Theorem lgam1 27257

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	⊢ (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 13039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rpdivcld 13088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5	4	relogcld 26817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
7	6	mullidd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8		nncn 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9		nnne0 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
10	8, 9	dividd 12000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
11	10	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 12, 8, 9	divdird 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
14	8, 9	reccld 11995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcomd 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
17	16	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
18	7, 17	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
19	6	subidd 11568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
21	20	mpteq2ia 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22		fconstmpt 5725	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23		nnuz 12912	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	23	xpeq1i 5689	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2795	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26		ax-1cn 11169	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		1nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		eldifn 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
29	27, 28	mt2 203	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30		eldif 3916	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
31	26, 29, 30	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
33	25, 32	lgamcvg 27247	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
34	33	mptru 1577	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35		log1 26779	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
36	35	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37		lgamcl 27234	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log Γ‘1) ∈ ℂ
39	38	addridi 11408	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
40	36, 39	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
41	34, 40	breqtri 5138	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42		1z 12635	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		serclim0 15647	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
45		climuni 15622	. 2 ⊢ ((seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
46	41, 44, 45	mp2an 705	1 ⊢ (log Γ‘1) = 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873  seqcseq 14050   ⇝ cli 15554  logclog 26748  log Γclgam 27209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-sin 16140  df-cos 16141  df-tan 16142  df-pi 16143  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-ulm 26569  df-log 26750  df-cxp 26751  df-lgam 27212

This theorem is used by:  gam1  27258