MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos4thpi 25679
Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 12197 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
2 ax-1cn 10938 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3 2halves 12210 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5 sincosq1eq 25678 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
61, 1, 4, 5mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
76oveq2i 7295 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
87oveq2i 7295 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9 2cn 12057 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 pire 25624 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
1110recni 10998 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
12 2ne0 12086 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 11744 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
1411mulid2i 10989 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
15 2t2e4 12146 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1614, 15oveq12i 7296 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
1713, 16eqtri 2767 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
1817fveq2i 6786 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
1918, 18oveq12i 7296 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
2019oveq2i 7295 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
219, 12recidi 11715 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / 2)) = 1
2221oveq1i 7294 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23 2re 12056 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2410, 23, 12redivcli 11751 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℝ
2524recni 10998 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
269, 1, 25mulassi 10995 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
2725mulid2i 10989 . . . . . . . . . 10 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2822, 26, 273eqtr3i 2775 . . . . . . . . 9 (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
2928fveq2i 6786 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
301, 25mulcli 10991 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31 sin2t 15895 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33 sinhalfpi 25634 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 2)) = 1
3429, 32, 333eqtr3i 2775 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
358, 20, 343eqtr3i 2775 . . . . . 6 (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
3635fveq2i 6786 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37 4re 12066 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4ne0 12090 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
3910, 37, 38redivcli 11751 . . . . . . . 8 (π / 4) ∈ ℝ
40 resincl 15858 . . . . . . . 8 ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
4241, 41remulcli 11000 . . . . . 6 ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43 0le2 12084 . . . . . 6 0 ≤ 2
4441msqge0i 11522 . . . . . 6 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 15107 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46 sqrt1 14992 . . . . 5 (√‘1) = 1
4736, 45, 463eqtr3ri 2776 . . . 4 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
4842sqrtcli 15092 . . . . . . 7 (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
5049recni 10998 . . . . 5 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51 sqrt2re 15968 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
5251recni 10998 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℂ
53 sqrt00 14984 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
5423, 43, 53mp2an 689 . . . . . . . 8 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
5554necon3bii 2997 . . . . . . 7 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
5612, 55mpbir 230 . . . . . 6 (√‘2) ≠ 0
5752, 56pm3.2i 471 . . . . 5 ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58 divmul2 11646 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
592, 50, 57, 58mp3an 1460 . . . 4 ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
6047, 59mpbir 230 . . 3 (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61 0re 10986 . . . . 5 0 ∈ ℝ
62 pipos 25626 . . . . . . . 8 0 < π
63 4pos 12089 . . . . . . . 8 0 < 4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 11901 . . . . . . 7 0 < (π / 4)
65 1re 10984 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
66 pigt2lt4 25622 . . . . . . . . . . 11 (2 < π ∧ π < 4)
6766simpri 486 . . . . . . . . . 10 π < 4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 11913 . . . . . . . . . 10 (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
6967, 68mpbi 229 . . . . . . . . 9 (π / 4) < (4 / 4)
7037recni 10998 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
7170, 38dividi 11717 . . . . . . . . 9 (4 / 4) = 1
7269, 71breqtri 5100 . . . . . . . 8 (π / 4) < 1
7339, 65, 72ltleii 11107 . . . . . . 7 (π / 4) ≤ 1
74 0xr 11031 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
75 elioc2 13151 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
7674, 65, 75mp2an 689 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1340 . . . . . 6 (π / 4) ∈ (0(,]1)
78 sin01gt0 15908 . . . . . 6 ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 4))
8061, 41, 79ltleii 11107 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 4))
8141sqrtmsqi 15094 . . . 4 (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
8280, 81ax-mp 5 . . 3 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
8360, 82eqtr2i 2768 . 2 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8460, 82eqtri 2767 . . 3 (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
8517fveq2i 6786 . . . 4 (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
866, 18, 853eqtr3i 2775 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
8784, 86eqtr2i 2768 . 2 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8883, 87pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5075  cfv 6437  (class class class)co 7284  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  *cxr 11017   < clt 11018  cle 11019   / cdiv 11641  2c2 12037  4c4 12039  (,]cioc 13089  csqrt 14953  sincsin 15782  cosccos 15783  πcpi 15785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040
This theorem is referenced by:  tan4thpi  25680
  Copyright terms: Public domain W3C validator