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Theorem ppiub 25792
Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 11709 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
3 simpl 486 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ppicl 25720 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
54nn0red 11948 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
7 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 resubcl 10943 . . . . . 6 (((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
10 fzfi 13339 . . . . . . . . 9 (4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin
11 ssrab2 4010 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
12 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin
14 hashcl 13717 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0
1615nn0rei 11900 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ)
18 3nn 11708 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
19 nndivre 11670 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2018, 19mpan2 690 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
22 ppifl 25749 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
2322adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
24 ppi3 25760 . . . . . . . . 9 (π‘3) = 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘3) = 2)
2623, 25oveq12d 7157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = ((π𝑁) − 2))
27 3z 12007 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
29 flcl 13164 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
31 flge 13174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3227, 31mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3332biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ (⌊‘𝑁))
34 eluz2 12241 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
36 ppidif 25752 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
38 df-4 11694 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
3938oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 (4...(⌊‘𝑁)) = ((3 + 1)...(⌊‘𝑁))
4039ineq1i 4138 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = (((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)
4140fveq2i 6652 . . . . . . . 8 (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
4237, 41eqtr4di 2854 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
4326, 42eqtr3d 2838 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
44 dfin5 3892 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ}
45 elfzle1 12909 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 4 ≤ 𝑘)
46 ppiublem2 25791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5})
4746expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (4 ≤ 𝑘 → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4948ss2rabi 4007 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ} ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
5044, 49eqsstri 3952 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
51 ssdomg 8542 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
53 inss1 4158 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
54 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5510, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin
56 hashdom 13740 . . . . . . . 8 ((((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin) → ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5755, 13, 56mp2an 691 . . . . . . 7 ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5852, 57mpbir 234 . . . . . 6 (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5943, 58eqbrtrdi 5072 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
60 reflcl 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
62 peano2rem 10946 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64 6nn 11718 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 nndivre 11670 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
6663, 64, 65sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
67 reflcl 13165 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
69 5re 11716 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
70 resubcl 10943 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
7161, 69, 70sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
72 nndivre 11670 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
7371, 64, 72sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
74 reflcl 13165 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
76 peano2re 10806 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
78 peano2rem 10946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
80 nndivre 11670 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
8179, 64, 80sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
82 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
83 resubcl 10943 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
8482, 69, 83sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
85 nndivre 11670 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
8684, 64, 85sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
87 peano2re 10806 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
89 flle 13168 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
9066, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
91 1re 10634 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
93 flle 13168 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9493adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9561, 82, 92, 94lesub1dd 11249 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
96 6re 11719 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℝ)
98 6pos 11739 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < 6)
100 lediv1 11498 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10295, 101mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
10368, 66, 81, 90, 102letrd 10790 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
104 flle 13168 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10573, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
10761, 82, 106, 94lesub1dd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5))
108 lediv1 11498 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
110107, 109mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11175, 73, 86, 105, 110letrd 10790 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11275, 86, 92, 111leadd1dd 11247 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ≤ (((𝑁 − 5) / 6) + 1))
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 11252 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)) ≤ (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
114 ovex 7172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 mod 6) ∈ V
115114elpr 4551 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5))
116115rabbii 3423 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
117 unrab 4229 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
118116, 117eqtr4i 2827 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})
119118fveq2i 6652 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
120 ssrab2 4010 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
121 ssfi 8726 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin)
12210, 120, 121mp2an 691 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin
123 ssrab2 4010 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
124 ssfi 8726 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin)
12510, 123, 124mp2an 691 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin
126 inrab 4230 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)}
127 rabeq0 4295 . . . . . . . . . . 11 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
128 1lt5 11809 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
12991, 128ltneii 10746 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 5
130 eqtr2 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5) → 1 = 5)
131130necon3ai 3015 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 5 → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
132129, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
134127, 133mprgbir 3124 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅
135126, 134eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅
136 hashun 13743 . . . . . . . . 9 (({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin ∧ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅) → (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})))
137122, 125, 135, 136mp3an 1458 . . . . . . . 8 (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
138119, 137eqtri 2824 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
139 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
140 nnrp 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℝ+)
14164, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℝ+
142 0le1 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 1
143 1lt6 11814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 6
144 modid 13263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 6)) → (1 mod 6) = 1)
14591, 141, 142, 143, 144mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 mod 6) = 1
146145eqeq2i 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 1)
147 1z 12004 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
148 moddvds 15614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
14964, 147, 148mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
150146, 149bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
151139, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
152151rabbiia 3422 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}
153152fveq2i 6652 . . . . . . . . . 10 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)})
15464a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℕ)
155 4z 12008 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
157 4m1e3 11758 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 1) = 3
158157fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(4 − 1)) = (ℤ‘3)
15935, 158eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(4 − 1)))
160147a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
161154, 156, 159, 160hashdvds 16106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
162153, 161syl5eq 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
163 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
164 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
165 df-3 11693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
166157, 165eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 1) = (2 + 1)
167163, 164, 166mvrraddi 10896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) − 1) = 2
168167oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 1) / 6) = (2 / 6)
169168fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = (⌊‘(2 / 6))
170 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
17164nnne0i 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ≠ 0
1727, 96, 171redivcli 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ∈ ℝ
173 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
1747, 96, 173, 98divgt0ii 11550 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (2 / 6)
175170, 172, 174ltleii 10756 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 / 6)
176 2lt6 11813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 6
177 6cn 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℂ
178177mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 · 1) = 6
179176, 178breqtrri 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < (6 · 1)
18096, 98pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
181 ltdivmul 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1)))
1827, 91, 180, 181mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1))
183179, 182mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) < 1
184 1e0p1 12132 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
185183, 184breqtri 5058 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 6) < (0 + 1)
186 0z 11984 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
187 flbi 13185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 / 6) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1))))
188172, 186, 187mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1)))
189175, 185, 188mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(2 / 6)) = 0
190169, 189eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = 0
191190oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0)
19266flcld 13167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℤ)
193192zcnd 12080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℂ)
194193subid1d 10979 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
195191, 194syl5eq 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
196162, 195eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
197 5pos 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 5
198170, 69, 197ltleii 10756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 5
199 5lt6 11810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 6
200 modid 13263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 6)) → (5 mod 6) = 5)
20169, 141, 198, 199, 200mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 mod 6) = 5
202201eqeq2i 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 5)
203 5nn 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
204203nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℤ
205 moddvds 15614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
20664, 204, 205mp3an13 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
207202, 206bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
208139, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
209208rabbiia 3422 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}
210209fveq2i 6652 . . . . . . . . . 10 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)})
211204a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℤ)
212154, 156, 159, 211hashdvds 16106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
213210, 212syl5eq 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
214157oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) − 5) = (3 − 5)
215 5cn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
216 3cn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℂ
217215, 216negsubdi2i 10965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = (3 − 5)
218 3p2e5 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 + 2) = 5
219218oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
220 pncan2 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
221216, 163, 220mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = 2
222219, 221eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 − 3) = 2
223222negeqi 10872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = -2
224214, 217, 2233eqtr2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 5) = -2
225224oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((4 − 1) − 5) / 6) = (-2 / 6)
226 divneg 11325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → -(2 / 6) = (-2 / 6))
227163, 177, 171, 226mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) = (-2 / 6)
228225, 227eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 5) / 6) = -(2 / 6)
229228fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = (⌊‘-(2 / 6))
230172, 91, 183ltleii 10756 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ≤ 1
231172, 91lenegi 11178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 6) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(2 / 6))
232230, 231mpbi 233 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ≤ -(2 / 6)
233170, 172ltnegi 11177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (2 / 6) ↔ -(2 / 6) < -0)
234174, 233mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) < -0
235 neg0 10925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
236 1pneg1e0 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
237235, 236eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = (1 + -1)
238 neg1cn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
239238, 164addcomi 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 + 1) = (1 + -1)
240237, 239eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 -0 = (-1 + 1)
241234, 240breqtri 5058 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 / 6) < (-1 + 1)
242172renegcli 10940 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) ∈ ℝ
243 neg1z 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
244 flbi 13185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(2 / 6) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1))))
245242, 243, 244mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1)))
246232, 241, 245mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘-(2 / 6)) = -1
247229, 246eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = -1
248247oveq2i 7150 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1)
24973flcld 13167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℤ)
250249zcnd 12080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ)
251 subneg 10928 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
252250, 164, 251sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
253248, 252syl5eq 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
254213, 253eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
255196, 254oveq12d 7157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
256138, 255syl5eq 2848 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
25782recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2582572timesd 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
259 df-6 11696 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
260215, 164addcomi 10824 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = (1 + 5)
261259, 260eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (1 + 5)
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 = (1 + 5))
263258, 262oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)))
264 addsub4 10922 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ)) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
265164, 215, 264mpanr12 704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
266257, 257, 265syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
267263, 266eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
268267oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6))
269 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
270163, 257, 269sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
271177, 171pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
272 divsubdir 11327 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
273177, 271, 272mp3an23 1450 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
274270, 273syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
275 3t2e6 11795 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
276216, 163mulcomi 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = (2 · 3)
277275, 276eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (2 · 3)
278277oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) / 6) = ((2 · 𝑁) / (2 · 3))
279 3ne0 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
280216, 279pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
281 2cnne0 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
282 divcan5 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
283280, 281, 282mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
284257, 283syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
285278, 284syl5eq 2848 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / 6) = (𝑁 / 3))
286177, 171dividi 11366 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 6) = 1
287286a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (6 / 6) = 1)
288285, 287oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)) = ((𝑁 / 3) − 1))
289274, 288eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = ((𝑁 / 3) − 1))
29079recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
29184recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℂ)
292 divdir 11316 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
293271, 292mp3an3 1447 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
294290, 291, 293syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
295268, 289, 2943eqtr3d 2844 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 3) − 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
296295oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1))
29721recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℂ)
298 npcan 10888 . . . . . . . 8 (((𝑁 / 3) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
299297, 164, 298sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
30081recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℂ)
30186recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℂ)
302164a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
303300, 301, 302addassd 10656 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
304296, 299, 3033eqtr3d 2844 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
305113, 256, 3043brtr4d 5065 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ≤ (𝑁 / 3))
3069, 17, 21, 59, 305letrd 10790 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3))
3077a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
3086, 307, 21lesubaddd 11230 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3) ↔ (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
309306, 308mpbid 235 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
310309adantlr 714 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3115ad2antrr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ∈ ℝ)
3127a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ∈ ℝ)
31320ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
314 readdcl 10613 . . . 4 (((𝑁 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
315313, 7, 314sylancl 589 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
316 ppiwordi 25751 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
3171, 316mp3an2 1446 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
318317adantlr 714 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
319318, 24breqtrdi 5074 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ 2)
320 3pos 11734 . . . . . 6 0 < 3
321 divge0 11502 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
3221, 320, 321mpanr12 704 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
323322adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
324 addge02 11144 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 3) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
3257, 313, 324sylancr 590 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
326323, 325mpbid 235 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
327311, 312, 315, 319, 326letrd 10790 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3282, 3, 310, 327lecasei 10739 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  {crab 3113  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {cpr 4530   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cdom 8494  Fincfn 8496  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ...cfz 12889  cfl 13159   mod cmo 13236  chash 13690  cdvds 15603  cprime 16009  πcppi 25683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-prm 16010  df-ppi 25689
This theorem is referenced by:  bposlem5  25876
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