Theorem norm3adifii 31126

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3adifii	⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Proof of Theorem norm3adifii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubcli 30999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
4	3	normcli 31109	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
5	4	recni 11126	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	6, 2	hvsubcli 30999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
8	7	normcli 31109	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
9	8	recni 11126	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
10	5, 9	negsubdi2i 11447	. . . 4 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
11	6, 2, 1	norm3difi 31125	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
12	6, 1	normsubi 31119	. . . . . . 7 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
13	12	oveq1i 7356	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
14	11, 13	breqtri 5116	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
15	1, 6	hvsubcli 30999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
16	15	normcli 31109	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
17	8, 4, 16	lesubaddi 11675	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))))
18	14, 17	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
19	10, 18	eqbrtri 5112	. . 3 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
20	4, 8	resubcli 11423	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∈ ℝ
21	20, 16	lenegcon1i 11669	. . 3 ⊢ (-((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
22	19, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
23	1, 2, 6	norm3difi 31125	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
24	4, 8, 16	lesubaddi 11675	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
25	23, 24	mpbir 231	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
26	20, 16	abslei 15299	. 2 ⊢ ((abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (-(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
27	22, 25, 26	mpbir2an 711	1 ⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   + caddc 11009   ≤ cle 11147   − cmin 11344  -cneg 11345  abscabs 15141   ℋchba 30897  norm_ℎcno 30901   −_ℎ cmv 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-hfvadd 30978  ax-hvcom 30979  ax-hvass 30980  ax-hv0cl 30981  ax-hvaddid 30982  ax-hfvmul 30983  ax-hvmulid 30984  ax-hvmulass 30985  ax-hvdistr1 30986  ax-hvdistr2 30987  ax-hvmul0 30988  ax-hfi 31057  ax-his1 31060  ax-his2 31061  ax-his3 31062  ax-his4 31063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-hnorm 30946  df-hvsub 30949

This theorem is referenced by:  norm3adifi  31131