MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem3 16105
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 3nn 12239 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3 nndivre 12201 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
54recni 11176 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 3re 12240 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9 3pos 12265 . . . . . . . . 9 0 < 3
108, 9recgt0ii 12068 . . . . . . . 8 0 < (1 / 3)
117, 4, 10ltleii 11285 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 3)
12 absid 15188 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
134, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14 1lt3 12333 . . . . . . 7 1 < 3
15 recgt1 12058 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
168, 9, 15mp2an 691 . . . . . . 7 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
1714, 16mpbi 229 . . . . . 6 (1 / 3) < 1
1813, 17eqbrtri 5131 . . . . 5 (abs‘(1 / 3)) < 1
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22 ssid 3971 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
23 simpr 486 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
24 nnuz 12813 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2726rpnnen2lem1 16103 . . . . . 6 ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2822, 25, 27sylancr 588 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2925iftrued 4499 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
3028, 29eqtrd 2777 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
316, 19, 21, 30geolim2 15763 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
3231mptru 1549 . 2 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33 exp1 13980 . . . . 5 ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
345, 33ax-mp 5 . . . 4 ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35 3cn 12241 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
36 ax-1cn 11116 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
37 3ne0 12266 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3835, 37pm3.2i 472 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39 divsubdir 11856 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
4035, 36, 38, 39mp3an 1462 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41 3m1e2 12288 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
4241oveq1i 7372 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
4335, 37dividi 11895 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
4443oveq1i 7372 . . . . 5 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
4540, 42, 443eqtr3ri 2774 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
4634, 45oveq12i 7374 . . 3 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47 2cnne0 12370 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48 divcan7 11871 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
4936, 47, 38, 48mp3an 1462 . . 3 ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
5046, 49eqtri 2765 . 2 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
5132, 50breqtri 5135 1 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  wne 2944  wss 3915  ifcif 4491  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  cmpt 5193  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  0cn0 12420  cuz 12770  seqcseq 13913  cexp 13974  abscabs 15126  cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16107  rpnnen2lem12  16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator