Theorem 0lt1 11736

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11214	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11179	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11734	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11218	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5174	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  0le1  11737  eqneg  11934  elimgt0  12052  ltp1  12054  ltm1  12056  recgt0  12060  mulgt1  12073  reclt1  12109  recgt1  12110  recgt1i  12111  recp1lt1  12112  recreclt  12113  recgt0ii  12120  inelr  12202  nnge1  12240  nngt0  12243  0nnnALT  12249  nnrecgt0  12255  2pos  12315  3pos  12317  4pos  12319  5pos  12321  6pos  12322  7pos  12323  8pos  12324  9pos  12325  neg1lt0  12329  halflt1  12430  nn0p1gt0  12501  elnnnn0c  12517  elnnz1  12588  nn0lt10b  12624  recnz  12637  1rp  12978  divlt1lt  13043  divle1le  13044  ledivge1le  13045  nnledivrp  13086  xmulrid  13258  0nelfz1  13520  fz10  13522  fzpreddisj  13550  elfznelfzob  13738  1mod  13868  expgt1  14066  ltexp2a  14131  expcan  14134  ltexp2  14135  leexp2  14136  leexp2a  14137  expnbnd  14195  expnlbnd  14196  expnlbnd2  14197  expmulnbnd  14198  discr1  14202  bcn1  14273  hashnn0n0nn  14351  s2fv0  14838  swrd2lsw  14903  2swrd2eqwrdeq  14904  sgn1  15039  resqrex  15197  mulcn2  15540  cvgrat  15829  bpoly4  16003  cos1bnd  16130  sin01gt0  16133  sincos1sgn  16136  ruclem8  16180  p1modz1  16204  nnoddm1d2  16329  sadcadd  16399  dvdsnprmd  16627  isprm7  16645  divdenle  16685  43prm  17055  plendxnocndx  17329  ipostr  18482  srgbinomlem4  20052  abvtrivd  20448  gzrngunit  21011  znidomb  21117  psgnodpmr  21143  thlleOLD  21252  leordtval2  22716  mopnex  24028  dscopn  24082  metnrmlem1a  24374  xrhmph  24463  evth  24475  xlebnum  24481  vitalilem5  25129  vitali  25130  ply1remlem  25680  plyremlem  25817  plyrem  25818  vieta1lem2  25824  reeff1olem  25958  sinhalfpilem  25973  rplogcl  26112  logtayllem  26167  cxplt  26202  cxple  26203  atanlogaddlem  26418  ressatans  26439  rlimcnp  26470  rlimcnp2  26471  cxp2limlem  26480  cxp2lim  26481  cxploglim2  26483  amgmlem  26494  emcllem2  26501  harmonicubnd  26514  fsumharmonic  26516  zetacvg  26519  ftalem1  26577  ftalem2  26578  chpchtsum  26722  chpub  26723  mersenne  26730  perfectlem2  26733  efexple  26784  chebbnd1  26975  dchrmusumlema  26996  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  mulog2sumlem1  27037  chpdifbndlem1  27056  chpdifbnd  27058  selberg3lem1  27060  pntrmax  27067  pntrsumo1  27068  pntpbnd1a  27088  pntpbnd2  27090  pntibndlem1  27092  pntlem3  27112  pnt  27117  ostth2lem1  27121  ostth2lem3  27138  ostth2lem4  27139  axcontlem2  28223  wwlksn0s  29115  clwwlkf1  29302  esumcst  33061  hasheuni  33083  ballotlemi1  33501  ballotlemic  33505  sgnnbi  33544  sgnpbi  33545  sgnmulsgp  33549  signsply0  33562  signswch  33572  hgt750lem  33663  unblimceq0  35383  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem7  35394  knoppndvlem13  35400  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  knoppndvlem20  35407  irrdiff  36207  poimirlem22  36510  poimirlem31  36519  asindmre  36571  areacirclem4  36579  60gcd7e1  40870  3lexlogpow5ineq2  40920  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p7  40948  aks4d1p8d2  40950  aks4d1p8d3  40951  aks4d1p8  40952  aks4d1p9  40953  sticksstones11  40972  2xp3dxp2ge1d  41022  3cubeslem1  41422  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  pell14qrgt0  41597  elpell1qr2  41610  pellfundex  41624  pellfundrp  41626  rmxypos  41686  relexp01min  42464  imo72b2  42924  radcnvrat  43073  reclt0d  44097  sqrlearg  44266  sumnnodd  44346  liminf10ex  44490  liminfltlimsupex  44497  dvnmul  44659  stoweidlem7  44723  stoweidlem36  44752  stoweidlem38  44754  stoweidlem42  44758  stoweidlem51  44767  stoweidlem59  44775  stirlinglem5  44794  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  stirlinglem15  44804  dirkeritg  44818  fourierdlem11  44834  fourierdlem30  44853  fourierdlem47  44869  fourierdlem79  44901  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fouriersw  44947  etransclem4  44954  etransclem31  44981  etransclem32  44982  etransclem35  44985  etransclem41  44991  salexct2  45055  hoidmvlelem1  45311  tworepnotupword  45600  m1mod0mod1  46037  nfermltl2rev  46411  m1modmmod  47207  regt1loggt0  47222  rege1logbrege0  47244  nnlog2ge0lt1  47252  eenglngeehlnmlem2  47424  amgmwlem  47849