Theorem norm3adifii 31221

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3adifii	⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Proof of Theorem norm3adifii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubcli 31094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
4	3	normcli 31204	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
5	4	recni 11161	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	6, 2	hvsubcli 31094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
8	7	normcli 31204	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
9	8	recni 11161	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
10	5, 9	negsubdi2i 11482	. . . 4 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
11	6, 2, 1	norm3difi 31220	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
12	6, 1	normsubi 31214	. . . . . . 7 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
13	12	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
14	11, 13	breqtri 5111	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
15	1, 6	hvsubcli 31094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
16	15	normcli 31204	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
17	8, 4, 16	lesubaddi 11710	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))))
18	14, 17	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
19	10, 18	eqbrtri 5107	. . 3 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
20	4, 8	resubcli 11458	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∈ ℝ
21	20, 16	lenegcon1i 11704	. . 3 ⊢ (-((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
22	19, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
23	1, 2, 6	norm3difi 31220	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
24	4, 8, 16	lesubaddi 11710	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
25	23, 24	mpbir 231	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
26	20, 16	abslei 15356	. 2 ⊢ ((abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (-(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
27	22, 25, 26	mpbir2an 712	1 ⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   + caddc 11043   ≤ cle 11182   − cmin 11379  -cneg 11380  abscabs 15198   ℋchba 30992  norm_ℎcno 30996   −_ℎ cmv 30998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-hfvadd 31073  ax-hvcom 31074  ax-hvass 31075  ax-hv0cl 31076  ax-hvaddid 31077  ax-hfvmul 31078  ax-hvmulid 31079  ax-hvmulass 31080  ax-hvdistr1 31081  ax-hvdistr2 31082  ax-hvmul0 31083  ax-hfi 31152  ax-his1 31155  ax-his2 31156  ax-his3 31157  ax-his4 31158

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-rp 12945  df-seq 13966  df-exp 14026  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-hnorm 31041  df-hvsub 31044

This theorem is referenced by:  norm3adifi  31226