Theorem rpnnen2lem3 16155

Description: Lemma for rpnnen2 16165. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11210	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 12249	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5	4	recni 11224	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7		0re 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		3re 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 12116	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 3)
11	7, 4, 10	ltleii 11333	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
12		absid 15239	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
13	4, 11, 12	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14		1lt3 12381	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
15		recgt1 12106	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
16	8, 9, 15	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
17	14, 16	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) < 1
18	13, 17	eqbrtri 5168	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20		1nn0 12484	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22		ssid 4003	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
23		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnuz 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
27	26	rpnnen2lem1 16153	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
28	22, 25, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
29	25	iftrued 4535	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
30	28, 29	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
31	6, 19, 21, 30	geolim2 15813	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
32	31	mptru 1548	. 2 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33		exp1 14029	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35		3cn 12289	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		ax-1cn 11164	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3ne0 12314	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
38	35, 37	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39		divsubdir 11904	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41		3m1e2 12336	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
42	41	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
43	35, 37	dividi 11943	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
44	43	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2769	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
46	34, 45	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47		2cnne0 12418	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48		divcan7 11919	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
50	46, 49	eqtri 2760	. 2 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
51	32, 50	breqtri 5172	1 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  ℕ₀cn0 12468  ℤ_≥cuz 12818  seqcseq 13962  ↑cexp 14023  abscabs 15177   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16157  rpnnen2lem12  16164