Theorem cos1bnd 16130

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 14159	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 12318	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	divreci 11959	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
8	3, 7	eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
9	8	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10		ax-1cn 11168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	4, 5, 6	divcli 11956	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
12	5, 6	reccli 11944	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
13		df-3 12276	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
15	5, 6	dividi 11947	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdiri 11971	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2770	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 11549	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
19	9, 18	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0lt1 11736	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
22		1le1 11842	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
23		0xr 11261	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		elioc2 13387	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
25	23, 20, 24	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26		cos01bnd 16129	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
27	25, 26	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
29	28	simpli 485	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
30	19, 29	eqbrtrri 5172	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
31	28	simpri 487	. . 3 ⊢ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
32	2	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
33	10, 12, 11	subadd2i 11548	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
34	17, 33	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
35	32, 34	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
36	31, 35	breqtri 5174	. 2 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
37	30, 36	pm3.2i 472	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  (,]cioc 13325  ↑cexp 14027  cosccos 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-cos 16014

This theorem is referenced by:  cos2bnd  16131