Theorem lgam1 26950

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	⊢ (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 12939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rpdivcld 12988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5	4	relogcld 26508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
7	6	mullidd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8		nncn 12170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9		nnne0 12196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
10	8, 9	dividd 11932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
11	10	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 12, 8, 9	divdird 11972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
14	8, 9	reccld 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcomd 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
17	16	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
18	7, 17	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
19	6	subidd 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
21	20	mpteq2ia 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22		fconstmpt 5693	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23		nnuz 12812	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	23	xpeq1i 5657	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2759	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26		ax-1cn 11102	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		1nn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		eldifn 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
29	27, 28	mt2 200	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30		eldif 3921	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
31	26, 29, 30	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
33	25, 32	lgamcvg 26940	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
34	33	mptru 1547	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35		log1 26470	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
36	35	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37		lgamcl 26927	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log Γ‘1) ∈ ℂ
39	38	addridi 11337	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
40	36, 39	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
41	34, 40	breqtri 5127	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42		1z 12539	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		serclim0 15519	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
45		climuni 15494	. 2 ⊢ ((seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
46	41, 44, 45	mp2an 692	1 ⊢ (log Γ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  seqcseq 13942   ⇝ cli 15426  logclog 26439  log Γclgam 26902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-cmp 23250  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-ulm 26262  df-log 26441  df-cxp 26442  df-lgam 26905

This theorem is referenced by:  gam1  26951