Theorem hashunlei 14385

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlei.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
hashunlei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n	⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashunlei	⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashunlei.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵)
2		hashunlei.a	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾)
3	2	simpli 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		hashunlei.b	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀)
5	4	simpli 485	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		unfi 9172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin
8	1, 7	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Fin
9	1	fveq2i 6895	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) = (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵))
10		hashun2 14343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
11	3, 5, 10	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
12	9, 11	eqbrtri 5170	. . 3 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))
13	2	simpri 487	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝐾
14	4	simpri 487	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀
15		hashcl 14316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12483	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashcl 14316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 12483	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
21		hashunlei.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
22	21	nn0rei 12483	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
23		hashunlei.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
24	23	nn0rei 12483	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
25	17, 20, 22, 24	le2addi 11777	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
26	13, 14, 25	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27		hashunlei.n	. . . 4 ⊢ (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
28	26, 27	breqtri 5174	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁
29		hashcl 14316	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
30	8, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0
31	30	nn0rei 12483	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐶) ∈ ℝ
32	17, 20	readdcli 11229	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℝ
33	22, 24	readdcli 11229	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
34	27, 33	eqeltrri 2831	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
35	31, 32, 34	letri 11343	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐶) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)
36	12, 28, 35	mp2an 691	. 2 ⊢ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁
37	8, 36	pm3.2i 472	1 ⊢ (𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℝcr 11109   + caddc 11113   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hashprlei  14429  hashtplei  14445  kur14lem8  34204