MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem3 16249
Description: Lemma for rpnnen2 16259. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 3nn 12343 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3 nndivre 12305 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
54recni 11273 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7 0re 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 3re 12344 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9 3pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 3
108, 9recgt0ii 12172 . . . . . . . 8 0 < (1 / 3)
117, 4, 10ltleii 11382 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 3)
12 absid 15332 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
134, 11, 12mp2an 692 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14 1lt3 12437 . . . . . . 7 1 < 3
15 recgt1 12162 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
168, 9, 15mp2an 692 . . . . . . 7 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
1714, 16mpbi 230 . . . . . 6 (1 / 3) < 1
1813, 17eqbrtri 5169 . . . . 5 (abs‘(1 / 3)) < 1
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20 1nn0 12540 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22 ssid 4018 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
24 nnuz 12919 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2726rpnnen2lem1 16247 . . . . . 6 ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2822, 25, 27sylancr 587 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2925iftrued 4539 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
3028, 29eqtrd 2775 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
316, 19, 21, 30geolim2 15904 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
3231mptru 1544 . 2 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33 exp1 14105 . . . . 5 ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
345, 33ax-mp 5 . . . 4 ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35 3cn 12345 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
36 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
37 3ne0 12370 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3835, 37pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39 divsubdir 11959 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
4035, 36, 38, 39mp3an 1460 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41 3m1e2 12392 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
4241oveq1i 7441 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
4335, 37dividi 11998 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
4443oveq1i 7441 . . . . 5 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
4540, 42, 443eqtr3ri 2772 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
4634, 45oveq12i 7443 . . 3 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47 2cnne0 12474 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48 divcan7 11974 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
4936, 47, 38, 48mp3an 1460 . . 3 ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
5046, 49eqtri 2763 . 2 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
5132, 50breqtri 5173 1 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cuz 12876  seqcseq 14039  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16251  rpnnen2lem12  16258
  Copyright terms: Public domain W3C validator