Theorem harmonicbnd3 25147

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11620	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		0re 10358	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		emre 25145	. . . . 5 ⊢ γ ∈ ℝ
4		2re 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		ere 15191	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ
6		egt2lt3 15308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
7	6	simpli 478	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 < e
8	4, 5, 7	ltleii 10479	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ e
9		2rp 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		epr 15310	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
11		logleb 24748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e)))
12	9, 10, 11	mp2an 683	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e))
13	8, 12	mpbi 222	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ≤ (log‘e)
14		loge 24732	. . . . . . 7 ⊢ (log‘e) = 1
15	13, 14	breqtri 4898	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ≤ 1
16		1re 10356	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		relogcl 24721	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
18	9, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
19	16, 18	subge0i 10905	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ↔ (log‘2) ≤ 1)
20	15, 19	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 − (log‘2))
21	3	leidi 10886	. . . . 5 ⊢ γ ≤ γ
22		iccss 12529	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ γ ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ∧ γ ≤ γ)) → ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ))
23	2, 3, 20, 21, 22	mp4an 684	. . . 4 ⊢ ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ)
24		harmonicbnd2 25144	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
25	23, 24	sseldi 3825	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
26		oveq2 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
27		fz10 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...0) = ∅
28	26, 27	syl6eq 2877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
29	28	sumeq1d 14808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚))
30		sum0 14829	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚) = 0
31	29, 30	syl6eq 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = 0)
32		fv0p1e1 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = (log‘1))
33		log1 24731	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
34	32, 33	syl6eq 2877	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = 0)
35	31, 34	oveq12d 6923	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = (0 − 0))
36		0m0e0 11478	. . . . 5 ⊢ (0 − 0) = 0
37	35, 36	syl6eq 2877	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = 0)
38	2	leidi 10886	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
39		emgt0 25146	. . . . . 6 ⊢ 0 < γ
40	2, 3, 39	ltleii 10479	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ γ
41	2, 3	elicc2i 12527	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0[,]γ) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ γ))
42	2, 38, 40, 41	mpbir3an 1445	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]γ)
43	37, 42	syl6eqel 2914	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
44	25, 43	jaoi 888	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
45	1, 44	sylbi 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585   / cdiv 11009  ℕcn 11350  2c2 11406  3c3 11407  ℕ₀cn0 11618  ℝ⁺crp 12112  [,]cicc 12466  ...cfz 12619  Σcsu 14793  eceu 15165  logclog 24700  γcem 25131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-e 15171  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-em 25132

This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  25148  harmonicbnd4  25150  logdivbnd  25658