MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd3 25591
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 11887 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 0re 10632 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 emre 25589 . . . . 5 γ ∈ ℝ
4 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5 ere 15433 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
6 egt2lt3 15550 . . . . . . . . . 10 (2 < e ∧ e < 3)
76simpli 487 . . . . . . . . 9 2 < e
84, 5, 7ltleii 10752 . . . . . . . 8 2 ≤ e
9 2rp 12382 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
10 epr 15552 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ+
11 logleb 25192 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e)))
129, 10, 11mp2an 691 . . . . . . . 8 (2 ≤ e ↔ (log‘2) ≤ (log‘e))
138, 12mpbi 233 . . . . . . 7 (log‘2) ≤ (log‘e)
14 loge 25176 . . . . . . 7 (log‘e) = 1
1513, 14breqtri 5067 . . . . . 6 (log‘2) ≤ 1
16 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 relogcl 25165 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
189, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘2) ∈ ℝ
1916, 18subge0i 11182 . . . . . 6 (0 ≤ (1 − (log‘2)) ↔ (log‘2) ≤ 1)
2015, 19mpbir 234 . . . . 5 0 ≤ (1 − (log‘2))
213leidi 11163 . . . . 5 γ ≤ γ
22 iccss 12793 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ γ ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (log‘2)) ∧ γ ≤ γ)) → ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ))
232, 3, 20, 21, 22mp4an 692 . . . 4 ((1 − (log‘2))[,]γ) ⊆ (0[,]γ)
24 harmonicbnd2 25588 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
2523, 24sseldi 3940 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
26 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
27 fz10 12923 . . . . . . . . 9 (1...0) = ∅
2826, 27syl6eq 2873 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
2928sumeq1d 15049 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚))
30 sum0 15069 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ ∅ (1 / 𝑚) = 0
3129, 30syl6eq 2873 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) = 0)
32 fv0p1e1 11748 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = (log‘1))
33 log1 25175 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
3432, 33syl6eq 2873 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (log‘(𝑁 + 1)) = 0)
3531, 34oveq12d 7158 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = (0 − 0))
36 0m0e0 11745 . . . . 5 (0 − 0) = 0
3735, 36syl6eq 2873 . . . 4 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) = 0)
382leidi 11163 . . . . 5 0 ≤ 0
39 emgt0 25590 . . . . . 6 0 < γ
402, 3, 39ltleii 10752 . . . . 5 0 ≤ γ
412, 3elicc2i 12791 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]γ) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ γ))
422, 38, 40, 41mpbir3an 1338 . . . 4 0 ∈ (0[,]γ)
4337, 42eqeltrdi 2922 . . 3 (𝑁 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
4425, 43jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
451, 44sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ (0[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908  c0 4265   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  +crp 12377  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  Σcsu 15033  eceu 15407  logclog 25144  γcem 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-e 15413  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970  df-log 25146  df-atan 25451  df-em 25576
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  25592  harmonicbnd4  25594  logdivbnd  26138
  Copyright terms: Public domain W3C validator