Theorem lgam1 25649

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	⊢ (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 11637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rpdivcld 12436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5	4	relogcld 25214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
7	6	mulid2d 10648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8		nncn 11633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9		nnne0 11659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
10	8, 9	dividd 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
11	10	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 12, 8, 9	divdird 11443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
14	8, 9	reccld 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcomd 10831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
17	16	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
18	7, 17	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
19	6	subidd 10974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
21	20	mpteq2ia 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22		fconstmpt 5578	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23		nnuz 12269	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	23	xpeq1i 5545	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2828	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26		ax-1cn 10584	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		1nn 11636	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		eldifn 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
29	27, 28	mt2 203	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30		eldif 3891	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
31	26, 29, 30	mpbir2an 710	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
33	25, 32	lgamcvg 25639	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
34	33	mptru 1545	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35		log1 25177	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
36	35	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37		lgamcl 25626	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log Γ‘1) ∈ ℂ
39	38	addid1i 10816	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
40	36, 39	eqtri 2821	. . 3 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
41	34, 40	breqtri 5055	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42		1z 12000	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		serclim0 14926	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
45		climuni 14901	. 2 ⊢ ((seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
46	41, 44, 45	mp2an 691	1 ⊢ (log Γ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833  logclog 25146  log Γclgam 25601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-ulm 24972  df-log 25148  df-cxp 25149  df-lgam 25604

This theorem is referenced by:  gam1  25650