MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem7 27145
Description: Lemma for basel 27148. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
basellem7 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 11211 . . . . 5 1 ∈ ℂ
41eqimss2i 4057 . . . . . 6 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
5 nnex 12270 . . . . . 6 ℕ ∈ V
64, 5climconst2 15581 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
73, 2, 6sylancr 587 . . . 4 (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8 ovexd 7466 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9 basellem7.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
104, 5climconst2 15581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
119, 2, 10sylancr 587 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12 ovexd 7466 . . . . . 6 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13 basel.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
1413basellem6 27144 . . . . . . 7 𝐺 ⇝ 0
1514a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
169elexi 3501 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
1716fconst 6795 . . . . . . . 8 (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
189a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1918snssd 4814 . . . . . . . 8 (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20 fss 6753 . . . . . . . 8 (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2117, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2221ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2624, 25sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2726peano2nnd 12281 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2827nnrecred 12315 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2928recnd 11287 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3029, 13fmptd 7134 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
3130ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3221ffnd 6738 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
3330ffnd 6738 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
345a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℕ ∈ V)
35 inidm 4235 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
3832, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofval 7708 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
391, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38climmul 15666 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
409mul01i 11449 . . . . 5 (𝐴 · 0) = 0
4139, 40breqtrdi 5189 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42 1ex 11255 . . . . . . 7 1 ∈ V
4342fconst 6795 . . . . . 6 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
443a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
4544snssd 4814 . . . . . 6 (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46 fss 6753 . . . . . 6 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4743, 45, 46sylancr 587 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4847ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49 mulcl 11237 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5049adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5150, 21, 30, 34, 34, 35off 7715 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
5251ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
5343a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
5453ffnd 6738 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
5551ffnd 6738 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56 eqidd 2736 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57 eqidd 2736 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
5854, 55, 34, 34, 35, 56, 57ofval 7708 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
591, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58climadd 15665 . . 3 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
6059mptru 1544 . 2 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61 1p0e1 12388 . 2 (1 + 0) = 1
6260, 61breqtri 5173 1 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  basellem9  27147
  Copyright terms: Public domain W3C validator