MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgam1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgam1 27121
Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
lgam1 (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
21nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
42, 3rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54relogcld 26679 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
65recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
76mullidd 11276 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
108, 9dividd 12038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
1110oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
138, 12, 8, 9divdird 12078 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
148, 9reccld 12033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
1514, 12addcomd 11460 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
1611, 13, 153eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
1716fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
187, 17oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
196subidd 11605 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
2018, 19eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
2120mpteq2ia 5250 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22 fconstmpt 5750 . . . . . 6 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23 nnuz 12918 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2423xpeq1i 5714 . . . . . 6 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
2521, 22, 243eqtr2ri 2769 . . . . 5 ((ℤ‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26 ax-1cn 11210 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
27 1nn 12274 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
28 eldifn 4141 . . . . . . . 8 (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
2927, 28mt2 200 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30 eldif 3972 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
3126, 29, 30mpbir2an 711 . . . . . 6 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
3231a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3325, 32lgamcvg 27111 . . . 4 (⊤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
3433mptru 1543 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35 log1 26641 . . . . 5 (log‘1) = 0
3635oveq2i 7441 . . . 4 ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37 lgamcl 27098 . . . . . 6 (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
3831, 37ax-mp 5 . . . . 5 (log Γ‘1) ∈ ℂ
3938addridi 11445 . . . 4 ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
4036, 39eqtri 2762 . . 3 ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
4134, 40breqtri 5172 . 2 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42 1z 12644 . . 3 1 ∈ ℤ
43 serclim0 15609 . . 3 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
4442, 43ax-mp 5 . 2 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
45 climuni 15584 . 2 ((seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
4641, 44, 45mp2an 692 1 (log Γ‘1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  seqcseq 14038  cli 15516  logclog 26610  log Γclgam 27073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-lgam 27076
This theorem is referenced by:  gam1  27122
  Copyright terms: Public domain W3C validator