MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem basellem7 26598
Description: Lemma for basel 26601. The function 1 + 𝐴 Β· 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
basellem7.2 𝐴 ∈ β„‚
Assertion
Ref Expression
basellem7 ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)) ⇝ 1
Proof of Theorem basellem7
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12867 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12595 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 ∈ β„‚
41eqimss2i 4043 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„•
5 nnex 12220 . . . . . 6 β„• ∈ V
64, 5climconst2 15494 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {1}) ⇝ 1)
73, 2, 6sylancr 587 . . . 4 (⊀ β†’ (β„• Γ— {1}) ⇝ 1)
8 ovexd 7446 . . . 4 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)) ∈ V)
9 basellem7.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ β„‚
104, 5climconst2 15494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {𝐴}) ⇝ 𝐴)
119, 2, 10sylancr 587 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„• Γ— {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12 ovexd 7446 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺) ∈ V)
13 basel.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
1413basellem6 26597 . . . . . . 7 𝐺 ⇝ 0
1514a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
169elexi 3493 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
1716fconst 6777 . . . . . . . 8 (β„• Γ— {𝐴}):β„•βŸΆ{𝐴}
189a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918snssd 4812 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ {𝐴} βŠ† β„‚)
20 fss 6734 . . . . . . . 8 (((β„• Γ— {𝐴}):β„•βŸΆ{𝐴} ∧ {𝐴} βŠ† β„‚) β†’ (β„• Γ— {𝐴}):β„•βŸΆβ„‚)
2117, 19, 20sylancr 587 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„• Γ— {𝐴}):β„•βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 2nn 12287 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 2 ∈ β„•)
25 nnmulcl 12238 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
2624, 25sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•)
2726peano2nnd 12231 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2827nnrecred 12265 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2928recnd 11244 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3029, 13fmptd 7115 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„‚)
3130ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3221ffnd 6718 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„• Γ— {𝐴}) Fn β„•)
3330ffnd 6718 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 𝐺 Fn β„•)
345a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ β„• ∈ V)
35 inidm 4218 . . . . . . 7 (β„• ∩ β„•) = β„•
36 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘˜))
37 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
3832, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofval 7683 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘˜) = (((β„• Γ— {𝐴})β€˜π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
391, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38climmul 15579 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺) ⇝ (𝐴 Β· 0))
409mul01i 11406 . . . . 5 (𝐴 Β· 0) = 0
4139, 40breqtrdi 5189 . . . 4 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺) ⇝ 0)
42 1ex 11212 . . . . . . 7 1 ∈ V
4342fconst 6777 . . . . . 6 (β„• Γ— {1}):β„•βŸΆ{1}
443a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
4544snssd 4812 . . . . . 6 (⊀ β†’ {1} βŠ† β„‚)
46 fss 6734 . . . . . 6 (((β„• Γ— {1}):β„•βŸΆ{1} ∧ {1} βŠ† β„‚) β†’ (β„• Γ— {1}):β„•βŸΆβ„‚)
4743, 45, 46sylancr 587 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„• Γ— {1}):β„•βŸΆβ„‚)
4847ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
49 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
5049adantl 482 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
5150, 21, 30, 34, 34, 35off 7690 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺):β„•βŸΆβ„‚)
5251ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5343a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„• Γ— {1}):β„•βŸΆ{1})
5453ffnd 6718 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„• Γ— {1}) Fn β„•)
5551ffnd 6718 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺) Fn β„•)
56 eqidd 2733 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {1})β€˜π‘˜))
57 eqidd 2733 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘˜) = (((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘˜))
5854, 55, 34, 34, 35, 56, 57ofval 7683 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘˜) = (((β„• Γ— {1})β€˜π‘˜) + (((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘˜)))
591, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58climadd 15578 . . 3 (⊀ β†’ ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
6059mptru 1548 . 2 ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61 1p0e1 12338 . 2 (1 + 0) = 1
6260, 61breqtri 5173 1 ((β„• Γ— {1}) ∘f + ((β„• Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐺)) ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435
This theorem is referenced by:  basellem9  26600
  Copyright terms: Public domain W3C validator