MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lt1 11684
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . 3 1 ∈ ℝ
2 ax-1ne0 11127 . . 3 1 ≠ 0
3 msqgt0 11682 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
41, 2, 3mp2an 691 . 2 0 < (1 · 1)
5 ax-1cn 11116 . . 3 1 ∈ ℂ
65mulid1i 11166 . 2 (1 · 1) = 1
74, 6breqtri 5135 1 0 < 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   · cmul 11063   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395
This theorem is referenced by:  0le1  11685  eqneg  11882  elimgt0  12000  ltp1  12002  ltm1  12004  recgt0  12008  mulgt1  12021  reclt1  12057  recgt1  12058  recgt1i  12059  recp1lt1  12060  recreclt  12061  recgt0ii  12068  inelr  12150  nnge1  12188  nngt0  12191  0nnnALT  12197  nnrecgt0  12203  2pos  12263  3pos  12265  4pos  12267  5pos  12269  6pos  12270  7pos  12271  8pos  12272  9pos  12273  neg1lt0  12277  halflt1  12378  nn0p1gt0  12449  elnnnn0c  12465  elnnz1  12536  nn0lt10b  12572  recnz  12585  1rp  12926  divlt1lt  12991  divle1le  12992  ledivge1le  12993  nnledivrp  13034  xmulid1  13205  0nelfz1  13467  fz10  13469  fzpreddisj  13497  elfznelfzob  13685  1mod  13815  expgt1  14013  ltexp2a  14078  expcan  14081  ltexp2  14082  leexp2  14083  leexp2a  14084  expnbnd  14142  expnlbnd  14143  expnlbnd2  14144  expmulnbnd  14145  discr1  14149  bcn1  14220  hashnn0n0nn  14298  s2fv0  14783  swrd2lsw  14848  2swrd2eqwrdeq  14849  sgn1  14984  resqrex  15142  mulcn2  15485  cvgrat  15775  bpoly4  15949  cos1bnd  16076  sin01gt0  16079  sincos1sgn  16082  ruclem8  16126  p1modz1  16150  nnoddm1d2  16275  sadcadd  16345  dvdsnprmd  16573  isprm7  16591  divdenle  16631  43prm  17001  plendxnocndx  17272  ipostr  18425  srgbinomlem4  19967  abvtrivd  20315  gzrngunit  20879  znidomb  20984  psgnodpmr  21010  thlleOLD  21119  leordtval2  22579  mopnex  23891  dscopn  23945  metnrmlem1a  24237  xrhmph  24326  evth  24338  xlebnum  24344  vitalilem5  24992  vitali  24993  ply1remlem  25543  plyremlem  25680  plyrem  25681  vieta1lem2  25687  reeff1olem  25821  sinhalfpilem  25836  rplogcl  25975  logtayllem  26030  cxplt  26065  cxple  26066  atanlogaddlem  26279  ressatans  26300  rlimcnp  26331  rlimcnp2  26332  cxp2limlem  26341  cxp2lim  26342  cxploglim2  26344  amgmlem  26355  emcllem2  26362  harmonicubnd  26375  fsumharmonic  26377  zetacvg  26380  ftalem1  26438  ftalem2  26439  chpchtsum  26583  chpub  26584  mersenne  26591  perfectlem2  26594  efexple  26645  chebbnd1  26836  dchrmusumlema  26857  dchrvmasumlem2  26862  dchrvmasumiflem1  26865  dchrisum0flblem2  26873  dchrisum0lema  26878  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem2a  26881  mulog2sumlem1  26898  chpdifbndlem1  26917  chpdifbnd  26919  selberg3lem1  26921  pntrmax  26928  pntrsumo1  26929  pntpbnd1a  26949  pntpbnd2  26951  pntibndlem1  26953  pntlem3  26973  pnt  26978  ostth2lem1  26982  ostth2lem3  26999  ostth2lem4  27000  axcontlem2  27956  wwlksn0s  28848  clwwlkf1  29035  esumcst  32702  hasheuni  32724  ballotlemi1  33142  ballotlemic  33146  sgnnbi  33185  sgnpbi  33186  sgnmulsgp  33190  signsply0  33203  signswch  33213  hgt750lem  33304  unblimceq0  34999  knoppndvlem1  35004  knoppndvlem2  35005  knoppndvlem7  35010  knoppndvlem13  35016  knoppndvlem14  35017  knoppndvlem15  35018  knoppndvlem17  35020  knoppndvlem20  35023  irrdiff  35826  poimirlem22  36129  poimirlem31  36138  asindmre  36190  areacirclem4  36198  60gcd7e1  40491  3lexlogpow5ineq2  40541  aks4d1p1p2  40556  aks4d1p7  40569  aks4d1p8d2  40571  aks4d1p8d3  40572  aks4d1p8  40573  aks4d1p9  40574  sticksstones11  40593  2xp3dxp2ge1d  40643  3cubeslem1  41036  pellexlem2  41182  pellexlem6  41186  pell14qrgt0  41211  elpell1qr2  41224  pellfundex  41238  pellfundrp  41240  rmxypos  41300  relexp01min  42059  imo72b2  42519  radcnvrat  42668  reclt0d  43695  sqrlearg  43865  sumnnodd  43945  liminf10ex  44089  liminfltlimsupex  44096  dvnmul  44258  stoweidlem7  44322  stoweidlem36  44351  stoweidlem38  44353  stoweidlem42  44357  stoweidlem51  44366  stoweidlem59  44374  stirlinglem5  44393  stirlinglem7  44395  stirlinglem10  44398  stirlinglem11  44399  stirlinglem12  44400  stirlinglem15  44403  dirkeritg  44417  fourierdlem11  44433  fourierdlem30  44452  fourierdlem47  44468  fourierdlem79  44500  fourierdlem103  44524  fourierdlem104  44525  fouriersw  44546  etransclem4  44553  etransclem31  44580  etransclem32  44581  etransclem35  44584  etransclem41  44590  salexct2  44654  hoidmvlelem1  44910  tworepnotupword  45199  m1mod0mod1  45635  nfermltl2rev  46009  m1modmmod  46681  regt1loggt0  46696  rege1logbrege0  46718  nnlog2ge0lt1  46726  eenglngeehlnmlem2  46898  amgmwlem  47323
  Copyright terms: Public domain W3C validator