Theorem 0lt1 11760

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11193	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11758	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11182	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11237	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5130	1 ⊢ 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   < clt 11267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  0le1  11761  eqneg  11959  elimgt0  12077  ltp1  12079  ltm1  12081  recgt0  12085  mulgt1  12100  reclt1  12134  recgt1  12135  recgt1i  12136  recp1lt1  12137  recreclt  12138  recgt0ii  12145  neg1lt0  12230  nnge1  12288  nngt0  12291  0nnnALT  12297  nnrecgt0  12303  2posOLD  12370  halflt1  12485  nn0p1gt0  12557  elnnnn0c  12573  elnnz1  12644  nn0lt10b  12683  recnz  12696  1rp  13046  divlt1lt  13113  divle1le  13114  ledivge1le  13115  nnledivrp  13156  xmulrid  13331  0nelfz1  13597  fz10  13599  fzpreddisj  13628  elfznelfzob  13830  1mod  13964  expgt1  14164  ltexp2a  14230  expcan  14233  ltexp2  14234  leexp2  14235  leexp2a  14236  expnbnd  14296  expnlbnd  14297  expnlbnd2  14298  expmulnbnd  14299  discr1  14303  bcn1  14377  hashnn0n0nn  14455  s2fv0  14958  swrd2lsw  15025  2swrd2eqwrdeq  15026  sgn1  15165  sgnnbi  15177  sgnpbi  15178  resqrex  15337  mulcn2  15683  cvgrat  15972  bpoly4  16145  cos1bnd  16275  sin01gt0  16278  sincos1sgn  16281  ruclem8  16325  p1modz1  16349  nnoddm1d2  16476  sadcadd  16548  dvdsnprmd  16780  isprm7  16799  divdenle  16840  43prm  17214  plendxnocndx  17469  ipostr  18617  srgbinomlem4  20368  abvtrivd  20998  gzrngunit  21646  znidomb  21774  psgnodpmr  21803  leordtval2  23437  mopnex  24745  dscopn  24799  metnrmlem1a  25085  xrhmph  25175  evth  25187  xlebnum  25193  vitalilem5  25840  vitali  25841  ply1remlem  26390  plyremlem  26534  plyrem  26535  vieta1lem2  26543  reeff1olem  26682  sinhalfpilem  26701  rplogcl  26841  logtayllem  26896  cxplt  26931  cxple  26932  atanlogaddlem  27150  ressatans  27171  rlimcnp  27202  rlimcnp2  27203  cxp2limlem  27212  cxp2lim  27213  cxploglim2  27215  amgmlem  27226  emcllem2  27233  harmonicubnd  27246  fsumharmonic  27248  zetacvg  27251  ftalem1  27309  ftalem2  27310  chpchtsum  27455  chpub  27456  mersenne  27463  perfectlem2  27466  efexple  27517  chebbnd1  27708  dchrmusumlema  27729  dchrvmasumlem2  27734  dchrvmasumiflem1  27737  dchrisum0flblem2  27745  dchrisum0lema  27750  dchrisum0lem1  27752  dchrisum0lem2a  27753  mulog2sumlem1  27770  chpdifbndlem1  27789  chpdifbnd  27791  selberg3lem1  27793  pntrmax  27800  pntrsumo1  27801  pntpbnd1a  27821  pntpbnd2  27823  pntibndlem1  27825  pntlem3  27845  pnt  27850  ostth2lem1  27854  ostth2lem3  27871  ostth2lem4  27872  axcontlem2  29422  wwlksn0s  30329  clwwlkf1  30519  sgnmulsgp  33302  vietadeg1  34088  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpiminply  34298  esumcst  34573  hasheuni  34595  ballotlemi1  35014  ballotlemic  35018  signsply0  35059  signswch  35069  hgt750lem  35159  unblimceq0  37204  knoppndvlem1  37209  knoppndvlem2  37210  knoppndvlem7  37215  knoppndvlem13  37221  knoppndvlem14  37222  knoppndvlem15  37223  knoppndvlem17  37225  knoppndvlem20  37228  irrdiff  38078  poimirlem22  38391  poimirlem31  38400  asindmre  38452  areacirclem4  38460  60gcd7e1  42871  3lexlogpow5ineq2  42921  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p7  42949  aks4d1p8d2  42951  aks4d1p8d3  42952  aks4d1p8  42953  aks4d1p9  42954  aks6d1c5lem3  43003  sticksstones11  43022  aks6d1c6lem1  43036  aks6d1c6lem4  43039  aks6d1c7lem2  43047  explt1d  43198  3cubeslem1  43529  pellexlem2  43671  pellexlem6  43675  pell14qrgt0  43700  elpell1qr2  43713  pellfundex  43727  pellfundrp  43729  rmxypos  43788  relexp01min  44553  imo72b2  45012  radcnvrat  45138  reclt0d  46216  sqrlearg  46383  sumnnodd  46460  liminf10ex  46602  liminfltlimsupex  46609  dvnmul  46771  stoweidlem7  46835  stoweidlem36  46864  stoweidlem38  46866  stoweidlem42  46870  stoweidlem51  46879  stoweidlem59  46887  stirlinglem5  46906  stirlinglem7  46908  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  stirlinglem12  46913  stirlinglem15  46916  dirkeritg  46930  fourierdlem11  46946  fourierdlem30  46965  fourierdlem47  46981  fourierdlem79  47013  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fouriersw  47059  etransclem4  47066  etransclem31  47093  etransclem32  47094  etransclem35  47097  etransclem41  47103  salexct2  47167  hoidmvlelem1  47423  cjnpoly  47757  m1mod0mod1  48248  m1modmmod  48252  muldvdsfacgt  48274  muldvdsfacm1  48275  nfermltl2rev  48659  regt1loggt0  49466  rege1logbrege0  49488  nnlog2ge0lt1  49496  eenglngeehlnmlem2  49668  amgmwlem  50820