Theorem 0lt1 11671

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11107	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11669	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11096	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11148	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5125	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  0le1  11672  eqneg  11873  elimgt0  11991  ltp1  11993  ltm1  11995  recgt0  11999  mulgt1OLD  12012  mulgt1  12015  reclt1  12049  recgt1  12050  recgt1i  12051  recp1lt1  12052  recreclt  12053  recgt0ii  12060  neg1lt0  12145  nnge1  12185  nngt0  12188  0nnnALT  12194  nnrecgt0  12200  2pos  12260  3pos  12262  4pos  12264  5pos  12266  6pos  12267  7pos  12268  8pos  12269  9pos  12270  halflt1  12370  nn0p1gt0  12442  elnnnn0c  12458  elnnz1  12529  nn0lt10b  12566  recnz  12579  1rp  12921  divlt1lt  12988  divle1le  12989  ledivge1le  12990  nnledivrp  13031  xmulrid  13206  0nelfz1  13471  fz10  13473  fzpreddisj  13501  elfznelfzob  13702  1mod  13835  expgt1  14035  ltexp2a  14101  expcan  14104  ltexp2  14105  leexp2  14106  leexp2a  14107  expnbnd  14167  expnlbnd  14168  expnlbnd2  14169  expmulnbnd  14170  discr1  14174  bcn1  14248  hashnn0n0nn  14326  s2fv0  14822  swrd2lsw  14887  2swrd2eqwrdeq  14888  sgn1  15027  resqrex  15185  mulcn2  15531  cvgrat  15818  bpoly4  15994  cos1bnd  16124  sin01gt0  16127  sincos1sgn  16130  ruclem8  16174  p1modz1  16198  nnoddm1d2  16325  sadcadd  16397  dvdsnprmd  16629  isprm7  16647  divdenle  16688  43prm  17061  plendxnocndx  17316  ipostr  18464  srgbinomlem4  20176  abvtrivd  20777  gzrngunit  21400  znidomb  21528  psgnodpmr  21557  leordtval2  23168  mopnex  24475  dscopn  24529  metnrmlem1a  24815  xrhmph  24913  evth  24926  xlebnum  24932  vitalilem5  25581  vitali  25582  ply1remlem  26138  plyremlem  26280  plyrem  26281  vieta1lem2  26287  reeff1olem  26424  sinhalfpilem  26440  rplogcl  26581  logtayllem  26636  cxplt  26671  cxple  26672  atanlogaddlem  26891  ressatans  26912  rlimcnp  26943  rlimcnp2  26944  cxp2limlem  26954  cxp2lim  26955  cxploglim2  26957  amgmlem  26968  emcllem2  26975  harmonicubnd  26988  fsumharmonic  26990  zetacvg  26993  ftalem1  27051  ftalem2  27052  chpchtsum  27198  chpub  27199  mersenne  27206  perfectlem2  27209  efexple  27260  chebbnd1  27451  dchrmusumlema  27472  dchrvmasumlem2  27477  dchrvmasumiflem1  27480  dchrisum0flblem2  27488  dchrisum0lema  27493  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  mulog2sumlem1  27513  chpdifbndlem1  27532  chpdifbnd  27534  selberg3lem1  27536  pntrmax  27543  pntrsumo1  27544  pntpbnd1a  27564  pntpbnd2  27566  pntibndlem1  27568  pntlem3  27588  pnt  27593  ostth2lem1  27597  ostth2lem3  27614  ostth2lem4  27615  axcontlem2  29050  wwlksn0s  29946  clwwlkf1  30136  sgnnbi  32930  sgnpbi  32931  sgnmulsgp  32935  vietadeg1  33755  cos9thpiminplylem1  33960  cos9thpiminply  33966  esumcst  34241  hasheuni  34263  ballotlemi1  34681  ballotlemic  34685  signsply0  34729  signswch  34739  hgt750lem  34829  unblimceq0  36729  knoppndvlem1  36734  knoppndvlem2  36735  knoppndvlem7  36740  knoppndvlem13  36746  knoppndvlem14  36747  knoppndvlem15  36748  knoppndvlem17  36750  knoppndvlem20  36753  irrdiff  37581  poimirlem22  37893  poimirlem31  37902  asindmre  37954  areacirclem4  37962  60gcd7e1  42375  3lexlogpow5ineq2  42425  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p7  42453  aks4d1p8d2  42455  aks4d1p8d3  42456  aks4d1p8  42457  aks4d1p9  42458  aks6d1c5lem3  42507  sticksstones11  42526  aks6d1c6lem1  42540  aks6d1c6lem4  42543  aks6d1c7lem2  42551  explt1d  42693  3cubeslem1  43041  pellexlem2  43187  pellexlem6  43191  pell14qrgt0  43216  elpell1qr2  43229  pellfundex  43243  pellfundrp  43245  rmxypos  43304  relexp01min  44069  imo72b2  44528  radcnvrat  44670  reclt0d  45745  sqrlearg  45913  sumnnodd  45990  liminf10ex  46132  liminfltlimsupex  46139  dvnmul  46301  stoweidlem7  46365  stoweidlem36  46394  stoweidlem38  46396  stoweidlem42  46400  stoweidlem51  46409  stoweidlem59  46417  stirlinglem5  46436  stirlinglem7  46438  stirlinglem10  46441  stirlinglem11  46442  stirlinglem12  46443  stirlinglem15  46446  dirkeritg  46460  fourierdlem11  46476  fourierdlem30  46495  fourierdlem47  46511  fourierdlem79  46543  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fouriersw  46589  etransclem4  46596  etransclem31  46623  etransclem32  46624  etransclem35  46627  etransclem41  46633  salexct2  46697  hoidmvlelem1  46953  cjnpoly  47249  m1mod0mod1  47714  m1modmmod  47718  nfermltl2rev  48103  regt1loggt0  48896  rege1logbrege0  48918  nnlog2ge0lt1  48926  eenglngeehlnmlem2  49098  amgmwlem  50161