Theorem sincos4thpi 26824

Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos4thpi	⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2halves 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5		sincosq1eq 26823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
6	1, 1, 4, 5	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
7	6	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
8	7	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9		2cn 12399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		pire 26765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	recni 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
12		2ne0 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
13	2, 9, 11, 9, 12, 12	divmuldivi 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
14	11	mullidi 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
15		2t2e4 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
17	13, 16	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
18	17	fveq2i 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
19	18, 18	oveq12i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
20	19	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
21		2thalfe1 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
22	21	oveq1i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23		2re 12398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	10, 23, 12	redivcli 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
25	24	recni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	9, 1, 25	mulassi 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
27	25	mullidi 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
28	22, 26, 27	3eqtr3i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
29	28	fveq2i 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
30	1, 25	mulcli 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31		sin2t 16325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33		sinhalfpi 26779	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
34	29, 32, 33	3eqtr3i 2792	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
35	8, 20, 34	3eqtr3i 2792	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
36	35	fveq2i 6880	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37		4re 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
38		4ne0 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
39	10, 37, 38	redivcli 12065	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
40		resincl 16288	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
42	41, 41	remulcli 11306	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43		0le2 12426	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
44	41	msqge0i 11835	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
45	23, 42, 43, 44	sqrtmulii 15534	. . . . 5 ⊢ (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46		sqrt1 15418	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
47	36, 45, 46	3eqtr3ri 2793	. . . 4 ⊢ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
48	42	sqrtcli 15519	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
49	44, 48	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
50	49	recni 11304	. . . . 5 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51		sqrt2re 16398	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
52	51	recni 11304	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
53		sqrt00 15410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
54	23, 43, 53	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
55	54	necon3bii 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
56	12, 55	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ≠ 0
57	52, 56	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58		divmul2 11959	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
59	2, 50, 57, 58	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
60	47, 59	mpbir 234	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61		0re 11291	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 26769	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63		4pos 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
64	10, 37, 62, 63	divgt0ii 12215	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 4)
65		1re 11289	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		pigt2lt4 26763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
67	66	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ π < 4
68	10, 37, 37, 63	ltdiv1ii 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
69	67, 68	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 4) < (4 / 4)
70	37	recni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
71	70, 38	dividi 12031	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 4) = 1
72	69, 71	breqtri 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 4) < 1
73	39, 65, 72	ltleii 11414	. . . . . . 7 ⊢ (π / 4) ≤ 1
74		0xr 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
75		elioc2 13521	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
76	74, 65, 75	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
77	39, 64, 73, 76	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ (0(,]1)
78		sin01gt0 16338	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 4))
80	61, 41, 79	ltleii 11414	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 4))
81	41	sqrtmsqi 15521	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
83	60, 82	eqtr2i 2785	. 2 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
84	60, 82	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
85	17	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
86	6, 18, 85	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
87	84, 86	eqtr2i 2785	. 2 ⊢ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
88	83, 87	pm3.2i 476	1 ⊢ ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11954  2c2 12378  4c4 12380  (,]cioc 13458  √csqrt 15380  sincsin 16209  cosccos 16210  πcpi 16212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167

This theorem is used by:  tan4thpi  26825