Theorem rpnnen2lem3 16141

Description: Lemma for rpnnen2 16151. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11132	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 12186	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5	4	recni 11146	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7		0re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		3re 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 3)
11	7, 4, 10	ltleii 11256	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
12		absid 15219	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
13	4, 11, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14		1lt3 12313	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
15		recgt1 12038	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
16	8, 9, 15	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
17	14, 16	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) < 1
18	13, 17	eqbrtri 5119	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20		1nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22		ssid 3956	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnuz 12790	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
27	26	rpnnen2lem1 16139	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
28	22, 25, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
29	25	iftrued 4487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
30	28, 29	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
31	6, 19, 21, 30	geolim2 15794	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
32	31	mptru 1548	. 2 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33		exp1 13990	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35		3cn 12226	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		ax-1cn 11084	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3ne0 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
38	35, 37	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39		divsubdir 11835	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41		3m1e2 12268	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
42	41	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
43	35, 37	dividi 11874	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
44	43	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2768	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
46	34, 45	oveq12i 7370	. . 3 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47		2cnne0 12350	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48		divcan7 11850	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
50	46, 49	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
51	32, 50	breqtri 5123	1 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16143  rpnnen2lem12  16150