Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1c 32036
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 4015 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76ad2antrr 726 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10 𝑁 < 𝑀
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 32030 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1211simpld 498 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13 elfznn 13020 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemii 32032 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
17 eluz2b3 12397 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐶) ≠ 1))
1815, 16, 17sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 12398 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2120adantr 484 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
22 elnnuz 12357 . . . . . . 7 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2322biimpi 219 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzfz1 12998 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2520, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2625adantr 484 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
27 0le1 11234 . . . . . . 7 0 ≤ 1
28 1e0p1 12214 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtri 5052 . . . . . 6 0 ≤ (0 + 1)
30 1nn 11720 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 31ballotlemfp1 32020 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3332simprd 499 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
3433imp 410 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
35 1m1e0 11781 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3635fveq2i 6671 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
3736oveq1i 7174 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1)
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1))
391, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 32024 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
406, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4140adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4241oveq1d 7179 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
4334, 38, 423eqtrrd 2778 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
4429, 43breqtrid 5064 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
4544adantr 484 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
46 fveq2 6668 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
4746breq2d 5039 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)))
4847rspcev 3524 . . . 4 ((1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
4926, 45, 48syl2anc 587 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
50 df-neg 10944 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
511, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 32020 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)) ∧ ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))))
5251simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1)))
5352imp 410 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))
5411simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5554adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5653, 55eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0)
57 0cnd 10705 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℂ)
58 1cnd 10707 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℂ)
596adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
6014nnzd 12160 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
62 1zzd 12087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
6361, 62zsubcld 12166 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
641, 2, 3, 4, 5, 59, 63ballotlemfelz 32019 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℤ)
6564zcnd 12162 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℂ)
6657, 58, 65subadd2d 11087 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0))
6756, 66mpbird 260 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
6850, 67syl5eq 2785 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → -1 = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
69 neg1lt0 11826 . . . . 5 -1 < 0
7068, 69eqbrtrrdi 5067 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
7170adantlr 715 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
721, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 49, 71ballotlemfcc 32022 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
731, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 32034 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7473ad2antrr 726 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7572, 74pm2.65da 817 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  cdif 3838  cin 3840  𝒫 cpw 4485   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  infcinf 8971  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  cz 12055  cuz 12317  ...cfz 12974  chash 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776
This theorem is referenced by:  ballotlem7  32064
  Copyright terms: Public domain W3C validator