HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3adifii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3adifii 28530
Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm3adifii (abs‘((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶)))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))

Proof of Theorem norm3adifii
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℋ
2 norm3dif.3 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℋ
31, 2hvsubcli 28403 . . . . . . 7 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
43normcli 28513 . . . . . 6 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
54recni 10343 . . . . 5 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℂ
6 norm3dif.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℋ
76, 2hvsubcli 28403 . . . . . . 7 (𝐵 𝐶) ∈ ℋ
87normcli 28513 . . . . . 6 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℝ
98recni 10343 . . . . 5 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℂ
105, 9negsubdi2i 10659 . . . 4 -((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) = ((norm‘(𝐵 𝐶)) − (norm‘(𝐴 𝐶)))
116, 2, 1norm3difi 28529 . . . . . 6 (norm‘(𝐵 𝐶)) ≤ ((norm‘(𝐵 𝐴)) + (norm‘(𝐴 𝐶)))
126, 1normsubi 28523 . . . . . . 7 (norm‘(𝐵 𝐴)) = (norm‘(𝐴 𝐵))
1312oveq1i 6888 . . . . . 6 ((norm‘(𝐵 𝐴)) + (norm‘(𝐴 𝐶))) = ((norm‘(𝐴 𝐵)) + (norm‘(𝐴 𝐶)))
1411, 13breqtri 4868 . . . . 5 (norm‘(𝐵 𝐶)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐵)) + (norm‘(𝐴 𝐶)))
151, 6hvsubcli 28403 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1615normcli 28513 . . . . . 6 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
178, 4, 16lesubaddi 10878 . . . . 5 (((norm‘(𝐵 𝐶)) − (norm‘(𝐴 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)) ↔ (norm‘(𝐵 𝐶)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐵)) + (norm‘(𝐴 𝐶))))
1814, 17mpbir 223 . . . 4 ((norm‘(𝐵 𝐶)) − (norm‘(𝐴 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))
1910, 18eqbrtri 4864 . . 3 -((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))
204, 8resubcli 10635 . . . 4 ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ∈ ℝ
2120, 16lenegcon1i 10872 . . 3 (-((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)) ↔ -(norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))))
2219, 21mpbi 222 . 2 -(norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶)))
231, 2, 6norm3difi 28529 . . 3 (norm‘(𝐴 𝐶)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐵)) + (norm‘(𝐵 𝐶)))
244, 8, 16lesubaddi 10878 . . 3 (((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)) ↔ (norm‘(𝐴 𝐶)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐵)) + (norm‘(𝐵 𝐶))))
2523, 24mpbir 223 . 2 ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))
2620, 16abslei 14472 . 2 ((abs‘((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶)))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)) ↔ (-(norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ∧ ((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))))
2722, 25, 26mpbir2an 703 1 (abs‘((norm‘(𝐴 𝐶)) − (norm‘(𝐵 𝐶)))) ≤ (norm‘(𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878   + caddc 10227  cle 10364  cmin 10556  -cneg 10557  abscabs 14315  chba 28301  normcno 28305   cmv 28307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-hfvadd 28382  ax-hvcom 28383  ax-hvass 28384  ax-hv0cl 28385  ax-hvaddid 28386  ax-hfvmul 28387  ax-hvmulid 28388  ax-hvmulass 28389  ax-hvdistr1 28390  ax-hvdistr2 28391  ax-hvmul0 28392  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465  ax-his3 28466  ax-his4 28467
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-hnorm 28350  df-hvsub 28353
This theorem is referenced by:  norm3adifi  28535
  Copyright terms: Public domain W3C validator