MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos1bnd 15373
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 13408 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 7026 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 7027 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 11560 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 11566 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ne0 11591 . . . . . . 7 3 ≠ 0
74, 5, 6divreci 11233 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2822 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 7027 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 10441 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divcli 11230 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6reccli 11218 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 11549 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 7026 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividi 11221 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdiri 11245 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2828 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 10823 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2819 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 10487 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 11010 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 11116 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 10534 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 12649 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 688 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 15372 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 236 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1453 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 484 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 4985 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 486 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 7027 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 10822 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 232 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2819 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 4987 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 471 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  2c2 11540  3c3 11541  (,]cioc 12589  cexp 13279  cosccos 15251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-cos 15257
This theorem is referenced by:  cos2bnd  15374
  Copyright terms: Public domain W3C validator