Theorem ex-fl 30542

Description: Example for df-fl 13749. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12259	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12424	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11148	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12346	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5100	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12282	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12253	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12074	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 231	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11267	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12348	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12338	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5106	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12029	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1469	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12242	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5104	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12555	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13773	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 717	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11453	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11453	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11692	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 231	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11267	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11460	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11094	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11450	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11462	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12300	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5100	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5100	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11158	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11699	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 231	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12557	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12560	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13773	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 717	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 471	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  ℤcz 12522  ⌊cfl 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fl 13749

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30543  ppivalnn4  48112