MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunlei 14254
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c 𝐶 = (𝐴𝐵)
hashunlei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashunlei (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3 𝐶 = (𝐴𝐵)
2 hashunlei.a . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
32simpli 485 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
4 hashunlei.b . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
54simpli 485 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
6 unfi 9050 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
73, 5, 6mp2an 691 . . 3 (𝐴𝐵) ∈ Fin
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝐶 ∈ Fin
91fveq2i 6841 . . . 4 (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴𝐵))
10 hashun2 14212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
113, 5, 10mp2an 691 . . . 4 (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
129, 11eqbrtri 5125 . . 3 (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
132simpri 487 . . . . 5 (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
144simpri 487 . . . . 5 (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15 hashcl 14185 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 12358 . . . . . 6 (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashcl 14185 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
2019nn0rei 12358 . . . . . 6 (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21 hashunlei.k . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2221nn0rei 12358 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
23 hashunlei.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 12358 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
2517, 20, 22, 24le2addi 11652 . . . . 5 (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
2613, 14, 25mp2an 691 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27 hashunlei.n . . . 4 (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
2826, 27breqtri 5129 . . 3 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29 hashcl 14185 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
308, 29ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
3130nn0rei 12358 . . . 4 (♯‘𝐶) ∈ ℝ
3217, 20readdcli 11104 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
3322, 24readdcli 11104 . . . . 5 (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
3427, 33eqeltrri 2836 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3531, 32, 34letri 11218 . . 3 (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
3612, 28, 35mp2an 691 . 2 (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
378, 36pm3.2i 472 1 (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3907   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  cr 10984   + caddc 10988  cle 11124  0cn0 12347  chash 14159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12698  df-fz 13355  df-hash 14160
This theorem is referenced by:  hashprlei  14296  hashtplei  14312  kur14lem8  33587
  Copyright terms: Public domain W3C validator