Theorem basellem7 27419

Description: Lemma for basel 27422. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13007	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12730	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 3969	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 12344	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 15720	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	4, 5	climconst2 15720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	9, 2, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
14	13	basellem6 27418	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
16	9	elexi 3472	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
17	16	fconst 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20		fss 6726	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
21	17, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23		2nn 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25		nnmulcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26	24, 25	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
27	26	peano2nnd 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
28	27	nnrecred 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
30	29, 13	fmptd 7114	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
31	30	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32	21	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
33	30	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
34	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
35		inidm 4123	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
38	32, 33, 34, 34, 35, 36, 37	ofval 7704	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
39	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38	climmul 15805	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
40	9	mul01i 11503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
41	39, 40	breqtrdi 5145	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42		1ex 11306	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6768	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
45	44	snssd 4743	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46		fss 6726	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
47	43, 45, 46	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
48	47	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49		mulcl 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
51	50, 21, 30, 34, 34, 35	off 7711	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
52	51	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
53	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
54	53	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
55	51	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
58	54, 55, 34, 34, 35, 56, 57	ofval 7704	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
59	1, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58	climadd 15804	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
60	59	mptru 1576	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61		1p0e1 12468	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
62	60, 61	breqtri 5129	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661

This theorem is used by:  basellem9  27421