Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1c 31172
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 3955 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76ad2antrr 716 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10 𝑁 < 𝑀
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 31166 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1211simpld 490 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13 elfznn 12691 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1514adantr 474 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemii 31168 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
17 eluz2b3 12073 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐶) ≠ 1))
1815, 16, 17sylanbrc 578 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 12074 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2120adantr 474 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
22 elnnuz 12034 . . . . . . 7 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2322biimpi 208 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzfz1 12669 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2520, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2625adantr 474 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
27 0le1 10900 . . . . . . 7 0 ≤ 1
28 1e0p1 11892 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtri 4913 . . . . . 6 0 ≤ (0 + 1)
30 1nn 11391 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 31ballotlemfp1 31156 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3332simprd 491 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
3433imp 397 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
35 1m1e0 11451 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3635fveq2i 6451 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
3736oveq1i 6934 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1)
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1))
391, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 31160 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
406, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4140adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4241oveq1d 6939 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
4334, 38, 423eqtrrd 2819 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
4429, 43syl5breq 4925 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
4544adantr 474 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
46 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
4746breq2d 4900 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)))
4847rspcev 3511 . . . 4 ((1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
4926, 45, 48syl2anc 579 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
50 df-neg 10611 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
511, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 31156 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)) ∧ ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))))
5251simprd 491 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1)))
5352imp 397 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))
5411simprd 491 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5554adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5653, 55eqtr3d 2816 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0)
57 0cnd 10371 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℂ)
58 1cnd 10373 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℂ)
596adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
6014nnzd 11837 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
6160adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
62 1zzd 11764 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
6361, 62zsubcld 11843 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
641, 2, 3, 4, 5, 59, 63ballotlemfelz 31155 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℤ)
6564zcnd 11839 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℂ)
6657, 58, 65subadd2d 10755 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0))
6756, 66mpbird 249 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
6850, 67syl5eq 2826 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → -1 = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
69 neg1lt0 11503 . . . . 5 -1 < 0
7068, 69syl6eqbrr 4928 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
7170adantlr 705 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
721, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 49, 71ballotlemfcc 31158 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
731, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 31170 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7473ad2antrr 716 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7572, 74pm2.65da 807 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  cdif 3789  cin 3791  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4888  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  infcinf 8637  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11034  cn 11378  2c2 11434  cz 11732  cuz 11996  ...cfz 12647  chash 13439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-hash 13440
This theorem is referenced by:  ballotlem7  31200
  Copyright terms: Public domain W3C validator