MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunlei 14464
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c 𝐶 = (𝐴𝐵)
hashunlei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashunlei (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3 𝐶 = (𝐴𝐵)
2 hashunlei.a . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
32simpli 483 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
4 hashunlei.b . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
54simpli 483 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
6 unfi 9211 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
73, 5, 6mp2an 692 . . 3 (𝐴𝐵) ∈ Fin
81, 7eqeltri 2837 . 2 𝐶 ∈ Fin
91fveq2i 6909 . . . 4 (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴𝐵))
10 hashun2 14422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
113, 5, 10mp2an 692 . . . 4 (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
129, 11eqbrtri 5164 . . 3 (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
132simpri 485 . . . . 5 (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
144simpri 485 . . . . 5 (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15 hashcl 14395 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 12537 . . . . . 6 (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashcl 14395 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
2019nn0rei 12537 . . . . . 6 (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21 hashunlei.k . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2221nn0rei 12537 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
23 hashunlei.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 12537 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
2517, 20, 22, 24le2addi 11826 . . . . 5 (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
2613, 14, 25mp2an 692 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27 hashunlei.n . . . 4 (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
2826, 27breqtri 5168 . . 3 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29 hashcl 14395 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
308, 29ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
3130nn0rei 12537 . . . 4 (♯‘𝐶) ∈ ℝ
3217, 20readdcli 11276 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
3322, 24readdcli 11276 . . . . 5 (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
3427, 33eqeltrri 2838 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3531, 32, 34letri 11390 . . 3 (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
3612, 28, 35mp2an 692 . 2 (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
378, 36pm3.2i 470 1 (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154   + caddc 11158  cle 11296  0cn0 12526  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hashprlei  14507  hashtplei  14523  kur14lem8  35218
  Copyright terms: Public domain W3C validator