MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem3 16178
Description: Lemma for rpnnen2 16188. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11230 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 3nn 12307 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3 nndivre 12269 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
54recni 11244 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7 0re 11232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 3re 12308 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9 3pos 12333 . . . . . . . . 9 0 < 3
108, 9recgt0ii 12136 . . . . . . . 8 0 < (1 / 3)
117, 4, 10ltleii 11353 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 3)
12 absid 15261 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
134, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14 1lt3 12401 . . . . . . 7 1 < 3
15 recgt1 12126 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
168, 9, 15mp2an 691 . . . . . . 7 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
1714, 16mpbi 229 . . . . . 6 (1 / 3) < 1
1813, 17eqbrtri 5163 . . . . 5 (abs‘(1 / 3)) < 1
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20 1nn0 12504 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22 ssid 4000 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
24 nnuz 12881 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24eleqtrrdi 2839 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2726rpnnen2lem1 16176 . . . . . 6 ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2822, 25, 27sylancr 586 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2925iftrued 4532 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
3028, 29eqtrd 2767 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
316, 19, 21, 30geolim2 15835 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
3231mptru 1541 . 2 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33 exp1 14050 . . . . 5 ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
345, 33ax-mp 5 . . . 4 ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35 3cn 12309 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
36 ax-1cn 11182 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
37 3ne0 12334 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3835, 37pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39 divsubdir 11924 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
4035, 36, 38, 39mp3an 1458 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41 3m1e2 12356 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
4241oveq1i 7424 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
4335, 37dividi 11963 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
4443oveq1i 7424 . . . . 5 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
4540, 42, 443eqtr3ri 2764 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
4634, 45oveq12i 7426 . . 3 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47 2cnne0 12438 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48 divcan7 11939 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
4936, 47, 38, 48mp3an 1458 . . 3 ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
5046, 49eqtri 2755 . 2 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
5132, 50breqtri 5167 1 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2935  wss 3944  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11122  cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264  cle 11265  cmin 11460   / cdiv 11887  cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  0cn0 12488  cuz 12838  seqcseq 13984  cexp 14044  abscabs 15199  cli 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16180  rpnnen2lem12  16187
  Copyright terms: Public domain W3C validator