MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd3 26155
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12235 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 0re 10978 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 emre 26153 . . . . 5 γ ∈ ℝ
4 2re 12047 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5 ere 15796 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
6 egt2lt3 15913 . . . . . . . . . 10 (2 < e ∧ e < 3)
76simpli 484 . . . . . . . . 9 2 < e
84, 5, 7ltleii 11098 . . . . . . . 8 2 ≤ e
9 2rp 12734 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
10 epr 15915 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
11 logleb 25756 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e)))
129, 10, 11mp2an 689 . . . . . . . 8 (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e))
138, 12mpbi 229 . . . . . . 7 (log‘2) ≤ (log‘e)
14 loge 25740 . . . . . . 7 (log‘e) = 1
1513, 14breqtri 5104 . . . . . 6 (log‘2) ≤ 1
16 1re 10976 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 relogcl 25729 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
189, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℝ
1916, 18subge0i 11528 . . . . . 6 (0 ≤ (1 − (log‘2)) ↔ (log‘2) ≤ 1)
2015, 19mpbir 230 . . . . 5 0 ≤ (1 − (log‘2))
213leidi 11509 . . . . 5 γ ≤ γ
22 iccss 13146 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ γ ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ∧ γ ≤ γ)) → ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ))
232, 3, 20, 21, 22mp4an 690 . . . 4 ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ)
24 harmonicbnd2 26152 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
2523, 24sselid 3924 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
26 oveq2 7279 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
27 fz10 13276 . . . . . . . . 9 (1...0) = ∅
2826, 27eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
2928sumeq1d 15411 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚))
30 sum0 15431 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚) = 0
3129, 30eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = 0)
32 fv0p1e1 12096 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = (log‘1))
33 log1 25739 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
3432, 33eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = 0)
3531, 34oveq12d 7289 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = (0 − 0))
36 0m0e0 12093 . . . . 5 (0 − 0) = 0
3735, 36eqtrdi 2796 . . . 4 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = 0)
382leidi 11509 . . . . 5 0 ≤ 0
39 emgt0 26154 . . . . . 6 0 < γ
402, 3, 39ltleii 11098 . . . . 5 0 ≤ γ
412, 3elicc2i 13144 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]γ) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ γ))
422, 38, 40, 41mpbir3an 1340 . . . 4 0 ∈ (0[,]γ)
4337, 42eqeltrdi 2849 . . 3 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
4425, 43jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
451, 44sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 844   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  0cn0 12233  +crp 12729  [,]cicc 13081  ...cfz 13238  Σcsu 15395  eceu 15770  logclog 25708  γcem 26139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-e 15776  df-sin 15777  df-cos 15778  df-tan 15779  df-pi 15780  df-dvds 15962  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-ulm 25534  df-log 25710  df-atan 26015  df-em 26140
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  26156  harmonicbnd4  26158  logdivbnd  26702
  Copyright terms: Public domain W3C validator