Theorem lgsdir2lem3 27571

Description: Lemma for lgsdir2 27574. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 12364	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 13958	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 12401	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 12658	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 16463	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 11429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = (-1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (-1 + 1)
15	9, 14	breqtri 5134	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
16		noel 4287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 13598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...-1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 12787	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 4127	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 4726	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 27570	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 12331	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 12332	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 4128	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 4726	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3931	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 27570	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 12333	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 12334	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 3475	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 4727	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3931	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 27570	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 12335	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 12336	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 12361	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 4727	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3931	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 27570	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900  ∅c0 4282  {cpr 4589   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   − cmin 11469  -cneg 11470  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  7c7 12328  8c8 12329  ℤcz 12619  ...cfz 13565   mod cmo 13934   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fl 13857  df-mod 13935  df-dvds 16349

This theorem is used by:  lgsdir2  27574  2lgslem3  27648  2lgsoddprmlem3  27658