Theorem 0lt1 11831

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11301	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11262	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11829	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11306	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5130	1 ⊢ 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  0le1  11832  eqneg  12030  elimgt0  12148  ltp1  12150  ltm1  12152  recgt0  12156  mulgt1  12171  reclt1  12205  recgt1  12206  recgt1i  12207  recp1lt1  12208  recreclt  12209  recgt0ii  12216  neg1lt0  12301  nnge1  12359  nngt0  12362  0nnnALT  12368  nnrecgt0  12374  2posOLD  12441  halflt1  12556  nn0p1gt0  12628  elnnnn0c  12644  elnnz1  12715  nn0lt10b  12754  recnz  12767  1rp  13117  divlt1lt  13184  divle1le  13185  ledivge1le  13186  nnledivrp  13227  xmulrid  13402  0nelfz1  13669  fz10  13671  fzpreddisj  13700  elfznelfzob  13902  1mod  14036  expgt1  14236  ltexp2a  14302  expcan  14305  ltexp2  14306  leexp2  14307  leexp2a  14308  expnbnd  14369  expnlbnd  14370  expnlbnd2  14371  expmulnbnd  14372  discr1  14376  bcn1  14450  hashnn0n0nn  14528  s2fv0  15031  swrd2lsw  15098  2swrd2eqwrdeq  15099  sgn1  15238  sgnnbi  15250  sgnpbi  15251  resqrex  15410  mulcn2  15756  cvgrat  16045  bpoly4  16218  cos1bnd  16348  sin01gt0  16351  sincos1sgn  16354  ruclem8  16398  p1modz1  16422  nnoddm1d2  16549  sadcadd  16621  dvdsnprmd  16858  isprm7  16877  divdenle  16918  43prm  17293  plendxnocndx  17548  ipostr  18696  srgbinomlem4  20448  abvtrivd  21082  gzrngunit  21732  znidomb  21860  psgnodpmr  21889  leordtval2  23523  mopnex  24831  dscopn  24885  metnrmlem1a  25171  xrhmph  25261  evth  25273  xlebnum  25279  vitalilem5  25926  vitali  25927  ply1remlem  26476  plyremlem  26618  plyrem  26619  vieta1lem2  26627  reeff1olem  26766  sinhalfpilem  26785  rplogcl  26925  logtayllem  26980  cxplt  27015  cxple  27016  atanlogaddlem  27234  ressatans  27255  rlimcnp  27286  rlimcnp2  27287  cxp2limlem  27296  cxp2lim  27297  cxploglim2  27299  amgmlem  27310  emcllem2  27317  harmonicubnd  27330  fsumharmonic  27332  zetacvg  27335  ftalem1  27393  ftalem2  27394  chpchtsum  27539  chpub  27540  mersenne  27547  perfectlem2  27550  efexple  27601  chebbnd1  27792  dchrmusumlema  27813  dchrvmasumlem2  27818  dchrvmasumiflem1  27821  dchrisum0flblem2  27829  dchrisum0lema  27834  dchrisum0lem1  27836  dchrisum0lem2a  27837  mulog2sumlem1  27854  chpdifbndlem1  27873  chpdifbnd  27875  selberg3lem1  27877  pntrmax  27884  pntrsumo1  27885  pntpbnd1a  27905  pntpbnd2  27907  pntibndlem1  27909  pntlem3  27929  pnt  27934  ostth2lem1  27938  ostth2lem3  27955  ostth2lem4  27956  axcontlem2  29536  wwlksn0s  30443  clwwlkf1  30633  sgnmulsgp  33416  vietadeg1  34203  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminply  34413  esumcst  34688  hasheuni  34710  ballotlemi1  35128  ballotlemic  35132  signsply0  35173  signswch  35183  hgt750lem  35273  unblimceq0  37353  knoppndvlem1  37358  knoppndvlem2  37359  knoppndvlem7  37364  knoppndvlem13  37370  knoppndvlem14  37371  knoppndvlem15  37372  knoppndvlem17  37374  knoppndvlem20  37377  irrdiff  38227  poimirlem22  38540  poimirlem31  38549  asindmre  38601  areacirclem4  38609  60gcd7e1  43035  3lexlogpow5ineq2  43085  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p7  43113  aks4d1p8d2  43115  aks4d1p8d3  43116  aks4d1p8  43117  aks4d1p9  43118  aks6d1c5lem3  43167  sticksstones11  43186  aks6d1c6lem1  43200  aks6d1c6lem4  43203  aks6d1c7lem2  43211  explt1d  43360  3cubeslem1  43674  pellexlem2  43816  pellexlem6  43820  pell14qrgt0  43845  elpell1qr2  43858  pellfundex  43872  pellfundrp  43874  rmxypos  43933  relexp01min  44698  imo72b2  45157  radcnvrat  45283  reclt0d  46367  sqrlearg  46534  sumnnodd  46611  liminf10ex  46753  liminfltlimsupex  46760  dvnmul  46922  stoweidlem7  46986  stoweidlem36  47015  stoweidlem38  47017  stoweidlem42  47021  stoweidlem51  47030  stoweidlem59  47038  stirlinglem5  47057  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  stirlinglem12  47064  stirlinglem15  47067  dirkeritg  47081  fourierdlem11  47097  fourierdlem30  47116  fourierdlem47  47132  fourierdlem79  47164  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fouriersw  47210  etransclem4  47217  etransclem31  47244  etransclem32  47245  etransclem35  47248  etransclem41  47254  salexct2  47318  hoidmvlelem1  47574  cjnpoly  47908  m1mod0mod1  48399  m1modmmod  48403  muldvdsfacgt  48425  muldvdsfacm1  48426  nfermltl2rev  48810  regt1loggt0  49617  rege1logbrege0  49639  nnlog2ge0lt1  49647  eenglngeehlnmlem2  49819  amgmwlem  50956