MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgam1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgam1 27107
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1 (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
21nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
42, 3rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54relogcld 26665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
65recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
76mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
108, 9dividd 12041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1110oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
138, 12, 8, 9divdird 12081 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
148, 9reccld 12036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
1514, 12addcomd 11463 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
1611, 13, 153eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
1716fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
187, 17oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
196subidd 11608 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
2018, 19eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
2120mpteq2ia 5245 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22 fconstmpt 5747 . . . . . 6 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2423xpeq1i 5711 . . . . . 6 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
2521, 22, 243eqtr2ri 2772 . . . . 5 ((ℤ‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
27 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
28 eldifn 4132 . . . . . . . 8 (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
2927, 28mt2 200 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30 eldif 3961 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
3126, 29, 30mpbir2an 711 . . . . . 6 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
3231a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3325, 32lgamcvg 27097 . . . 4 (⊤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
3433mptru 1547 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35 log1 26627 . . . . 5 (log‘1) = 0
3635oveq2i 7442 . . . 4 ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37 lgamcl 27084 . . . . . 6 (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5 (log Γ‘1) ∈ ℂ
3938addridi 11448 . . . 4 ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
4036, 39eqtri 2765 . . 3 ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
4134, 40breqtri 5168 . 2 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42 1z 12647 . . 3 1 ∈ ℤ
43 serclim0 15613 . . 3 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
4442, 43ax-mp 5 . 2 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
45 climuni 15588 . 2 ((seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
4641, 44, 45mp2an 692 1 (log Γ‘1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  seqcseq 14042  cli 15520  logclog 26596  log Γclgam 27059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-lgam 27062
This theorem is referenced by:  gam1  27108
  Copyright terms: Public domain W3C validator