![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgam1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgam1 | โข (log ฮโ1) = 0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | peano2nn 12172 | . . . . . . . . . . . . . 14 โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ โ) | |
2 | 1 | nnrpd 12962 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ โ โ (๐ + 1) โ โ+) |
3 | nnrp 12933 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ+) | |
4 | 2, 3 | rpdivcld 12981 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โ โ ((๐ + 1) / ๐) โ โ+) |
5 | 4 | relogcld 25994 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ โ โ (logโ((๐ + 1) / ๐)) โ โ) |
6 | 5 | recnd 11190 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โ โ (logโ((๐ + 1) / ๐)) โ โ) |
7 | 6 | mulid2d 11180 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โ โ (1 ยท (logโ((๐ + 1) / ๐))) = (logโ((๐ + 1) / ๐))) |
8 | nncn 12168 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
9 | nnne0 12194 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ โ โ ๐ โ 0) | |
10 | 8, 9 | dividd 11936 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โ โ (๐ / ๐) = 1) |
11 | 10 | oveq1d 7377 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ โ โ ((๐ / ๐) + (1 / ๐)) = (1 + (1 / ๐))) |
12 | 1cnd 11157 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โ โ 1 โ โ) | |
13 | 8, 12, 8, 9 | divdird 11976 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ โ โ ((๐ + 1) / ๐) = ((๐ / ๐) + (1 / ๐))) |
14 | 8, 9 | reccld 11931 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โ โ (1 / ๐) โ โ) |
15 | 14, 12 | addcomd 11364 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ โ โ ((1 / ๐) + 1) = (1 + (1 / ๐))) |
16 | 11, 13, 15 | 3eqtr4rd 2788 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โ โ ((1 / ๐) + 1) = ((๐ + 1) / ๐)) |
17 | 16 | fveq2d 6851 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โ โ (logโ((1 / ๐) + 1)) = (logโ((๐ + 1) / ๐))) |
18 | 7, 17 | oveq12d 7380 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ ((1 ยท (logโ((๐ + 1) / ๐))) โ (logโ((1 / ๐) + 1))) = ((logโ((๐ + 1) / ๐)) โ (logโ((๐ + 1) / ๐)))) |
19 | 6 | subidd 11507 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ ((logโ((๐ + 1) / ๐)) โ (logโ((๐ + 1) / ๐))) = 0) |
20 | 18, 19 | eqtrd 2777 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ โ ((1 ยท (logโ((๐ + 1) / ๐))) โ (logโ((1 / ๐) + 1))) = 0) |
21 | 20 | mpteq2ia 5213 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โฆ ((1 ยท (logโ((๐ + 1) / ๐))) โ (logโ((1 / ๐) + 1)))) = (๐ โ โ โฆ 0) |
22 | fconstmpt 5699 | . . . . . 6 โข (โ ร {0}) = (๐ โ โ โฆ 0) | |
23 | nnuz 12813 | . . . . . . 7 โข โ = (โคโฅโ1) | |
24 | 23 | xpeq1i 5664 | . . . . . 6 โข (โ ร {0}) = ((โคโฅโ1) ร {0}) |
25 | 21, 22, 24 | 3eqtr2ri 2772 | . . . . 5 โข ((โคโฅโ1) ร {0}) = (๐ โ โ โฆ ((1 ยท (logโ((๐ + 1) / ๐))) โ (logโ((1 / ๐) + 1)))) |
26 | ax-1cn 11116 | . . . . . . 7 โข 1 โ โ | |
27 | 1nn 12171 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
28 | eldifn 4092 | . . . . . . . 8 โข (1 โ (โค โ โ) โ ยฌ 1 โ โ) | |
29 | 27, 28 | mt2 199 | . . . . . . 7 โข ยฌ 1 โ (โค โ โ) |
30 | eldif 3925 | . . . . . . 7 โข (1 โ (โ โ (โค โ โ)) โ (1 โ โ โง ยฌ 1 โ (โค โ โ))) | |
31 | 26, 29, 30 | mpbir2an 710 | . . . . . 6 โข 1 โ (โ โ (โค โ โ)) |
32 | 31 | a1i 11 | . . . . 5 โข (โค โ 1 โ (โ โ (โค โ โ))) |
33 | 25, 32 | lgamcvg 26419 | . . . 4 โข (โค โ seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ ((log ฮโ1) + (logโ1))) |
34 | 33 | mptru 1549 | . . 3 โข seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ ((log ฮโ1) + (logโ1)) |
35 | log1 25957 | . . . . 5 โข (logโ1) = 0 | |
36 | 35 | oveq2i 7373 | . . . 4 โข ((log ฮโ1) + (logโ1)) = ((log ฮโ1) + 0) |
37 | lgamcl 26406 | . . . . . 6 โข (1 โ (โ โ (โค โ โ)) โ (log ฮโ1) โ โ) | |
38 | 31, 37 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (log ฮโ1) โ โ |
39 | 38 | addid1i 11349 | . . . 4 โข ((log ฮโ1) + 0) = (log ฮโ1) |
40 | 36, 39 | eqtri 2765 | . . 3 โข ((log ฮโ1) + (logโ1)) = (log ฮโ1) |
41 | 34, 40 | breqtri 5135 | . 2 โข seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ (log ฮโ1) |
42 | 1z 12540 | . . 3 โข 1 โ โค | |
43 | serclim0 15466 | . . 3 โข (1 โ โค โ seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ 0) | |
44 | 42, 43 | ax-mp 5 | . 2 โข seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ 0 |
45 | climuni 15441 | . 2 โข ((seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ (log ฮโ1) โง seq1( + , ((โคโฅโ1) ร {0})) โ 0) โ (log ฮโ1) = 0) | |
46 | 41, 44, 45 | mp2an 691 | 1 โข (log ฮโ1) = 0 |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 = wceq 1542 โคwtru 1543 โ wcel 2107 โ cdif 3912 {csn 4591 class class class wbr 5110 โฆ cmpt 5193 ร cxp 5636 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 0cc0 11058 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 / cdiv 11819 โcn 12160 โคcz 12506 โคโฅcuz 12770 seqcseq 13913 โ cli 15373 logclog 25926 log ฮclgam 26381 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 ax-addf 11137 ax-mulf 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-oadd 8421 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9453 df-dju 9844 df-card 9882 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-z 12507 df-dec 12626 df-uz 12771 df-q 12881 df-rp 12923 df-xneg 13040 df-xadd 13041 df-xmul 13042 df-ioo 13275 df-ioc 13276 df-ico 13277 df-icc 13278 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-fl 13704 df-mod 13782 df-seq 13914 df-exp 13975 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14959 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-limsup 15360 df-clim 15377 df-rlim 15378 df-sum 15578 df-ef 15957 df-sin 15959 df-cos 15960 df-tan 15961 df-pi 15962 df-struct 17026 df-sets 17043 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-ress 17120 df-plusg 17153 df-mulr 17154 df-starv 17155 df-sca 17156 df-vsca 17157 df-ip 17158 df-tset 17159 df-ple 17160 df-ds 17162 df-unif 17163 df-hom 17164 df-cco 17165 df-rest 17311 df-topn 17312 df-0g 17330 df-gsum 17331 df-topgen 17332 df-pt 17333 df-prds 17336 df-xrs 17391 df-qtop 17396 df-imas 17397 df-xps 17399 df-mre 17473 df-mrc 17474 df-acs 17476 df-mgm 18504 df-sgrp 18553 df-mnd 18564 df-submnd 18609 df-mulg 18880 df-cntz 19104 df-cmn 19571 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-fbas 20809 df-fg 20810 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cld 22386 df-ntr 22387 df-cls 22388 df-nei 22465 df-lp 22503 df-perf 22504 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-haus 22682 df-cmp 22754 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-fil 23213 df-fm 23305 df-flim 23306 df-flf 23307 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-limc 25246 df-dv 25247 df-ulm 25752 df-log 25928 df-cxp 25929 df-lgam 26384 |
This theorem is referenced by: gam1 26430 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |