MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 26819
Description: Lemma for lgsdir2 26822. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 12303 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 13854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8m1e7 12341 . . . 4 (8 − 1) = 7
65oveq2i 7416 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
74, 6eleqtrdi 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8 neg1z 12594 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
9 z0even 16306 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
10 1pneg1e0 12327 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
11 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
1311, 12addcomi 11401 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
1410, 13eqtr3i 2762 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
159, 14breqtri 5172 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
16 noel 4329 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
1716pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18 neg1lt0 12325 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
19 0z 12565 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 fzn 13513 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2119, 8, 20mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2218, 21mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
2317, 22eleq2s 2851 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
258, 15, 243pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26 1e0p1 12715 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
27 ssun1 4171 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28 1ex 11206 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2928prid1 4765 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3027, 29sselii 3978 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 26818 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32 df-2 12271 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
33 df-3 12272 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
34 ssun2 4172 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 3ex 12290 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3635prid1 4765 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
3734, 36sselii 3978 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 26818 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-4 12273 . . . . 5 4 = (3 + 1)
40 df-5 12274 . . . . 5 5 = (4 + 1)
41 5nn 12294 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4241elexi 3493 . . . . . . 7 5 ∈ V
4342prid2 4766 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
4434, 43sselii 3978 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 26818 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-6 12275 . . . 4 6 = (5 + 1)
47 df-7 12276 . . . 4 7 = (6 + 1)
48 7nn 12300 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
4948elexi 3493 . . . . . 6 7 ∈ V
5049prid2 4766 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5127, 50sselii 3978 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 26818 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
5352simp3i 1141 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
547, 53mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3945  c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cmin 11440  -cneg 11441  cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  7c7 12268  8c8 12269  cz 12554  ...cfz 13480   mod cmo 13830  cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  lgsdir2  26822  2lgslem3  26896  2lgsoddprmlem3  26906
  Copyright terms: Public domain W3C validator