MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos1bnd 16134
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 14161 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 7414 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 7415 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 12288 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 12294 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ne0 12319 . . . . . . 7 3 ≠ 0
74, 5, 6divreci 11960 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2757 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 7415 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 11167 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divcli 11957 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6reccli 11945 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 12277 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 7414 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividi 11948 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdiri 11972 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2763 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 11550 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2754 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 11215 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 11737 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 11843 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 11262 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 13390 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 689 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 16133 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 234 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1457 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 483 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 5164 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 485 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 7415 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 11549 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 230 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2754 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 5166 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 470 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  (,]cioc 13328  cexp 14029  cosccos 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-cos 16017
This theorem is referenced by:  cos2bnd  16135
  Copyright terms: Public domain W3C validator