MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trireciplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trireciplem 15835
Description: Lemma for trirecip 15836. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
Assertion
Ref Expression
trireciplem seq1( + , ๐น) โ‡ 1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12890 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12618 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 1cnd 11234 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4 nnex 12243 . . . . . . 7 โ„• โˆˆ V
54mptex 7229 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ V
65a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1))) โˆˆ V)
7 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘˜ + 1))
87oveq2d 7429 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (๐‘› + 1)) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
9 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))
10 ovex 7446 . . . . . . 7 (1 / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ V
118, 9, 10fvmpt 6998 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
1211adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))โ€˜๐‘˜) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
131, 2, 3, 2, 6, 12divcnvshft 15828 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1))) โ‡ 0)
14 seqex 13995 . . . . 5 seq1( + , ๐น) โˆˆ V
1514a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ V)
16 peano2nn 12249 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
1716adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
1817nnrecred 12288 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
1918recnd 11267 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
2012, 19eqeltrd 2825 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2112oveq2d 7429 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))โ€˜๐‘˜)) = (1 โˆ’ (1 / (๐‘˜ + 1))))
22 elfznn 13557 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2423nncnd 12253 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
25 peano2cn 11411 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„‚)
27 peano2nn 12249 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
2923, 28nnmulcld 12290 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— ยท (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„•)
3029nncnd 12253 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— ยท (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„‚)
3129nnne0d 12287 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— ยท (๐‘— + 1)) โ‰  0)
3226, 24, 30, 31divsubdird 12054 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘— + 1) โˆ’ ๐‘—) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (((๐‘— + 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) โˆ’ (๐‘— / (๐‘— ยท (๐‘— + 1)))))
33 ax-1cn 11191 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
34 pncan2 11492 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ ๐‘—) = 1)
3524, 33, 34sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ ๐‘—) = 1)
3635oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘— + 1) โˆ’ ๐‘—) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
3726mulridd 11256 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— + 1) ยท 1) = (๐‘— + 1))
3826, 24mulcomd 11260 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— + 1) ยท ๐‘—) = (๐‘— ยท (๐‘— + 1)))
3937, 38oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘— + 1) ยท 1) / ((๐‘— + 1) ยท ๐‘—)) = ((๐‘— + 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
40 1cnd 11234 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4123nnne0d 12287 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ๐‘— โ‰  0)
4228nnne0d 12287 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— + 1) โ‰  0)
4340, 24, 26, 41, 42divcan5d 12041 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘— + 1) ยท 1) / ((๐‘— + 1) ยท ๐‘—)) = (1 / ๐‘—))
4439, 43eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— + 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (1 / ๐‘—))
4524mulridd 11256 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— ยท 1) = ๐‘—)
4645oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— ยท 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (๐‘— / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
4740, 26, 24, 42, 41divcan5d 12041 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘— ยท 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (1 / (๐‘— + 1)))
4846, 47eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐‘— / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (1 / (๐‘— + 1)))
4944, 48oveq12d 7431 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘— + 1) / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) โˆ’ (๐‘— / (๐‘— ยท (๐‘— + 1)))) = ((1 / ๐‘—) โˆ’ (1 / (๐‘— + 1))))
5032, 36, 493eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = ((1 / ๐‘—) โˆ’ (1 / (๐‘— + 1))))
5150sumeq2dv 15676 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)(1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)((1 / ๐‘—) โˆ’ (1 / (๐‘— + 1))))
52 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘—))
53 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘— + 1) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (๐‘— + 1)))
54 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / 1))
55 1div1e1 11929 . . . . . . . 8 (1 / 1) = 1
5654, 55eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / ๐‘›) = 1)
57 oveq2 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
58 nnz 12604 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5958adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
6017, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
61 elfznn 13557 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6261adantl 480 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
6362nnrecred 12288 . . . . . . . 8 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„)
6463recnd 11267 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))) โ†’ (1 / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6552, 53, 56, 57, 59, 60, 64telfsum 15777 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)((1 / ๐‘—) โˆ’ (1 / (๐‘— + 1))) = (1 โˆ’ (1 / (๐‘˜ + 1))))
6651, 65eqtrd 2765 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)(1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (1 โˆ’ (1 / (๐‘˜ + 1))))
67 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ๐‘› = ๐‘—)
68 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› + 1) = (๐‘— + 1))
6967, 68oveq12d 7431 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› ยท (๐‘› + 1)) = (๐‘— ยท (๐‘— + 1)))
7069oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))) = (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
71 trireciplem.1 . . . . . . . 8 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))
72 ovex 7446 . . . . . . . 8 (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) โˆˆ V
7370, 71, 72fvmpt 6998 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
7423, 73syl 17 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))))
75 simpr 483 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7675, 1eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7729nnrecred 12288 . . . . . . 7 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„)
7877recnd 11267 . . . . . 6 (((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„‚)
7974, 76, 78fsumser 15703 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘˜)(1 / (๐‘— ยท (๐‘— + 1))) = (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘˜))
8021, 66, 793eqtr2rd 2772 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐น)โ€˜๐‘˜) = (1 โˆ’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› + 1)))โ€˜๐‘˜)))
811, 2, 13, 3, 15, 20, 80climsubc2 15610 . . 3 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (1 โˆ’ 0))
8281mptru 1540 . 2 seq1( + , ๐น) โ‡ (1 โˆ’ 0)
83 1m0e1 12358 . 2 (1 โˆ’ 0) = 1
8482, 83breqtri 5169 1 seq1( + , ๐น) โ‡ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  ...cfz 13511  seqcseq 13993   โ‡ cli 15455  ฮฃcsu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  trirecip  15836  stirlinglem12  45532
  Copyright terms: Public domain W3C validator