MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgam1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgam1 26995
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1 (log ฮ“โ€˜1) = 0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12254 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•)
21nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„+)
3 nnrp 13017 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
42, 3rpdivcld 13065 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) โˆˆ โ„+)
54relogcld 26556 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
65recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
76mullidd 11262 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)))
8 nncn 12250 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
9 nnne0 12276 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โ‰  0)
108, 9dividd 12018 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š / ๐‘š) = 1)
1110oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š / ๐‘š) + (1 / ๐‘š)) = (1 + (1 / ๐‘š)))
12 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
138, 12, 8, 9divdird 12058 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘š / ๐‘š) + (1 / ๐‘š)))
148, 9reccld 12013 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
1514, 12addcomd 11446 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ๐‘š) + 1) = (1 + (1 / ๐‘š)))
1611, 13, 153eqtr4rd 2779 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ๐‘š) + 1) = ((๐‘š + 1) / ๐‘š))
1716fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)))
187, 17oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))) = ((logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆ’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))))
196subidd 11589 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆ’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = 0)
2018, 19eqtrd 2768 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))) = 0)
2120mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
22 fconstmpt 5740 . . . . . 6 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
23 nnuz 12895 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2423xpeq1i 5704 . . . . . 6 (โ„• ร— {0}) = ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})
2521, 22, 243eqtr2ri 2763 . . . . 5 ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))))
26 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
27 1nn 12253 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
28 eldifn 4126 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•) โ†’ ยฌ 1 โˆˆ โ„•)
2927, 28mt2 199 . . . . . . 7 ยฌ 1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•)
30 eldif 3957 . . . . . . 7 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†” (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•)))
3126, 29, 30mpbir2an 710 . . . . . 6 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•))
3231a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3325, 32lgamcvg 26985 . . . 4 (โŠค โ†’ seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)))
3433mptru 1541 . . 3 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1))
35 log1 26518 . . . . 5 (logโ€˜1) = 0
3635oveq2i 7431 . . . 4 ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)) = ((log ฮ“โ€˜1) + 0)
37 lgamcl 26972 . . . . . 6 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (log ฮ“โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5 (log ฮ“โ€˜1) โˆˆ โ„‚
3938addridi 11431 . . . 4 ((log ฮ“โ€˜1) + 0) = (log ฮ“โ€˜1)
4036, 39eqtri 2756 . . 3 ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)) = (log ฮ“โ€˜1)
4134, 40breqtri 5173 . 2 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ (log ฮ“โ€˜1)
42 1z 12622 . . 3 1 โˆˆ โ„ค
43 serclim0 15553 . . 3 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0)
4442, 43ax-mp 5 . 2 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0
45 climuni 15528 . 2 ((seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ (log ฮ“โ€˜1) โˆง seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0) โ†’ (log ฮ“โ€˜1) = 0)
4641, 44, 45mp2an 691 1 (log ฮ“โ€˜1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1534  โŠคwtru 1535   โˆˆ wcel 2099   โˆ– cdif 3944  {csn 4629   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  seqcseq 13998   โ‡ cli 15460  logclog 26487  log ฮ“clgam 26947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-ulm 26312  df-log 26489  df-cxp 26490  df-lgam 26950
This theorem is referenced by:  gam1  26996
  Copyright terms: Public domain W3C validator