Theorem lgsdir2lem3 27659

Description: Lemma for lgsdir2 27662. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 12441	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 14036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 12478	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 12735	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 16542	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = ( -1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ( -1 + 1)
15	9, 14	breqtri 5129	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ ( -1 + 1)
16		noel 4283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 12707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 13676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0... -1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ( -1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 12864	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 4176	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 4719	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3905	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 27658	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 12408	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 12409	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 4177	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 4719	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3905	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 27658	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 12410	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 12411	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 12432	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 4720	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3905	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 27658	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 12412	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 12413	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 12438	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 3472	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 4720	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3905	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 27658	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {cpr 4586   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  7c7 12405  8c8 12406  ℤcz 12696  ...cfz 13642   mod cmo 14012   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-dvds 16428

This theorem is used by:  lgsdir2  27662  2lgslem3  27736  2lgsoddprmlem3  27746