Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem7 25667
 Description: Lemma for basel 25670. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
basellem7 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12284 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12016 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 10598 . . . . 5 1 ∈ ℂ
41eqimss2i 4029 . . . . . 6 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
5 nnex 11647 . . . . . 6 ℕ ∈ V
64, 5climconst2 14908 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
73, 2, 6sylancr 589 . . . 4 (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8 ovexd 7194 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ∈ V)
9 basellem7.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
104, 5climconst2 14908 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
119, 2, 10sylancr 589 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12 ovexd 7194 . . . . . 6 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ∈ V)
13 basel.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
1413basellem6 25666 . . . . . . 7 𝐺 ⇝ 0
1514a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
169elexi 3516 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
1716fconst 6568 . . . . . . . 8 (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
189a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1918snssd 4745 . . . . . . . 8 (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20 fss 6530 . . . . . . . 8 (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2117, 19, 20sylancr 589 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6854 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23 2nn 11713 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25 nnmulcl 11664 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2624, 25sylan 582 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2726peano2nnd 11658 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2827nnrecred 11691 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2928recnd 10672 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3029, 13fmptd 6881 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
3130ffvelrnda 6854 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3221ffnd 6518 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
3330ffnd 6518 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
345a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℕ ∈ V)
35 inidm 4198 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
36 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
37 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
3832, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofval 7421 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
391, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 38climmul 14992 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
409mul01i 10833 . . . . 5 (𝐴 · 0) = 0
4139, 40breqtrdi 5110 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) ⇝ 0)
42 1ex 10640 . . . . . . 7 1 ∈ V
4342fconst 6568 . . . . . 6 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
443a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
4544snssd 4745 . . . . . 6 (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
46 fss 6530 . . . . . 6 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4743, 45, 46sylancr 589 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4847ffvelrnda 6854 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
49 mulcl 10624 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5049adantl 484 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5150, 21, 30, 34, 34, 35off 7427 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
5251ffvelrnda 6854 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
5343a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
5453ffnd 6518 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
5551ffnd 6518 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺) Fn ℕ)
56 eqidd 2825 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
57 eqidd 2825 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘))
5854, 55, 34, 34, 35, 56, 57ofval 7421 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)‘𝑘)))
591, 2, 7, 8, 41, 48, 52, 58climadd 14991 . . 3 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
6059mptru 1543 . 2 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
61 1p0e1 11764 . 2 (1 + 0) = 1
6260, 61breqtri 5094 1 ((ℕ × {1}) ∘f + ((ℕ × {𝐴}) ∘f · 𝐺)) ⇝ 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  {csn 4570   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘f cof 7410  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246   ⇝ cli 14844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849 This theorem is referenced by:  basellem9  25669
 Copyright terms: Public domain W3C validator