Theorem lgam1 26557

Description: The log-Gamma function at one. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
lgam1	⊢ (log Γ‘1) = 0

Proof of Theorem lgam1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 12981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rpdivcld 13029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5	4	relogcld 26122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
7	6	mullidd 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
8		nncn 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
9		nnne0 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
10	8, 9	dividd 11984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 / 𝑚) = 1)
11	10	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
12		1cnd 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13	8, 12, 8, 9	divdird 12024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
14	8, 9	reccld 11979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
15	14, 12	addcomd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = (1 + (1 / 𝑚)))
16	11, 13, 15	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 / 𝑚) + 1) = ((𝑚 + 1) / 𝑚))
17	16	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (log‘((1 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)))
18	7, 17	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))))
19	6	subidd 11555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) − (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))) = 0)
21	20	mpteq2ia 5250	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
22		fconstmpt 5736	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
23		nnuz 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	23	xpeq1i 5701	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {0}) = ((ℤ≥‘1) × {0})
25	21, 22, 24	3eqtr2ri 2767	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘1) × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((1 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((1 / 𝑚) + 1))))
26		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		1nn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		eldifn 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ 1 ∈ ℕ)
29	27, 28	mt2 199	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)
30		eldif 3957	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ¬ 1 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
31	26, 29, 30	mpbir2an 709	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
33	25, 32	lgamcvg 26547	. . . 4 ⊢ (⊤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1)))
34	33	mptru 1548	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ ((log Γ‘1) + (log‘1))
35		log1 26085	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
36	35	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = ((log Γ‘1) + 0)
37		lgamcl 26534	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘1) ∈ ℂ)
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log Γ‘1) ∈ ℂ
39	38	addridi 11397	. . . 4 ⊢ ((log Γ‘1) + 0) = (log Γ‘1)
40	36, 39	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((log Γ‘1) + (log‘1)) = (log Γ‘1)
41	34, 40	breqtri 5172	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1)
42		1z 12588	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		serclim0 15517	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
44	42, 43	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
45		climuni 15492	. 2 ⊢ ((seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ (log Γ‘1) ∧ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0) → (log Γ‘1) = 0)
46	41, 44, 45	mp2an 690	1 ⊢ (log Γ‘1) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  seqcseq 13962   ⇝ cli 15424  logclog 26054  log Γclgam 26509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-lgam 26512

This theorem is referenced by:  gam1  26558