MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 27910
Description: Example for df-fl 13012. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 10490 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 11567 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11736 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 11562 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 10495 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11659 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4985 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 11590 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 11561 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 11410 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 231 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10612 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11661 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11651 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4991 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 471 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 11365 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1453 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 232 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 11550 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4989 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11862 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13036 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 688 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 707 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10797 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10797 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11034 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 231 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10612 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10804 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10444 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10794 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 688 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10806 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7029 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2818 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11613 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4985 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4985 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 10505 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11041 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 231 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11864 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11867 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13036 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 688 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 707 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 471 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  cc 10384  cr 10385  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391   < clt 10524  cle 10525  cmin 10719  -cneg 10720   / cdiv 11147  2c2 11542  3c3 11543  4c4 11544  cz 11831  cfl 13010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fl 13012
This theorem is referenced by:  ex-ceil  27911
  Copyright terms: Public domain W3C validator