MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd3 26948
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12392 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 0re 11123 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 emre 26946 . . . . 5 γ ∈ ℝ
4 2re 12208 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5 ere 16000 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
6 egt2lt3 16119 . . . . . . . . . 10 (2 < e ∧ e < 3)
76simpli 483 . . . . . . . . 9 2 < e
84, 5, 7ltleii 11245 . . . . . . . 8 2 ≤ e
9 2rp 12899 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
10 epr 16121 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
11 logleb 26542 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e)))
129, 10, 11mp2an 692 . . . . . . . 8 (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e))
138, 12mpbi 230 . . . . . . 7 (log‘2) ≤ (log‘e)
14 loge 26525 . . . . . . 7 (log‘e) = 1
1513, 14breqtri 5120 . . . . . 6 (log‘2) ≤ 1
16 1re 11121 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 relogcl 26514 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
189, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℝ
1916, 18subge0i 11679 . . . . . 6 (0 ≤ (1 − (log‘2)) ↔ (log‘2) ≤ 1)
2015, 19mpbir 231 . . . . 5 0 ≤ (1 − (log‘2))
213leidi 11660 . . . . 5 γ ≤ γ
22 iccss 13318 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ γ ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ∧ γ ≤ γ)) → ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ))
232, 3, 20, 21, 22mp4an 693 . . . 4 ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ)
24 harmonicbnd2 26945 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
2523, 24sselid 3928 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
26 oveq2 7362 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
27 fz10 13449 . . . . . . . . 9 (1...0) = ∅
2826, 27eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
2928sumeq1d 15611 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚))
30 sum0 15632 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚) = 0
3129, 30eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = 0)
32 fv0p1e1 12252 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = (log‘1))
33 log1 26524 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
3432, 33eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = 0)
3531, 34oveq12d 7372 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = (0 − 0))
36 0m0e0 12249 . . . . 5 (0 − 0) = 0
3735, 36eqtrdi 2784 . . . 4 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = 0)
382leidi 11660 . . . . 5 0 ≤ 0
39 emgt0 26947 . . . . . 6 0 < γ
402, 3, 39ltleii 11245 . . . . 5 0 ≤ γ
412, 3elicc2i 13316 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]γ) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ γ))
422, 38, 40, 41mpbir3an 1342 . . . 4 0 ∈ (0[,]γ)
4337, 42eqeltrdi 2841 . . 3 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
4425, 43jaoi 857 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
451, 44sylbi 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1541  wcel 2113  wss 3898  c0 4282   class class class wbr 5095  cfv 6488  (class class class)co 7354  cr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   < clt 11155  cle 11156  cmin 11353   / cdiv 11783  cn 12134  2c2 12189  3c3 12190  0cn0 12390  +crp 12894  [,]cicc 13252  ...cfz 13411  Σcsu 15597  eceu 15973  logclog 26493  γcem 26932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ioc 13254  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14978  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-ef 15978  df-e 15979  df-sin 15980  df-cos 15981  df-tan 15982  df-pi 15983  df-dvds 16168  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-lp 23054  df-perf 23055  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-haus 23233  df-cmp 23305  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-limc 25797  df-dv 25798  df-ulm 26316  df-log 26495  df-atan 26807  df-em 26933
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  26949  harmonicbnd4  26951  logdivbnd  27497
  Copyright terms: Public domain W3C validator