Theorem harmonicbnd3 27201

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12517	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		emre 27199	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℝ
4		2re 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ere 16160	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
6		egt2lt3 16279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
7	6	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < e
8	4, 5, 7	ltleii 11344	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ e
9		2rp 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		epr 16281	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
11		logleb 26797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e)))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e))
13	8, 12	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ≤ (log‘e)
14		loge 26780	. . . . . . 7 ⊢ (log‘e) = 1
15	13, 14	breqtri 5138	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ≤ 1
16		1re 11219	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		relogcl 26769	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
18	9, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
19	16, 18	subge0i 11778	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ↔ (log‘2) ≤ 1)
20	15, 19	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 − (log‘2))
21	3	leidi 11759	. . . . 5 ⊢ γ ≤ γ
22		iccss 13452	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ γ ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ∧ γ ≤ γ)) → ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ))
23	2, 3, 20, 21, 22	mp4an 706	. . . 4 ⊢ ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ)
24		harmonicbnd2 27198	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
25	23, 24	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
26		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
27		fz10 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...0) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
29	28	sumeq1d 15770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚))
30		sum0 15790	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚) = 0
31	29, 30	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = 0)
32		fv0p1e1 12373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = (log‘1))
33		log1 26779	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
34	32, 33	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = (0 − 0))
36		0m0e0 12370	. . . . 5 ⊢ (0 − 0) = 0
37	35, 36	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = 0)
38	2	leidi 11759	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
39		emgt0 27200	. . . . . 6 ⊢ 0 < γ
40	2, 3, 39	ltleii 11344	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ γ
41	2, 3	elicc2i 13450	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0[,]γ) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ γ))
42	2, 38, 40, 41	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]γ)
43	37, 42	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
44	25, 43	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
45	1, 44	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  ℕ₀cn0 12515  ℝ⁺crp 13027  [,]cicc 13386  ...cfz 13546  Σcsu 15756  eceu 16133  logclog 26748  γcem 27185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-e 16139  df-sin 16140  df-cos 16141  df-tan 16142  df-pi 16143  df-dvds 16328  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-ulm 26569  df-log 26750  df-atan 27061  df-em 27186

This theorem is used by:  harmoniclbnd  27202  harmonicbnd4  27204  logdivbnd  27749