Theorem lgam1 27045

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	⊢ (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 12945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rpdivcld 12994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5	4	relogcld 26605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
7	6	mullidd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9		nnne0 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
10	8, 9	dividd 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
11	10	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 12, 8, 9	divdird 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
14	8, 9	reccld 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcomd 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
17	16	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
18	7, 17	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
19	6	subidd 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
21	20	mpteq2ia 5167	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22		fconstmpt 5680	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23		nnuz 12818	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	23	xpeq1i 5644	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2769	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		1nn 12176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		eldifn 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
29	27, 28	mt2 201	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30		eldif 3893	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
31	26, 29, 30	mpbir2an 717	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
33	25, 32	lgamcvg 27035	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
34	33	mptru 1554	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35		log1 26567	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
36	35	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37		lgamcl 27022	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log Γ‘1) ∈ ℂ
39	38	addridi 11324	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
40	36, 39	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
41	34, 40	breqtri 5097	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42		1z 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		serclim0 15530	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
45		climuni 15505	. 2 ⊢ ((seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
46	41, 44, 45	mp2an 698	1 ⊢ (log Γ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  seqcseq 13954   ⇝ cli 15437  logclog 26536  log Γclgam 26997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-tan 16027  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-ulm 26360  df-log 26538  df-cxp 26539  df-lgam 27000

This theorem is referenced by:  gam1  27046