Theorem norm3adifii 31244

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3adifii	⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Proof of Theorem norm3adifii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubcli 31117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
4	3	normcli 31227	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
5	4	recni 11157	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7	6, 2	hvsubcli 31117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
8	7	normcli 31227	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℝ
9	8	recni 11157	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ∈ ℂ
10	5, 9	negsubdi2i 11478	. . . 4 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
11	6, 2, 1	norm3difi 31243	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
12	6, 1	normsubi 31237	. . . . . . 7 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
13	12	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) = ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
14	11, 13	breqtri 5104	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)))
15	1, 6	hvsubcli 31117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
16	15	normcli 31227	. . . . . 6 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ
17	8, 4, 16	lesubaddi 11706	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))))
18	14, 17	mpbir 232	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
19	10, 18	eqbrtri 5100	. . 3 ⊢ -((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
20	4, 8	resubcli 11454	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∈ ℝ
21	20, 16	lenegcon1i 11700	. . 3 ⊢ (-((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
22	19, 21	mpbi 231	. 2 ⊢ -(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
23	1, 2, 6	norm3difi 31243	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))
24	4, 8, 16	lesubaddi 11706	. . 3 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) + (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))))
25	23, 24	mpbir 232	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
26	20, 16	abslei 15352	. 2 ⊢ ((abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ↔ (-(normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ∧ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
27	22, 25, 26	mpbir2an 717	1 ⊢ (abs‘((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) − (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐶)))) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   + caddc 11039   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376  abscabs 15194   ℋchba 31015  norm_ℎcno 31019   −_ℎ cmv 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-hnorm 31064  df-hvsub 31067

This theorem is referenced by:  norm3adifi  31249