Theorem lgsdir2lem3 27684

Description: Lemma for lgsdir2 27687. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 12465	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		zmodfz 14060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5		8m1e7 12502	. . . 4 ⊢ (8 − 1) = 7
6	5	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ (0...(8 − 1)) = (0...7)
7	4, 6	eleqtrdi 2874	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
8		neg1z 12759	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		z0even 16566	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 0
10		1pneg1e0 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
11		ax-1cn 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		neg1cn 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	11, 12	addcomi 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = ( -1 + 1)
14	10, 13	eqtr3i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = ( -1 + 1)
15	9, 14	breqtri 5133	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ ( -1 + 1)
16		noel 4286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
18		neg1lt0 12335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 < 0
19		0z 12731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		fzn 13700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅))
21	19, 8, 20	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1 < 0 ↔ (0... -1) = ∅)
22	18, 21	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0... -1) = ∅
23	17, 22	eleq2s 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
25	8, 15, 24	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ( -1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0... -1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
26		1e0p1 12888	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
27		ssun1 4179	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
28		1ex 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
29	28	prid1 4723	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {1, 7}
30	27, 29	sselii 3910	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
31	25, 14, 26, 30	lgsdir2lem2 27683	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
32		df-2 12432	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
33		df-3 12433	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
34		ssun2 4180	. . . . . . 7 ⊢ {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35		3ex 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
36	35	prid1 4723	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ {3, 5}
37	34, 36	sselii 3910	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
38	31, 32, 33, 37	lgsdir2lem2 27683	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39		df-4 12434	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40		df-5 12435	. . . . 5 ⊢ 5 = (4 + 1)
41		5nn 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	41	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ V
43	42	prid2 4724	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ {3, 5}
44	34, 43	sselii 3910	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 27683	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46		df-6 12436	. . . 4 ⊢ 6 = (5 + 1)
47		df-7 12437	. . . 4 ⊢ 7 = (6 + 1)
48		7nn 12462	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	48	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ V
50	49	prid2 4724	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ {1, 7}
51	27, 50	sselii 3910	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 27683	. . 3 ⊢ (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53	52	simp3i 1159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
54	7, 53	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {cpr 4590   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   − cmin 11568   -cneg 11569  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  6c6 12428  7c7 12429  8c8 12430  ℤcz 12720  ...cfz 13666   mod cmo 14036   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-dvds 16452

This theorem is used by:  lgsdir2  27687  2lgslem3  27761  2lgsoddprmlem3  27771