Theorem hashunlei 14438

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlei.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
hashunlei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n	⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashunlei	⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashunlei.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
2		hashunlei.a	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
3	2	simpli 487	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		hashunlei.b	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
5	4	simpli 487	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		unfi 9139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	mp2an 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin
8	1, 7	eqeltri 2858	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Fin
9	1	fveq2i 6870	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
10		hashun2 14396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
11	3, 5, 10	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
12	9, 11	eqbrtri 5121	. . 3 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
13	2	simpri 489	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
14	4	simpri 489	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15		hashcl 14369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashcl 14369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21		hashunlei.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
22	21	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
23		hashunlei.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
24	23	nn0rei 12492	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
25	17, 20, 22, 24	le2addi 11750	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
26	13, 14, 25	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27		hashunlei.n	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
28	26, 27	breqtri 5125	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29		hashcl 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
30	8, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
31	30	nn0rei 12492	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℝ
32	17, 20	readdcli 11197	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
33	22, 24	readdcli 11197	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
34	27, 33	eqeltrri 2859	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
35	31, 32, 34	letri 11312	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
36	12, 28, 35	mp2an 702	. 2 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
37	8, 36	pm3.2i 474	1 ⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℝcr 11072   + caddc 11076   ≤ cle 11217  ℕ₀cn0 12481  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  hashprlei  14481  hashtplei  14497  kur14lem8  35563