MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunlei 13789
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c 𝐶 = (𝐴𝐵)
hashunlei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashunlei (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3 𝐶 = (𝐴𝐵)
2 hashunlei.a . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
32simpli 486 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
4 hashunlei.b . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
54simpli 486 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
6 unfi 8787 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
73, 5, 6mp2an 690 . . 3 (𝐴𝐵) ∈ Fin
81, 7eqeltri 2911 . 2 𝐶 ∈ Fin
91fveq2i 6675 . . . 4 (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴𝐵))
10 hashun2 13747 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
113, 5, 10mp2an 690 . . . 4 (♯‘(𝐴𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
129, 11eqbrtri 5089 . . 3 (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
132simpri 488 . . . . 5 (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
144simpri 488 . . . . 5 (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15 hashcl 13720 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 11911 . . . . . 6 (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashcl 13720 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
2019nn0rei 11911 . . . . . 6 (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21 hashunlei.k . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2221nn0rei 11911 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
23 hashunlei.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11911 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
2517, 20, 22, 24le2addi 11205 . . . . 5 (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
2613, 14, 25mp2an 690 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27 hashunlei.n . . . 4 (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
2826, 27breqtri 5093 . . 3 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29 hashcl 13720 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
308, 29ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
3130nn0rei 11911 . . . 4 (♯‘𝐶) ∈ ℝ
3217, 20readdcli 10658 . . . 4 ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
3322, 24readdcli 10658 . . . . 5 (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
3427, 33eqeltrri 2912 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3531, 32, 34letri 10771 . . 3 (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
3612, 28, 35mp2an 690 . 2 (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
378, 36pm3.2i 473 1 (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cun 3936   class class class wbr 5068  cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  cr 10538   + caddc 10542  cle 10678  0cn0 11900  chash 13693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694
This theorem is referenced by:  hashprlei  13829  hashtplei  13845  kur14lem8  32462
  Copyright terms: Public domain W3C validator