Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem3 15564
 Description: Lemma for rpnnen2 15574. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem3 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10634 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 3nn 11708 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3 nndivre 11670 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
54recni 10648 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7 0re 10636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 3re 11709 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
9 3pos 11734 . . . . . . . . 9 0 < 3
108, 9recgt0ii 11539 . . . . . . . 8 0 < (1 / 3)
117, 4, 10ltleii 10756 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 3)
12 absid 14651 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
134, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14 1lt3 11802 . . . . . . 7 1 < 3
15 recgt1 11529 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
168, 9, 15mp2an 691 . . . . . . 7 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
1714, 16mpbi 233 . . . . . 6 (1 / 3) < 1
1813, 17eqbrtri 5054 . . . . 5 (abs‘(1 / 3)) < 1
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20 1nn0 11905 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22 ssid 3940 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
23 simpr 488 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
24 nnuz 12273 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24eleqtrrdi 2904 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2726rpnnen2lem1 15562 . . . . . 6 ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2822, 25, 27sylancr 590 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2925iftrued 4436 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
3028, 29eqtrd 2836 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
316, 19, 21, 30geolim2 15222 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
3231mptru 1545 . 2 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33 exp1 13435 . . . . 5 ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
345, 33ax-mp 5 . . . 4 ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35 3cn 11710 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
36 ax-1cn 10588 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
37 3ne0 11735 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3835, 37pm3.2i 474 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39 divsubdir 11327 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
4035, 36, 38, 39mp3an 1458 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41 3m1e2 11757 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
4241oveq1i 7149 . . . . 5 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
4335, 37dividi 11366 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
4443oveq1i 7149 . . . . 5 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
4540, 42, 443eqtr3ri 2833 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
4634, 45oveq12i 7151 . . 3 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47 2cnne0 11839 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48 divcan7 11342 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
4936, 47, 38, 48mp3an 1458 . . 3 ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
5046, 49eqtri 2824 . 2 (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
5132, 50breqtri 5058 1 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368  ↑cexp 13429  abscabs 14588   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  15566  rpnnen2lem12  15573
 Copyright terms: Public domain W3C validator