MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos1bnd 15140
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 13184 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 6887 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 6888 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 11378 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 11382 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ne0 11401 . . . . . . 7 3 ≠ 0
74, 5, 6divreci 11058 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2838 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 6888 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 10282 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divcli 11055 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6reccli 11043 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 11368 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 6887 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividi 11046 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdiri 11070 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2844 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 10658 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2835 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 10328 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 10838 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 10943 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 10374 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 12457 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 675 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 15139 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 226 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1578 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 472 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 4874 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 475 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 6888 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 10657 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 222 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2835 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 4876 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 458 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157   class class class wbr 4851  cfv 6104  (class class class)co 6877  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554   / cdiv 10972  2c2 11359  3c3 11360  (,]cioc 12397  cexp 13086  cosccos 15018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-cos 15024
This theorem is referenced by:  cos2bnd  15141
  Copyright terms: Public domain W3C validator