Theorem hashunlei 14458

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlei.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
hashunlei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n	⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashunlei	⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashunlei.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
2		hashunlei.a	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
3	2	simpli 488	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		hashunlei.b	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
5	4	simpli 488	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		unfi 9151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin
8	1, 7	eqeltri 2859	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Fin
9	1	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
10		hashun2 14415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
11	3, 5, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
12	9, 11	eqbrtri 5132	. . 3 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
13	2	simpri 490	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
14	4	simpri 490	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15		hashcl 14388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12510	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashcl 14388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 12510	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21		hashunlei.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
22	21	nn0rei 12510	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
23		hashunlei.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
24	23	nn0rei 12510	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
25	17, 20, 22, 24	le2addi 11772	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
26	13, 14, 25	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27		hashunlei.n	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
28	26, 27	breqtri 5136	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29		hashcl 14388	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
30	8, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
31	30	nn0rei 12510	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℝ
32	17, 20	readdcli 11219	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
33	22, 24	readdcli 11219	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
34	27, 33	eqeltrri 2860	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
35	31, 32, 34	letri 11334	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
36	12, 28, 35	mp2an 704	. 2 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
37	8, 36	pm3.2i 475	1 ⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℝcr 11094   + caddc 11098   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  hashprlei  14501  hashtplei  14517  kur14lem8  35705