Theorem basellem7 27053

Description: Lemma for basel 27056. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
basellem7	⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12522	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11084	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1	eqimss2i 3995	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
5		nnex 12151	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
6	4, 5	climconst2 15471	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
7	3, 2, 6	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9		basellem7.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10	4, 5	climconst2 15471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
11	9, 2, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12		ovexd 7393	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13		basel.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
14	13	basellem6 27052	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ⇝ 0
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
16	9	elexi 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
17	16	fconst 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
18	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4765	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20		fss 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
21	17, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23		2nn 12218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25		nnmulcl 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
26	24, 25	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
27	26	peano2nnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
28	27	nnrecred 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
30	29, 13	fmptd 7059	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
31	30	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32	21	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
33	30	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
34	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
35		inidm 4179	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
38	32, 33, 34, 34, 35, 36, 37	ofval 7633	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
39	1, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38	climmul 15556	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
40	9	mul01i 11323	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
41	39, 40	breqtrdi 5139	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42		1ex 11128	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
43	42	fconst 6720	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
45	44	snssd 4765	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46		fss 6678	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
47	43, 45, 46	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
48	47	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49		mulcl 11110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
51	50, 21, 30, 34, 34, 35	off 7640	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
52	51	ffvelcdmda 7029	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
53	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
54	53	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
55	51	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
58	54, 55, 34, 34, 35, 56, 57	ofval 7633	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
59	1, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58	climadd 15555	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
60	59	mptru 1548	. 2 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61		1p0e1 12264	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
62	60, 61	breqtri 5123	1 ⊢ ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  basellem9  27055