MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec2dvds 16395
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3 (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4 𝐷 = (𝐶 + 1)
Assertion
Ref Expression
dec2dvds ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 11912 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
21nn0zi 12002 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
3 2z 12009 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
4 dvdsmul2 15630 . . . . . . . 8 ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . 7 2 ∥ (5 · 2)
6 5t2e10 12193 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
75, 6breqtri 5078 . . . . . 6 2 ∥ 10
8 10nn0 12111 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ0
98nn0zi 12002 . . . . . . 7 10 ∈ ℤ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
1110nn0zi 12002 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℤ
12 dvdsmultr1 15645 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴)))
133, 9, 11, 12mp3an 1458 . . . . . 6 (2 ∥ 10 → 2 ∥ (10 · 𝐴))
147, 13ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ (10 · 𝐴)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0zi 12002 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℤ
17 dvdsmul2 15630 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
1816, 3, 17mp2an 691 . . . . . 6 2 ∥ (𝐵 · 2)
19 dec2dvds.3 . . . . . 6 (𝐵 · 2) = 𝐶
2018, 19breqtri 5078 . . . . 5 2 ∥ 𝐶
218, 10nn0mulcli 11930 . . . . . . 7 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
2221nn0zi 12002 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℤ
23 2nn0 11909 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2415, 23nn0mulcli 11930 . . . . . . . 8 (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
2519, 24eqeltrri 2913 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
2625nn0zi 12002 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
27 dvds2add 15641 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ (10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)))
283, 22, 26, 27mp3an 1458 . . . . 5 ((2 ∥ (10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶))
2914, 20, 28mp2an 691 . . . 4 2 ∥ ((10 · 𝐴) + 𝐶)
30 dfdec10 12096 . . . 4 𝐴𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐶)
3129, 30breqtrri 5080 . . 3 2 ∥ 𝐴𝐶
3210, 25deccl 12108 . . . . 5 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
3332nn0zi 12002 . . . 4 𝐴𝐶 ∈ ℤ
34 2nn 11705 . . . 4 2 ∈ ℕ
35 1lt2 11803 . . . 4 1 < 2
36 ndvdsp1 15758 . . . 4 ((𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)))
3733, 34, 35, 36mp3an 1458 . . 3 (2 ∥ 𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1))
3831, 37ax-mp 5 . 2 ¬ 2 ∥ (𝐴𝐶 + 1)
39 dec2dvds.4 . . . . 5 𝐷 = (𝐶 + 1)
4039eqcomi 2833 . . . 4 (𝐶 + 1) = 𝐷
41 eqid 2824 . . . 4 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶
4210, 25, 40, 41decsuc 12124 . . 3 (𝐴𝐶 + 1) = 𝐴𝐷
4342breq2i 5061 . 2 (2 ∥ (𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ 𝐴𝐷)
4438, 43mtbi 325 1 ¬ 2 ∥ 𝐴𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cn 11632  2c2 11687  5c5 11690  0cn0 11892  cz 11976  cdc 12093  cdvds 15605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-dvds 15606
This theorem is referenced by:  11prm  16446  13prm  16447  17prm  16448  19prm  16449  23prm  16450  37prm  16452  43prm  16453  83prm  16454  139prm  16455  163prm  16456  317prm  16457  631prm  16458  257prm  43944  139prmALT  43979  31prm  43980  127prm  43982
  Copyright terms: Public domain W3C validator