Theorem 0lt1 11659

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11132	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 11095	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 11657	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 11084	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulridi 11136	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 5123	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  0le1  11660  eqneg  11861  elimgt0  11979  ltp1  11981  ltm1  11983  recgt0  11987  mulgt1OLD  12000  mulgt1  12003  reclt1  12037  recgt1  12038  recgt1i  12039  recp1lt1  12040  recreclt  12041  recgt0ii  12048  neg1lt0  12133  nnge1  12173  nngt0  12176  0nnnALT  12182  nnrecgt0  12188  2pos  12248  3pos  12250  4pos  12252  5pos  12254  6pos  12255  7pos  12256  8pos  12257  9pos  12258  halflt1  12358  nn0p1gt0  12430  elnnnn0c  12446  elnnz1  12517  nn0lt10b  12554  recnz  12567  1rp  12909  divlt1lt  12976  divle1le  12977  ledivge1le  12978  nnledivrp  13019  xmulrid  13194  0nelfz1  13459  fz10  13461  fzpreddisj  13489  elfznelfzob  13690  1mod  13823  expgt1  14023  ltexp2a  14089  expcan  14092  ltexp2  14093  leexp2  14094  leexp2a  14095  expnbnd  14155  expnlbnd  14156  expnlbnd2  14157  expmulnbnd  14158  discr1  14162  bcn1  14236  hashnn0n0nn  14314  s2fv0  14810  swrd2lsw  14875  2swrd2eqwrdeq  14876  sgn1  15015  resqrex  15173  mulcn2  15519  cvgrat  15806  bpoly4  15982  cos1bnd  16112  sin01gt0  16115  sincos1sgn  16118  ruclem8  16162  p1modz1  16186  nnoddm1d2  16313  sadcadd  16385  dvdsnprmd  16617  isprm7  16635  divdenle  16676  43prm  17049  plendxnocndx  17304  ipostr  18452  srgbinomlem4  20164  abvtrivd  20765  gzrngunit  21388  znidomb  21516  psgnodpmr  21545  leordtval2  23156  mopnex  24463  dscopn  24517  metnrmlem1a  24803  xrhmph  24901  evth  24914  xlebnum  24920  vitalilem5  25569  vitali  25570  ply1remlem  26126  plyremlem  26268  plyrem  26269  vieta1lem2  26275  reeff1olem  26412  sinhalfpilem  26428  rplogcl  26569  logtayllem  26624  cxplt  26659  cxple  26660  atanlogaddlem  26879  ressatans  26900  rlimcnp  26931  rlimcnp2  26932  cxp2limlem  26942  cxp2lim  26943  cxploglim2  26945  amgmlem  26956  emcllem2  26963  harmonicubnd  26976  fsumharmonic  26978  zetacvg  26981  ftalem1  27039  ftalem2  27040  chpchtsum  27186  chpub  27187  mersenne  27194  perfectlem2  27197  efexple  27248  chebbnd1  27439  dchrmusumlema  27460  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0lema  27481  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  mulog2sumlem1  27501  chpdifbndlem1  27520  chpdifbnd  27522  selberg3lem1  27524  pntrmax  27531  pntrsumo1  27532  pntpbnd1a  27552  pntpbnd2  27554  pntibndlem1  27556  pntlem3  27576  pnt  27581  ostth2lem1  27585  ostth2lem3  27602  ostth2lem4  27603  axcontlem2  29038  wwlksn0s  29934  clwwlkf1  30124  sgnnbi  32919  sgnpbi  32920  sgnmulsgp  32924  vietadeg1  33734  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpiminply  33945  esumcst  34220  hasheuni  34242  ballotlemi1  34660  ballotlemic  34664  signsply0  34708  signswch  34718  hgt750lem  34808  unblimceq0  36707  knoppndvlem1  36712  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem13  36724  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem15  36726  knoppndvlem17  36728  knoppndvlem20  36731  irrdiff  37531  poimirlem22  37843  poimirlem31  37852  asindmre  37904  areacirclem4  37912  60gcd7e1  42259  3lexlogpow5ineq2  42309  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p7  42337  aks4d1p8d2  42339  aks4d1p8d3  42340  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  aks6d1c5lem3  42391  sticksstones11  42410  aks6d1c6lem1  42424  aks6d1c6lem4  42427  aks6d1c7lem2  42435  explt1d  42578  3cubeslem1  42926  pellexlem2  43072  pellexlem6  43076  pell14qrgt0  43101  elpell1qr2  43114  pellfundex  43128  pellfundrp  43130  rmxypos  43189  relexp01min  43954  imo72b2  44413  radcnvrat  44555  reclt0d  45631  sqrlearg  45799  sumnnodd  45876  liminf10ex  46018  liminfltlimsupex  46025  dvnmul  46187  stoweidlem7  46251  stoweidlem36  46280  stoweidlem38  46282  stoweidlem42  46286  stoweidlem51  46295  stoweidlem59  46303  stirlinglem5  46322  stirlinglem7  46324  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  stirlinglem12  46329  stirlinglem15  46332  dirkeritg  46346  fourierdlem11  46362  fourierdlem30  46381  fourierdlem47  46397  fourierdlem79  46429  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fouriersw  46475  etransclem4  46482  etransclem31  46509  etransclem32  46510  etransclem35  46513  etransclem41  46519  salexct2  46583  hoidmvlelem1  46839  cjnpoly  47135  m1mod0mod1  47600  m1modmmod  47604  nfermltl2rev  47989  regt1loggt0  48782  rege1logbrege0  48804  nnlog2ge0lt1  48812  eenglngeehlnmlem2  48984  amgmwlem  50047