Theorem 0lt1 11151

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10630	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 10595	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11149	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 10584	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulid1i 10634	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5055	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  0le1  11152  eqneg  11349  elimgt0  11467  ltp1  11469  ltm1  11471  recgt0  11475  mulgt1  11488  reclt1  11524  recgt1  11525  recgt1i  11526  recp1lt1  11527  recreclt  11528  recgt0ii  11535  inelr  11615  nnge1  11653  nngt0  11656  0nnnALT  11662  nnrecgt0  11668  2pos  11728  3pos  11730  4pos  11732  5pos  11734  6pos  11735  7pos  11736  8pos  11737  9pos  11738  neg1lt0  11742  halflt1  11843  nn0p1gt0  11914  elnnnn0c  11930  elnnz1  11996  nn0lt10b  12032  recnz  12045  1rp  12381  divlt1lt  12446  divle1le  12447  ledivge1le  12448  nnledivrp  12489  xmulid1  12660  0nelfz1  12921  fz10  12923  fzpreddisj  12951  elfznelfzob  13138  1mod  13266  expgt1  13463  ltexp2a  13526  expcan  13529  ltexp2  13530  leexp2  13531  leexp2a  13532  expnbnd  13589  expnlbnd  13590  expnlbnd2  13591  expmulnbnd  13592  discr1  13596  bcn1  13669  hashnn0n0nn  13748  s2fv0  14240  swrd2lsw  14305  2swrd2eqwrdeq  14306  sgn1  14443  resqrex  14602  mulcn2  14944  cvgrat  15231  bpoly4  15405  cos1bnd  15532  sin01gt0  15535  sincos1sgn  15538  ruclem8  15582  p1modz1  15606  nnoddm1d2  15727  sadcadd  15797  dvdsnprmd  16024  isprm7  16042  divdenle  16079  43prm  16447  ipostr  17755  srgbinomlem4  19286  abvtrivd  19604  gzrngunit  20157  znidomb  20253  psgnodpmr  20279  thlle  20386  leordtval2  21817  mopnex  23126  dscopn  23180  metnrmlem1a  23463  xrhmph  23552  evth  23564  xlebnum  23570  vitalilem5  24216  vitali  24217  ply1remlem  24763  plyremlem  24900  plyrem  24901  vieta1lem2  24907  reeff1olem  25041  sinhalfpilem  25056  rplogcl  25195  logtayllem  25250  cxplt  25285  cxple  25286  atanlogaddlem  25499  ressatans  25520  rlimcnp  25551  rlimcnp2  25552  cxp2limlem  25561  cxp2lim  25562  cxploglim2  25564  amgmlem  25575  emcllem2  25582  harmonicubnd  25595  fsumharmonic  25597  zetacvg  25600  ftalem1  25658  ftalem2  25659  chpchtsum  25803  chpub  25804  mersenne  25811  perfectlem2  25814  efexple  25865  chebbnd1  26056  dchrmusumlema  26077  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0flblem2  26093  dchrisum0lema  26098  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  mulog2sumlem1  26118  chpdifbndlem1  26137  chpdifbnd  26139  selberg3lem1  26141  pntrmax  26148  pntrsumo1  26149  pntpbnd1a  26169  pntpbnd2  26171  pntibndlem1  26173  pntlem3  26193  pnt  26198  ostth2lem1  26202  ostth2lem3  26219  ostth2lem4  26220  axcontlem2  26759  wwlksn0s  27647  clwwlkf1  27834  esumcst  31432  hasheuni  31454  ballotlemi1  31870  ballotlemic  31874  sgnnbi  31913  sgnpbi  31914  sgnmulsgp  31918  signsply0  31931  signswch  31941  hgt750lem  32032  unblimceq0  33959  knoppndvlem1  33964  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem13  33976  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem15  33978  knoppndvlem17  33980  knoppndvlem20  33983  irrdiff  34740  poimirlem22  35079  poimirlem31  35088  asindmre  35140  areacirclem4  35148  60gcd7e1  39293  2xp3dxp2ge1d  39387  3cubeslem1  39625  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  pell14qrgt0  39800  elpell1qr2  39813  pellfundex  39827  pellfundrp  39829  rmxypos  39888  relexp01min  40414  imo72b2  40878  radcnvrat  41018  reclt0d  42022  sqrlearg  42190  sumnnodd  42272  liminf10ex  42416  liminfltlimsupex  42423  dvnmul  42585  stoweidlem7  42649  stoweidlem36  42678  stoweidlem38  42680  stoweidlem42  42684  stoweidlem51  42693  stoweidlem59  42701  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  stirlinglem12  42727  stirlinglem15  42730  dirkeritg  42744  fourierdlem11  42760  fourierdlem30  42779  fourierdlem47  42795  fourierdlem79  42827  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fouriersw  42873  etransclem4  42880  etransclem31  42907  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransclem41  42917  salexct2  42979  hoidmvlelem1  43234  m1mod0mod1  43886  nfermltl2rev  44261  m1modmmod  44935  regt1loggt0  44950  rege1logbrege0  44972  nnlog2ge0lt1  44980  eenglngeehlnmlem2  45152  amgmwlem  45330