ppiub - Metamath Proof Explorer

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Theorem ppiub 27405

Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
ppiub	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Proof of Theorem ppiub Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12339	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
3		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ppicl 27332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (π‘𝑁) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0red 12584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
7		2re 12333	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		resubcl 11540	. . . . . 6 ⊢ (((π‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π‘𝑁) − 2) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) − 2) ∈ ℝ)
10		fzfi 14028	. . . . . . . . 9 ⊢ (4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin
11		ssrab2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
12		ssfi 9167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin
14		hashcl 14412	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ₀)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ₀
16	15	nn0rei 12533	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ)
18		3nn 12338	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
19		nndivre 12295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
20	18, 19	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
22		ppifl 27361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π‘𝑁))
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π‘𝑁))
24		ppi3 27372	. . . . . . . . 9 ⊢ (π‘3) = 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘3) = 2)
26	23, 25	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = ((π‘𝑁) − 2))
27		3z 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
29		flcl 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
31		flge 13858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
32	27, 31	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
33	32	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ (⌊‘𝑁))
34		eluz2 12886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
35	28, 30, 33, 34	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3))
36		ppidif 27364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘3) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
38		df-4 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
39	38	oveq1i 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4...(⌊‘𝑁)) = ((3 + 1)...(⌊‘𝑁))
40	39	ineq1i 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = (((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)
41	40	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
42	37, 41	eqtr4di 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
43	26, 42	eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) − 2) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
44		dfin5 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ}
45		elfzle1 13573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 4 ≤ 𝑘)
46		ppiublem2 27404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5})
47	46	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ≤ 𝑘 → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
49	48	ss2rabi 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ} ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
50	44, 49	eqsstri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
51		ssdomg 9006	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
52	13, 50, 51	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
53		inss1 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
54		ssfi 9167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
55	10, 53, 54	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin
56		hashdom 14435	. . . . . . . 8 ⊢ ((((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin) → ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
57	55, 13, 56	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
58	52, 57	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
59	43, 58	eqbrtrdi 5155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) − 2) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
60		reflcl 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
62		peano2rem 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64		6nn 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
65		nndivre 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
66	63, 64, 65	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
67		reflcl 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
69		5re 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
70		resubcl 11540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
71	61, 69, 70	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
72		nndivre 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
73	71, 64, 72	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
74		reflcl 13849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
76		peano2re 11401	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
77	75, 76	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
78		peano2rem 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
79	78	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
80		nndivre 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
81	79, 64, 80	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
82		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
83		resubcl 11540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
84	82, 69, 83	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
85		nndivre 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
86	84, 64, 85	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
87		peano2re 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
88	86, 87	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
89		flle 13852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
90	66, 89	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
91		1red 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
92		flle 13852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
94	61, 82, 91, 93	lesub1dd 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
95		6re 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℝ)
97		6pos 12372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < 6)
99		lediv1 12098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
100	63, 79, 96, 98, 99	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
101	94, 100	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
102	68, 66, 81, 90, 101	letrd 11385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
103		flle 13852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
104	73, 103	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
105	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
106	61, 82, 105, 93	lesub1dd 11848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5))
107		lediv1 12098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
108	71, 84, 96, 98, 107	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
109	106, 108	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
110	75, 73, 86, 104, 109	letrd 11385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
111	75, 86, 91, 110	leadd1dd 11846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ≤ (((𝑁 − 5) / 6) + 1))
112	68, 77, 81, 88, 102, 111	le2addd 11851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)) ≤ (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
113		ovex 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 mod 6) ∈ V
114	113	elpr 4619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5))
115	114	rabbii 3424	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
116		unrab 4271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
117	115, 116	eqtr4i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})
118	117	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
119		ssrab2 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
120		ssfi 9167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin)
121	10, 119, 120	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin
122		ssrab2 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
123		ssfi 9167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin)
124	10, 122, 123	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin
125		inrab 4272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)}
126		rabeq0 4348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
127		1re 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
128		1lt5 12441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 5
129	127, 128	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 5
130		eqtr2 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5) → 1 = 5)
131	130	necon3ai 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 5 → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
132	129, 131	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
134	126, 133	mprgbir 3089	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅
135	125, 134	eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅
136		hashun 14438	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin ∧ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅) → (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})))
137	121, 124, 135, 136	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
138	118, 137	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
139		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
140		nnrp 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℝ⁺)
141	64, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ ℝ⁺
142		0le1 11755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
143		1lt6 12446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 6
144		modid 13949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 6)) → (1 mod 6) = 1)
145	127, 141, 142, 143, 144	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 mod 6) = 1
146	145	eqeq2i 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 1)
147		1z 12642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
148		moddvds 16346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
149	64, 147, 148	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
150	146, 149	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
151	139, 150	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
152	151	rabbiia 3423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}
153	152	fveq2i 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)})
154	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℕ)
155		4z 12646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℤ
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
157		4m1e3 12387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 − 1) = 3
158	157	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ_≥‘(4 − 1)) = (ℤ_≥‘3)
159	35, 158	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(4 − 1)))
160		1zzd 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
161	154, 156, 159, 160	hashdvds 16859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
162	153, 161	eqtrid 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
163		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
164		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
165		df-3 12322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
166	157, 165	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
167	163, 164, 166	mvrraddi 11492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) − 1) = 2
168	167	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 − 1) − 1) / 6) = (2 / 6)
169	168	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = (⌊‘(2 / 6))
170		0re 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
171	64	nnne0i 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ≠ 0
172	7, 95, 171	redivcli 12000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 / 6) ∈ ℝ
173		2pos 12363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
174	7, 95, 173, 97	divgt0ii 12150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (2 / 6)
175	170, 172, 174	ltleii 11351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (2 / 6)
176		2lt6 12445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 6
177		6cn 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℂ
178	177	mulridi 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (6 · 1) = 6
179	176, 178	breqtrri 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < (6 · 1)
180	95, 97	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
181		ltdivmul 12108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1)))
182	7, 127, 180, 181	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1))
183	179, 182	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 / 6) < 1
184		1e0p1 12776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
185	183, 184	breqtri 5141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 6) < (0 + 1)
186		0z 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
187		flbi 13869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 / 6) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1))))
188	172, 186, 187	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1)))
189	175, 185, 188	mpbir2an 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘(2 / 6)) = 0
190	169, 189	eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = 0
191	190	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0)
192	66	flcld 13851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℤ)
193	192	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℂ)
194	193	subid1d 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
195	191, 194	eqtrid 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
196	162, 195	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
197		5pos 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 5
198	170, 69, 197	ltleii 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 5
199		5lt6 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 < 6
200		modid 13949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 6)) → (5 mod 6) = 5)
201	69, 141, 198, 199, 200	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 mod 6) = 5
202	201	eqeq2i 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 5)
203		5nn 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
204	203	nnzi 12636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℤ
205		moddvds 16346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
206	64, 204, 205	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
207	202, 206	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
208	139, 207	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
209	208	rabbiia 3423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}
210	209	fveq2i 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)})
211	204	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℤ)
212	154, 156, 159, 211	hashdvds 16859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
213	210, 212	eqtrid 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
214	157	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 1) − 5) = (3 − 5)
215		5cn 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
216		3cn 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℂ
217	215, 216	negsubdi2i 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(5 − 3) = (3 − 5)
218		3p2e5 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 + 2) = 5
219	218	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
220		pncan2 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
221	216, 163, 220	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 + 2) − 3) = 2
222	219, 221	eqtr3i 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 − 3) = 2
223	222	negeqi 11468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(5 − 3) = -2
224	214, 217, 223	3eqtr2i 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((4 − 1) − 5) = -2
225	224	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((4 − 1) − 5) / 6) = (-2 / 6)
226		divneg 11924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → -(2 / 6) = (-2 / 6))
227	163, 177, 171, 226	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 / 6) = (-2 / 6)
228	225, 227	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 − 1) − 5) / 6) = -(2 / 6)
229	228	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = (⌊‘-(2 / 6))
230	172, 127, 183	ltleii 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 / 6) ≤ 1
231	172, 127	lenegi 11777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 / 6) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(2 / 6))
232	230, 231	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ≤ -(2 / 6)
233	170, 172	ltnegi 11776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < (2 / 6) ↔ -(2 / 6) < -0)
234	174, 233	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 / 6) < -0
235		neg0 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -0 = 0
236		1pneg1e0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + -1) = 0
237	235, 236	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -0 = (1 + -1)
238		neg1cn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℂ
239	238, 164	addcomi 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
240	237, 239	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -0 = (-1 + 1)
241	234, 240	breqtri 5141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 / 6) < (-1 + 1)
242	172	renegcli 11537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 / 6) ∈ ℝ
243		neg1z 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℤ
244		flbi 13869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(2 / 6) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1))))
245	242, 243, 244	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1)))
246	232, 241, 245	mpbir2an 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘-(2 / 6)) = -1
247	229, 246	eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = -1
248	247	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1)
249	73	flcld 13851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℤ)
250	249	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ)
251		subneg 11525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
252	250, 164, 251	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
253	248, 252	eqtrid 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
254	213, 253	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
255	196, 254	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
256	138, 255	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
257	82	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
258	257	2timesd 12505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
259		df-6 12325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 = (5 + 1)
260	215, 164	addcomi 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 1) = (1 + 5)
261	259, 260	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 = (1 + 5)
262	261	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 = (1 + 5))
263	258, 262	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)))
264		addsub4 11519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ)) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
265	164, 215, 264	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
266	257, 257, 265	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
267	263, 266	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
268	267	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6))
269		mulcl 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
270	163, 257, 269	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
271	177, 171	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
272		divsubdir 11926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
273	177, 271, 272	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
274	270, 273	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
275		2t3e6 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = 6
276	275	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = ((2 · 𝑁) / 6)
277		3ne0 12368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 0
278	216, 277	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
279		2cnne0 12471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
280		divcan5 11935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
281	278, 279, 280	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
282	257, 281	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
283	276, 282	eqtr3id 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / 6) = (𝑁 / 3))
284	177, 171	dividi 11966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 / 6) = 1
285	284	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (6 / 6) = 1)
286	283, 285	oveq12d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)) = ((𝑁 / 3) − 1))
287	274, 286	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = ((𝑁 / 3) − 1))
288	79	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
289	84	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℂ)
290		divdir 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
291	271, 290	mp3an3 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
292	288, 289, 291	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
293	268, 287, 292	3eqtr3d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 3) − 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
294	293	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1))
295	21	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℂ)
296		npcan 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 / 3) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
297	295, 164, 296	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
298	81	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℂ)
299	86	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℂ)
300	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
301	298, 299, 300	addassd 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
302	294, 297, 301	3eqtr3d 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
303	112, 256, 302	3brtr4d 5148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ≤ (𝑁 / 3))
304	9, 17, 21, 59, 303	letrd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3))
305	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
306	6, 305, 21	lesubaddd 11829	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((π‘𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3) ↔ (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
307	304, 306	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
308	307	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
309	5	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ∈ ℝ)
310	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ∈ ℝ)
311	20	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
312		readdcl 11201	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
313	311, 7, 312	sylancl 598	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
314		ppiwordi 27363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ≤ (π‘3))
315	1, 314	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ≤ (π‘3))
316	315	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ≤ (π‘3))
317	316, 24	breqtrdi 5157	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ≤ 2)
318		3pos 12367	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
319		divge0 12102	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
320	1, 318, 319	mpanr12 718	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
321	320	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
322		addge02 11743	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 3) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
323	7, 311, 322	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
324	321, 323	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
325	309, 310, 313, 317, 324	letrd 11385	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
326	2, 3, 308, 325	lecasei 11334	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π‘𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2961 {crab 3419 ∪ cun 3906 ∩ cin 3907 ⊆ wss 3908 ∅c0 4289 {cpr 4596 class class class wbr 5114 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ≼ cdom 8950 Fincfn 8952 ℂcc 11116 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 ≤ cle 11262 − cmin 11459 -cneg 11460 / cdiv 11889 ℕcn 12251 2c2 12313 3c3 12314 4c4 12315 5c5 12316 6c6 12317 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ℝ⁺crp 13034 ...cfz 13553 ⌊cfl 13843 mod cmo 13922 ♯chash 14386 ∥ cdvds 16335 ℙcprime 16754 πcppi 27295

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-er 8703 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-inf 9413 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-4 12323 df-5 12324 df-6 12325 df-n0 12523 df-xnn0 12596 df-z 12610 df-uz 12881 df-rp 13035 df-icc 13397 df-fz 13554 df-fl 13845 df-mod 13923 df-seq 14058 df-exp 14118 df-hash 14387 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-dvds 16336 df-prm 16755 df-ppi 27301

This theorem is used by: bposlem5 27489

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