ cdvds 16204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205

This theorem is referenced by:  11prm  17057  13prm  17058  17prm  17059  19prm  17060  23prm  17061  37prm  17063  43prm  17064  83prm  17065  139prm  17066  163prm  17067  317prm  17068  631prm  17069  257prm  46798  139prmALT  46833  31prm  46834  127prm  46836