MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgam1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgam1 26429
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1 (log ฮ“โ€˜1) = 0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•)
21nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„+)
3 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
42, 3rpdivcld 12981 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) โˆˆ โ„+)
54relogcld 25994 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
65recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
76mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)))
8 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
9 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โ‰  0)
108, 9dividd 11936 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š / ๐‘š) = 1)
1110oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š / ๐‘š) + (1 / ๐‘š)) = (1 + (1 / ๐‘š)))
12 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
138, 12, 8, 9divdird 11976 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘š / ๐‘š) + (1 / ๐‘š)))
148, 9reccld 11931 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
1514, 12addcomd 11364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ๐‘š) + 1) = (1 + (1 / ๐‘š)))
1611, 13, 153eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / ๐‘š) + 1) = ((๐‘š + 1) / ๐‘š))
1716fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1)) = (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)))
187, 17oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))) = ((logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆ’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))))
196subidd 11507 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) โˆ’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = 0)
2018, 19eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))) = 0)
2120mpteq2ia 5213 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
22 fconstmpt 5699 . . . . . 6 (โ„• ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ 0)
23 nnuz 12813 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2423xpeq1i 5664 . . . . . 6 (โ„• ร— {0}) = ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})
2521, 22, 243eqtr2ri 2772 . . . . 5 ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ ((1 ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((1 / ๐‘š) + 1))))
26 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
27 1nn 12171 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
28 eldifn 4092 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•) โ†’ ยฌ 1 โˆˆ โ„•)
2927, 28mt2 199 . . . . . . 7 ยฌ 1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•)
30 eldif 3925 . . . . . . 7 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†” (1 โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 โˆˆ (โ„ค โˆ– โ„•)))
3126, 29, 30mpbir2an 710 . . . . . 6 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•))
3231a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
3325, 32lgamcvg 26419 . . . 4 (โŠค โ†’ seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)))
3433mptru 1549 . . 3 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1))
35 log1 25957 . . . . 5 (logโ€˜1) = 0
3635oveq2i 7373 . . . 4 ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)) = ((log ฮ“โ€˜1) + 0)
37 lgamcl 26406 . . . . . 6 (1 โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (log ฮ“โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5 (log ฮ“โ€˜1) โˆˆ โ„‚
3938addid1i 11349 . . . 4 ((log ฮ“โ€˜1) + 0) = (log ฮ“โ€˜1)
4036, 39eqtri 2765 . . 3 ((log ฮ“โ€˜1) + (logโ€˜1)) = (log ฮ“โ€˜1)
4134, 40breqtri 5135 . 2 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ (log ฮ“โ€˜1)
42 1z 12540 . . 3 1 โˆˆ โ„ค
43 serclim0 15466 . . 3 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0)
4442, 43ax-mp 5 . 2 seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0
45 climuni 15441 . 2 ((seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ (log ฮ“โ€˜1) โˆง seq1( + , ((โ„คโ‰ฅโ€˜1) ร— {0})) โ‡ 0) โ†’ (log ฮ“โ€˜1) = 0)
4641, 44, 45mp2an 691 1 (log ฮ“โ€˜1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  seqcseq 13913   โ‡ cli 15373  logclog 25926  log ฮ“clgam 26381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-lgam 26384
This theorem is referenced by:  gam1  26430
  Copyright terms: Public domain W3C validator