Theorem hashunlei 14390

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlei.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
hashunlei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n	⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashunlei	⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashunlei.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
2		hashunlei.a	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
3	2	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		hashunlei.b	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
5	4	simpli 483	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		unfi 9174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin
8	1, 7	eqeltri 2823	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Fin
9	1	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
10		hashun2 14348	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
11	3, 5, 10	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
12	9, 11	eqbrtri 5162	. . 3 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
13	2	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
14	4	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15		hashcl 14321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12487	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashcl 14321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 12487	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21		hashunlei.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
22	21	nn0rei 12487	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
23		hashunlei.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
24	23	nn0rei 12487	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
25	17, 20, 22, 24	le2addi 11781	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
26	13, 14, 25	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27		hashunlei.n	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
28	26, 27	breqtri 5166	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29		hashcl 14321	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
30	8, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
31	30	nn0rei 12487	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℝ
32	17, 20	readdcli 11233	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
33	22, 24	readdcli 11233	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
34	27, 33	eqeltrri 2824	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
35	31, 32, 34	letri 11347	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
36	12, 28, 35	mp2an 689	. 2 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
37	8, 36	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11253  ℕ₀cn0 12476  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashprlei  14435  hashtplei  14451  kur14lem8  34732