Theorem rpnnen2lem3 15853

Description: Lemma for rpnnen2 15863. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 11982	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 11944	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5	4	recni 10920	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7		0re 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		3re 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 11811	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 3)
11	7, 4, 10	ltleii 11028	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
12		absid 14936	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
13	4, 11, 12	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14		1lt3 12076	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
15		recgt1 11801	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
16	8, 9, 15	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
17	14, 16	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) < 1
18	13, 17	eqbrtri 5091	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22		ssid 3939	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnuz 12550	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
27	26	rpnnen2lem1 15851	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
28	22, 25, 27	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
29	25	iftrued 4464	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
30	28, 29	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
31	6, 19, 21, 30	geolim2 15511	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
32	31	mptru 1546	. 2 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33		exp1 13716	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		ax-1cn 10860	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3ne0 12009	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
38	35, 37	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39		divsubdir 11599	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1459	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41		3m1e2 12031	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
42	41	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
43	35, 37	dividi 11638	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
44	43	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2775	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
46	34, 45	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47		2cnne0 12113	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48		divcan7 11614	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
50	46, 49	eqtri 2766	. 2 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
51	32, 50	breqtri 5095	1 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  seqcseq 13649  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  15855  rpnnen2lem12  15862