Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 26010
 Description: Lemma for lgsdir2 26013. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 11769 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 13310 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8m1e7 11807 . . . 4 (8 − 1) = 7
65oveq2i 7161 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
74, 6eleqtrdi 2862 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8 neg1z 12057 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
9 z0even 15768 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
10 1pneg1e0 11793 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
11 ax-1cn 10633 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 neg1cn 11788 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
1311, 12addcomi 10869 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
1410, 13eqtr3i 2783 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
159, 14breqtri 5057 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
16 noel 4230 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
1716pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18 neg1lt0 11791 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
19 0z 12031 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 fzn 12972 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2119, 8, 20mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2218, 21mpbi 233 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
2317, 22eleq2s 2870 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
258, 15, 243pm3.2i 1336 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26 1e0p1 12179 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
27 ssun1 4077 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28 1ex 10675 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
2928prid1 4655 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3027, 29sselii 3889 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3125, 14, 26, 30lgsdir2lem2 26009 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32 df-2 11737 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
33 df-3 11738 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
34 ssun2 4078 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 3ex 11756 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3635prid1 4655 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
3734, 36sselii 3889 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3831, 32, 33, 37lgsdir2lem2 26009 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-4 11739 . . . . 5 4 = (3 + 1)
40 df-5 11740 . . . . 5 5 = (4 + 1)
41 5nn 11760 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4241elexi 3429 . . . . . . 7 5 ∈ V
4342prid2 4656 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
4434, 43sselii 3889 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 26009 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-6 11741 . . . 4 6 = (5 + 1)
47 df-7 11742 . . . 4 7 = (6 + 1)
48 7nn 11766 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
4948elexi 3429 . . . . . 6 7 ∈ V
5049prid2 4656 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5127, 50sselii 3889 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 26009 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
5352simp3i 1138 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
547, 53mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3856  ∅c0 4225  {cpr 4524   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   − cmin 10908  -cneg 10909  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  4c4 11731  5c5 11732  6c6 11733  7c7 11734  8c8 11735  ℤcz 12020  ...cfz 12939   mod cmo 13286   ∥ cdvds 15655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fl 13211  df-mod 13287  df-dvds 15656 This theorem is referenced by:  lgsdir2  26013  2lgslem3  26087  2lgsoddprmlem3  26097
 Copyright terms: Public domain W3C validator