MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem3 16252
Description: Lemma for rpnnen2 16262. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 3nn 12345 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3 nndivre 12307 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
54recni 11275 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 3re 12346 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9 3pos 12371 . . . . . . . . 9 0 < 3
108, 9recgt0ii 12174 . . . . . . . 8 0 < (1 / 3)
117, 4, 10ltleii 11384 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 3)
12 absid 15335 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
134, 11, 12mp2an 692 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14 1lt3 12439 . . . . . . 7 1 < 3
15 recgt1 12164 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
168, 9, 15mp2an 692 . . . . . . 7 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
1714, 16mpbi 230 . . . . . 6 (1 / 3) < 1
1813, 17eqbrtri 5164 . . . . 5 (abs‘(1 / 3)) < 1
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20 1nn0 12542 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22 ssid 4006 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
24 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2726rpnnen2lem1 16250 . . . . . 6 ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2822, 25, 27sylancr 587 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2925iftrued 4533 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
3028, 29eqtrd 2777 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
316, 19, 21, 30geolim2 15907 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
3231mptru 1547 . 2 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33 exp1 14108 . . . . 5 ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
345, 33ax-mp 5 . . . 4 ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35 3cn 12347 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
36 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
37 3ne0 12372 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3835, 37pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39 divsubdir 11961 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
4035, 36, 38, 39mp3an 1463 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41 3m1e2 12394 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
4241oveq1i 7441 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
4335, 37dividi 12000 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
4443oveq1i 7441 . . . . 5 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
4540, 42, 443eqtr3ri 2774 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
4634, 45oveq12i 7443 . . 3 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47 2cnne0 12476 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48 divcan7 11976 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
4936, 47, 38, 48mp3an 1463 . . 3 ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
5046, 49eqtri 2765 . 2 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
5132, 50breqtri 5168 1 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  cuz 12878  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16254  rpnnen2lem12  16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator