Theorem ex-fl 30270

Description: Example for df-fl 13790. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11245	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12492	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11250	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12415	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12346	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12165	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11368	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12417	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12407	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5175	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12120	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12306	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5173	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13814	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 710	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11552	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11552	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11789	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11368	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11559	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11549	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11561	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12369	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5169	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11260	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11796	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12625	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12628	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13814	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 710	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  ℤcz 12589  ⌊cfl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30271