Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos1bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos1bnd 15536
 Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 13558 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 7149 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 7150 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 11704 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 11710 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ne0 11735 . . . . . . 7 3 ≠ 0
74, 5, 6divreci 11378 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2827 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 7150 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 10588 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divcli 11375 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6reccli 11363 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 11693 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 7149 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividi 11366 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdiri 11390 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2833 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 10968 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2824 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 10634 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 11155 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 11261 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 10681 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 12792 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 691 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 15535 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 238 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1458 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 487 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 5056 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 489 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 7150 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 10967 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 234 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2824 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 5058 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 474 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  (,]cioc 12731  ↑cexp 13429  cosccos 15414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-cos 15420 This theorem is referenced by:  cos2bnd  15537
 Copyright terms: Public domain W3C validator