Theorem basellem7 27148

Description: Lemma for basel 27151. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 4070	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 12299	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 15594	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovexd 7483	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	4, 5	climconst2 15594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	9, 2, 10	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12		ovexd 7483	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
14	13	basellem6 27147	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
16	9	elexi 3511	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
17	16	fconst 6807	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20		fss 6763	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
21	17, 19, 20	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23		2nn 12366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25		nnmulcl 12317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26	24, 25	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
27	26	peano2nnd 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
28	27	nnrecred 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
30	29, 13	fmptd 7148	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
31	30	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32	21	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
33	30	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
34	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
35		inidm 4248	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
38	32, 33, 34, 34, 35, 36, 37	ofval 7725	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
39	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38	climmul 15679	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
40	9	mul01i 11480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
41	39, 40	breqtrdi 5207	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42		1ex 11286	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6807	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
45	44	snssd 4834	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46		fss 6763	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
47	43, 45, 46	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
48	47	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49		mulcl 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
51	50, 21, 30, 34, 34, 35	off 7732	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
52	51	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
53	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
54	53	ffnd 6748	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
55	51	ffnd 6748	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
58	54, 55, 34, 34, 35, 56, 57	ofval 7725	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
59	1, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58	climadd 15678	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
60	59	mptru 1544	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61		1p0e1 12417	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
62	60, 61	breqtri 5191	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  basellem9  27150