Theorem 0lt1 11700

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11174	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11137	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11698	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11126	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11178	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5132	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  0le1  11701  eqneg  11902  elimgt0  12020  ltp1  12022  ltm1  12024  recgt0  12028  mulgt1OLD  12041  mulgt1  12044  reclt1  12078  recgt1  12079  recgt1i  12080  recp1lt1  12081  recreclt  12082  recgt0ii  12089  neg1lt0  12174  nnge1  12214  nngt0  12217  0nnnALT  12223  nnrecgt0  12229  2pos  12289  3pos  12291  4pos  12293  5pos  12295  6pos  12296  7pos  12297  8pos  12298  9pos  12299  halflt1  12399  nn0p1gt0  12471  elnnnn0c  12487  elnnz1  12559  nn0lt10b  12596  recnz  12609  1rp  12955  divlt1lt  13022  divle1le  13023  ledivge1le  13024  nnledivrp  13065  xmulrid  13239  0nelfz1  13504  fz10  13506  fzpreddisj  13534  elfznelfzob  13734  1mod  13865  expgt1  14065  ltexp2a  14131  expcan  14134  ltexp2  14135  leexp2  14136  leexp2a  14137  expnbnd  14197  expnlbnd  14198  expnlbnd2  14199  expmulnbnd  14200  discr1  14204  bcn1  14278  hashnn0n0nn  14356  s2fv0  14853  swrd2lsw  14918  2swrd2eqwrdeq  14919  sgn1  15058  resqrex  15216  mulcn2  15562  cvgrat  15849  bpoly4  16025  cos1bnd  16155  sin01gt0  16158  sincos1sgn  16161  ruclem8  16205  p1modz1  16229  nnoddm1d2  16356  sadcadd  16428  dvdsnprmd  16660  isprm7  16678  divdenle  16719  43prm  17092  plendxnocndx  17347  ipostr  18488  srgbinomlem4  20138  abvtrivd  20741  gzrngunit  21350  znidomb  21471  psgnodpmr  21499  leordtval2  23099  mopnex  24407  dscopn  24461  metnrmlem1a  24747  xrhmph  24845  evth  24858  xlebnum  24864  vitalilem5  25513  vitali  25514  ply1remlem  26070  plyremlem  26212  plyrem  26213  vieta1lem2  26219  reeff1olem  26356  sinhalfpilem  26372  rplogcl  26513  logtayllem  26568  cxplt  26603  cxple  26604  atanlogaddlem  26823  ressatans  26844  rlimcnp  26875  rlimcnp2  26876  cxp2limlem  26886  cxp2lim  26887  cxploglim2  26889  amgmlem  26900  emcllem2  26907  harmonicubnd  26920  fsumharmonic  26922  zetacvg  26925  ftalem1  26983  ftalem2  26984  chpchtsum  27130  chpub  27131  mersenne  27138  perfectlem2  27141  efexple  27192  chebbnd1  27383  dchrmusumlema  27404  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0lema  27425  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  mulog2sumlem1  27445  chpdifbndlem1  27464  chpdifbnd  27466  selberg3lem1  27468  pntrmax  27475  pntrsumo1  27476  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntibndlem1  27500  pntlem3  27520  pnt  27525  ostth2lem1  27529  ostth2lem3  27546  ostth2lem4  27547  axcontlem2  28892  wwlksn0s  29791  clwwlkf1  29978  sgnnbi  32763  sgnpbi  32764  sgnmulsgp  32768  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminply  33778  esumcst  34053  hasheuni  34075  ballotlemi1  34494  ballotlemic  34498  signsply0  34542  signswch  34552  hgt750lem  34642  unblimceq0  36495  knoppndvlem1  36500  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem13  36512  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem17  36516  knoppndvlem20  36519  irrdiff  37314  poimirlem22  37636  poimirlem31  37645  asindmre  37697  areacirclem4  37705  60gcd7e1  41993  3lexlogpow5ineq2  42043  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p7  42071  aks4d1p8d2  42073  aks4d1p8d3  42074  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  aks6d1c5lem3  42125  sticksstones11  42144  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem2  42169  explt1d  42311  3cubeslem1  42672  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell14qrgt0  42847  elpell1qr2  42860  pellfundex  42874  pellfundrp  42876  rmxypos  42936  relexp01min  43702  imo72b2  44161  radcnvrat  44303  reclt0d  45383  sqrlearg  45551  sumnnodd  45628  liminf10ex  45772  liminfltlimsupex  45779  dvnmul  45941  stoweidlem7  46005  stoweidlem36  46034  stoweidlem38  46036  stoweidlem42  46040  stoweidlem51  46049  stoweidlem59  46057  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  stirlinglem15  46086  dirkeritg  46100  fourierdlem11  46116  fourierdlem30  46135  fourierdlem47  46151  fourierdlem79  46183  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fouriersw  46229  etransclem4  46236  etransclem31  46263  etransclem32  46264  etransclem35  46267  etransclem41  46273  salexct2  46337  hoidmvlelem1  46593  tworepnotupword  46884  cjnpoly  46890  m1mod0mod1  47355  m1modmmod  47359  nfermltl2rev  47744  regt1loggt0  48525  rege1logbrege0  48547  nnlog2ge0lt1  48555  eenglngeehlnmlem2  48727  amgmwlem  49791