MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos4thpi 25250
Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 11924 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
2 ax-1cn 10666 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3 2halves 11937 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5 sincosq1eq 25249 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
61, 1, 4, 5mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
76oveq2i 7175 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
87oveq2i 7175 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9 2cn 11784 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 pire 25195 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
1110recni 10726 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
12 2ne0 11813 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 11471 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
1411mulid2i 10717 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
15 2t2e4 11873 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1614, 15oveq12i 7176 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
1713, 16eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
1817fveq2i 6671 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
1918, 18oveq12i 7176 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
2019oveq2i 7175 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
219, 12recidi 11442 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / 2)) = 1
2221oveq1i 7174 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23 2re 11783 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2410, 23, 12redivcli 11478 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℝ
2524recni 10726 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
269, 1, 25mulassi 10723 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
2725mulid2i 10717 . . . . . . . . . 10 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2822, 26, 273eqtr3i 2769 . . . . . . . . 9 (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
2928fveq2i 6671 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
301, 25mulcli 10719 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31 sin2t 15615 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33 sinhalfpi 25205 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 2)) = 1
3429, 32, 333eqtr3i 2769 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
358, 20, 343eqtr3i 2769 . . . . . 6 (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
3635fveq2i 6671 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37 4re 11793 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4ne0 11817 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
3910, 37, 38redivcli 11478 . . . . . . . 8 (π / 4) ∈ ℝ
40 resincl 15578 . . . . . . . 8 ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
4241, 41remulcli 10728 . . . . . 6 ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43 0le2 11811 . . . . . 6 0 ≤ 2
4441msqge0i 11249 . . . . . 6 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 14829 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46 sqrt1 14714 . . . . 5 (√‘1) = 1
4736, 45, 463eqtr3ri 2770 . . . 4 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
4842sqrtcli 14814 . . . . . . 7 (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
5049recni 10726 . . . . 5 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51 sqrt2re 15688 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
5251recni 10726 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℂ
53 sqrt00 14706 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
5423, 43, 53mp2an 692 . . . . . . . 8 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
5554necon3bii 2986 . . . . . . 7 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
5612, 55mpbir 234 . . . . . 6 (√‘2) ≠ 0
5752, 56pm3.2i 474 . . . . 5 ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58 divmul2 11373 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
592, 50, 57, 58mp3an 1462 . . . 4 ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
6047, 59mpbir 234 . . 3 (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61 0re 10714 . . . . 5 0 ∈ ℝ
62 pipos 25197 . . . . . . . 8 0 < π
63 4pos 11816 . . . . . . . 8 0 < 4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 11628 . . . . . . 7 0 < (π / 4)
65 1re 10712 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
66 pigt2lt4 25193 . . . . . . . . . . 11 (2 < π ∧ π < 4)
6766simpri 489 . . . . . . . . . 10 π < 4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 11640 . . . . . . . . . 10 (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
6967, 68mpbi 233 . . . . . . . . 9 (π / 4) < (4 / 4)
7037recni 10726 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
7170, 38dividi 11444 . . . . . . . . 9 (4 / 4) = 1
7269, 71breqtri 5052 . . . . . . . 8 (π / 4) < 1
7339, 65, 72ltleii 10834 . . . . . . 7 (π / 4) ≤ 1
74 0xr 10759 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
75 elioc2 12877 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
7674, 65, 75mp2an 692 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1342 . . . . . 6 (π / 4) ∈ (0(,]1)
78 sin01gt0 15628 . . . . . 6 ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 4))
8061, 41, 79ltleii 10834 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 4))
8141sqrtmsqi 14816 . . . 4 (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
8280, 81ax-mp 5 . . 3 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
8360, 82eqtr2i 2762 . 2 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8460, 82eqtri 2761 . . 3 (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
8517fveq2i 6671 . . . 4 (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
866, 18, 853eqtr3i 2769 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
8784, 86eqtr2i 2762 . 2 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8883, 87pm3.2i 474 1 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747   / cdiv 11368  2c2 11764  4c4 11766  (,]cioc 12815  csqrt 14675  sincsin 15502  cosccos 15503  πcpi 15505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611
This theorem is referenced by:  tan4thpi  25251
  Copyright terms: Public domain W3C validator