MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos4thpi 26570
Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 12479 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
2 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3 2halves 12492 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5 sincosq1eq 26569 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
61, 1, 4, 5mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
76oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
87oveq2i 7442 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 pire 26515 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
1110recni 11273 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
12 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 12025 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
1411mullidi 11264 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
15 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1614, 15oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
1713, 16eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
1817fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
1918, 18oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
2019oveq2i 7442 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
219, 12recidi 11996 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / 2)) = 1
2221oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2410, 23, 12redivcli 12032 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℝ
2524recni 11273 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
269, 1, 25mulassi 11270 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
2725mullidi 11264 . . . . . . . . . 10 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2822, 26, 273eqtr3i 2771 . . . . . . . . 9 (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
2928fveq2i 6910 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
301, 25mulcli 11266 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31 sin2t 16210 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33 sinhalfpi 26525 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 2)) = 1
3429, 32, 333eqtr3i 2771 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
358, 20, 343eqtr3i 2771 . . . . . 6 (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
3635fveq2i 6910 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37 4re 12348 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4ne0 12372 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
3910, 37, 38redivcli 12032 . . . . . . . 8 (π / 4) ∈ ℝ
40 resincl 16173 . . . . . . . 8 ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
4241, 41remulcli 11275 . . . . . 6 ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43 0le2 12366 . . . . . 6 0 ≤ 2
4441msqge0i 11799 . . . . . 6 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 15422 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46 sqrt1 15307 . . . . 5 (√‘1) = 1
4736, 45, 463eqtr3ri 2772 . . . 4 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
4842sqrtcli 15407 . . . . . . 7 (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
5049recni 11273 . . . . 5 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51 sqrt2re 16283 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
5251recni 11273 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℂ
53 sqrt00 15299 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
5423, 43, 53mp2an 692 . . . . . . . 8 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
5554necon3bii 2991 . . . . . . 7 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
5612, 55mpbir 231 . . . . . 6 (√‘2) ≠ 0
5752, 56pm3.2i 470 . . . . 5 ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58 divmul2 11924 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
592, 50, 57, 58mp3an 1460 . . . 4 ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
6047, 59mpbir 231 . . 3 (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61 0re 11261 . . . . 5 0 ∈ ℝ
62 pipos 26517 . . . . . . . 8 0 < π
63 4pos 12371 . . . . . . . 8 0 < 4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 12183 . . . . . . 7 0 < (π / 4)
65 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
66 pigt2lt4 26513 . . . . . . . . . . 11 (2 < π ∧ π < 4)
6766simpri 485 . . . . . . . . . 10 π < 4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 12195 . . . . . . . . . 10 (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
6967, 68mpbi 230 . . . . . . . . 9 (π / 4) < (4 / 4)
7037recni 11273 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
7170, 38dividi 11998 . . . . . . . . 9 (4 / 4) = 1
7269, 71breqtri 5173 . . . . . . . 8 (π / 4) < 1
7339, 65, 72ltleii 11382 . . . . . . 7 (π / 4) ≤ 1
74 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
75 elioc2 13447 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
7674, 65, 75mp2an 692 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1340 . . . . . 6 (π / 4) ∈ (0(,]1)
78 sin01gt0 16223 . . . . . 6 ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 4))
8061, 41, 79ltleii 11382 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 4))
8141sqrtmsqi 15409 . . . 4 (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
8280, 81ax-mp 5 . . 3 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
8360, 82eqtr2i 2764 . 2 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8460, 82eqtri 2763 . . 3 (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
8517fveq2i 6910 . . . 4 (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
866, 18, 853eqtr3i 2771 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
8784, 86eqtr2i 2764 . 2 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8883, 87pm3.2i 470 1 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  (,]cioc 13385  csqrt 15269  sincsin 16096  cosccos 16097  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  tan4thpi  26571  tan4thpiOLD  26572
  Copyright terms: Public domain W3C validator