Theorem norm3adifii 30870

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3adifii	⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Proof of Theorem norm3adifii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubcli 30743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
4	3	normcli 30853	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
5	4	recni 11225	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	6, 2	hvsubcli 30743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
8	7	normcli 30853	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
9	8	recni 11225	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
10	5, 9	negsubdi2i 11543	. . . 4 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
11	6, 2, 1	norm3difi 30869	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
12	6, 1	normsubi 30863	. . . . . . 7 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
13	12	oveq1i 7411	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
14	11, 13	breqtri 5163	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
15	1, 6	hvsubcli 30743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
16	15	normcli 30853	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
17	8, 4, 16	lesubaddi 11769	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))))
18	14, 17	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
19	10, 18	eqbrtri 5159	. . 3 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
20	4, 8	resubcli 11519	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∈ ℝ
21	20, 16	lenegcon1i 11763	. . 3 ⊢ (-((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
22	19, 21	mpbi 229	. 2 ⊢ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
23	1, 2, 6	norm3difi 30869	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
24	4, 8, 16	lesubaddi 11769	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
25	23, 24	mpbir 230	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
26	20, 16	abslei 15335	. 2 ⊢ ((abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (-(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
27	22, 25, 26	mpbir2an 708	1 ⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   + caddc 11109   ≤ cle 11246   − cmin 11441  -cneg 11442  abscabs 15178   ℋchba 30641  norm_ℎcno 30645   −_ℎ cmv 30647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-hnorm 30690  df-hvsub 30693

This theorem is referenced by:  norm3adifi  30875