Theorem cos1bnd 15896

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 13912	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 12079	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	divreci 11720	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
8	3, 7	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
9	8	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	4, 5, 6	divcli 11717	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
12	5, 6	reccli 11705	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
13		df-3 12037	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
15	5, 6	dividi 11708	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdiri 11732	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2775	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 11310	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
19	9, 18	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20		1re 10975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0lt1 11497	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
22		1le1 11603	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
23		0xr 11022	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		elioc2 13142	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
25	23, 20, 24	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26		cos01bnd 15895	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
27	25, 26	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
29	28	simpli 484	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
30	19, 29	eqbrtrri 5097	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
31	28	simpri 486	. . 3 ⊢ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
32	2	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
33	10, 12, 11	subadd2i 11309	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
34	17, 33	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
35	32, 34	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
36	31, 35	breqtri 5099	. 2 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
37	30, 36	pm3.2i 471	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  (,]cioc 13080  ↑cexp 13782  cosccos 15774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-cos 15780

This theorem is referenced by:  cos2bnd  15897