MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 25590
Description: Lemma for lgsdir2 25593. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 11585 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 13116 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8m1e7 11623 . . . 4 (8 − 1) = 7
65oveq2i 7032 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
74, 6syl6eleq 2893 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8 neg1z 11872 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
9 z0even 15554 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
10 1pneg1e0 11609 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
11 ax-1cn 10446 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 neg1cn 11604 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
1311, 12addcomi 10683 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
1410, 13eqtr3i 2821 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
159, 14breqtri 4991 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
16 noel 4220 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
1716pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18 neg1lt0 11607 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
19 0z 11845 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 fzn 12778 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2119, 8, 20mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2218, 21mpbi 231 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
2317, 22eleq2s 2901 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
258, 15, 243pm3.2i 1332 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26 1e0p1 11994 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
27 ssun1 4073 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28 1ex 10488 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2928prid1 4609 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3027, 29sselii 3890 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 25589 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32 df-2 11553 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
33 df-3 11554 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
34 ssun2 4074 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 3ex 11572 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3635prid1 4609 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
3734, 36sselii 3890 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 25589 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-4 11555 . . . . 5 4 = (3 + 1)
40 df-5 11556 . . . . 5 5 = (4 + 1)
41 5nn 11576 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4241elexi 3456 . . . . . . 7 5 ∈ V
4342prid2 4610 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
4434, 43sselii 3890 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 25589 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-6 11557 . . . 4 6 = (5 + 1)
47 df-7 11558 . . . 4 7 = (6 + 1)
48 7nn 11582 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
4948elexi 3456 . . . . . 6 7 ∈ V
5049prid2 4610 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5127, 50sselii 3890 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 25589 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
5352simp3i 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
547, 53mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cun 3861  c0 4215  {cpr 4478   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526  cmin 10722  -cneg 10723  cn 11491  2c2 11545  3c3 11546  4c4 11547  5c5 11548  6c6 11549  7c7 11550  8c8 11551  cz 11834  ...cfz 12747   mod cmo 13092  cdvds 15445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-sup 8757  df-inf 8758  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fl 13017  df-mod 13093  df-dvds 15446
This theorem is referenced by:  lgsdir2  25593  2lgslem3  25667  2lgsoddprmlem3  25677
  Copyright terms: Public domain W3C validator