Theorem rpnnen2lem3 16272

Description: Lemma for rpnnen2 16282. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11208	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 12277	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5	4	recni 11223	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7		0re 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		3re 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 12121	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 3)
11	7, 4, 10	ltleii 11333	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
12		absid 15347	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
13	4, 11, 12	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14		1lt3 12416	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
15		recgt1 12111	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
16	8, 9, 15	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
17	14, 16	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) < 1
18	13, 17	eqbrtri 5136	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20		1nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22		ssid 3967	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
23		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnuz 12901	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrrdi 2880	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
27	26	rpnnen2lem1 16270	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
28	22, 25, 27	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
29	25	iftrued 4500	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
30	28, 29	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
31	6, 19, 21, 30	geolim2 15925	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
32	31	mptru 1574	. 2 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33		exp1 14103	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35		3cn 12322	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		ax-1cn 11158	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3ne0 12350	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
38	35, 37	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39		divsubdir 11908	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1487	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41		3m1e2 12368	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
42	41	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
43	35, 37	dividi 11948	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
44	43	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2801	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
46	34, 45	oveq12i 7423	. . 3 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47		2cnne0 12453	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48		divcan7 11924	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1487	. . 3 ⊢ ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
50	46, 49	eqtri 2792	. 2 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
51	32, 50	breqtri 5140	1 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12504  ℤ_≥cuz 12862  seqcseq 14037  ↑cexp 14097  abscabs 15285   ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16274  rpnnen2lem12  16281