Theorem ex-fl 31030

Description: Example for df-fl 13912. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12404	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12576	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12399	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12497	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12398	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12218	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11414	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12500	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12487	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5132	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12173	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12386	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5130	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12707	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13936	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11600	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11600	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11841	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11414	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11607	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11239	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11597	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11609	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12448	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11305	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11848	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12709	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12712	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13936	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 476	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  ℤcz 12674  ⌊cfl 13910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fl 13912

This theorem is used by:  ex-ceil  31031  ppivalnn4  48656