Theorem ex-fl 30588

Description: Example for df-fl 13792. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11171	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12288	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12460	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11177	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12381	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5115	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12312	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12102	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 232	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11296	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12384	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12371	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5121	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12057	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1476	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12270	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5119	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12591	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13816	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 700	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 719	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11482	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11482	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11721	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 232	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11296	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11489	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11121	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11479	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 700	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11491	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7395	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2779	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12332	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5115	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5115	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11187	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11728	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 232	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12593	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12596	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13816	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 700	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 719	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 473	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  ℤcz 12558  ⌊cfl 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fl 13792

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30589  ppivalnn4  48184