Theorem basellem7 26141

Description: Lemma for basel 26144. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12550	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 10860	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 3976	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 11909	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 15185	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovexd 7290	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	4, 5	climconst2 15185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	9, 2, 10	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
14	13	basellem6 26140	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
16	9	elexi 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
17	16	fconst 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20		fss 6601	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
21	17, 19, 20	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
22	21	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23		2nn 11976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26	24, 25	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
27	26	peano2nnd 11920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
28	27	nnrecred 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
30	29, 13	fmptd 6970	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
31	30	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32	21	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
33	30	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
34	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
35		inidm 4149	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
38	32, 33, 34, 34, 35, 36, 37	ofval 7522	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
39	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38	climmul 15270	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
40	9	mul01i 11095	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
41	39, 40	breqtrdi 5111	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42		1ex 10902	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6644	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
45	44	snssd 4739	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46		fss 6601	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
47	43, 45, 46	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
48	47	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49		mulcl 10886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
51	50, 21, 30, 34, 34, 35	off 7529	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
52	51	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
53	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
54	53	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
55	51	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
58	54, 55, 34, 34, 35, 56, 57	ofval 7522	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
59	1, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58	climadd 15269	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
60	59	mptru 1546	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61		1p0e1 12027	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
62	60, 61	breqtri 5095	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  basellem9  26143