Theorem sincos4thpi 26573

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2halves 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5		sincosq1eq 26572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
7	6	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
8	7	oveq2i 7459	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9		2cn 12368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 26518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recni 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
12		2ne0 12397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivi 12054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
14	11	mullidi 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
15		2t2e4 12457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	oveq12i 7460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
17	13, 16	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
18	17	fveq2i 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
19	18, 18	oveq12i 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
20	19	oveq2i 7459	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
21	9, 12	recidi 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
22	21	oveq1i 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	10, 23, 12	redivcli 12061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	9, 1, 25	mulassi 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
27	25	mullidi 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
29	28	fveq2i 6923	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
30	1, 25	mulcli 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31		sin2t 16225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33		sinhalfpi 26528	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2776	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2776	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
36	35	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37		4re 12377	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4ne0 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
39	10, 37, 38	redivcli 12061	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
40		resincl 16188	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
42	41, 41	remulcli 11306	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43		0le2 12395	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
44	41	msqge0i 11828	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 15435	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46		sqrt1 15320	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2777	. . . 4 ⊢ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
48	42	sqrtcli 15420	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
50	49	recni 11304	. . . . 5 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51		sqrt2re 16298	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
52	51	recni 11304	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
53		sqrt00 15312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
54	23, 43, 53	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
55	54	necon3bii 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
56	12, 55	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ≠ 0
57	52, 56	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58		divmul2 11953	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
59	2, 50, 57, 58	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
60	47, 59	mpbir 231	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61		0re 11292	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 26520	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63		4pos 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
64	10, 37, 62, 63	divgt0ii 12212	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
65		1re 11290	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		pigt2lt4 26516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
67	66	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
68	10, 37, 37, 63	ltdiv1ii 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
69	67, 68	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
70	37	recni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
71	70, 38	dividi 12027	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
72	69, 71	breqtri 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
73	39, 65, 72	ltleii 11413	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
74		0xr 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
75		elioc2 13470	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
76	74, 65, 75	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
77	39, 64, 73, 76	mpbir3an 1341	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
78		sin01gt0 16238	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 4))
80	61, 41, 79	ltleii 11413	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 4))
81	41	sqrtmsqi 15422	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
83	60, 82	eqtr2i 2769	. 2 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
84	60, 82	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
85	17	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
86	6, 18, 85	3eqtr3i 2776	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
87	84, 86	eqtr2i 2769	. 2 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
88	83, 87	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  4c4 12350  (,]cioc 13408  √csqrt 15282  sincsin 16111  cosccos 16112  πcpi 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  tan4thpi  26574  tan4thpiOLD  26575