Theorem cos1bnd 16223

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 14234	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 12372	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	divreci 12012	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
8	3, 7	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
9	8	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10		ax-1cn 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	4, 5, 6	divcli 12009	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
12	5, 6	reccli 11997	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
13		df-3 12330	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
15	5, 6	dividi 12000	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdiri 12024	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2774	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 11598	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
19	9, 18	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20		1re 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0lt1 11785	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
22		1le1 11891	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
23		0xr 11308	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		elioc2 13450	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
25	23, 20, 24	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26		cos01bnd 16222	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
27	25, 26	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
29	28	simpli 483	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
30	19, 29	eqbrtrri 5166	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
31	28	simpri 485	. . 3 ⊢ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
32	2	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
33	10, 12, 11	subadd2i 11597	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
34	17, 33	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
35	32, 34	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
36	31, 35	breqtri 5168	. 2 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
37	30, 36	pm3.2i 470	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  (,]cioc 13388  ↑cexp 14102  cosccos 16100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-cos 16106

This theorem is referenced by:  cos2bnd  16224