MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 27766
Description: Example for df-fl 12804. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 10295 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 11354 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11529 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 11349 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 10301 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11452 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4832 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 11384 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 11348 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 11200 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 221 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10416 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11454 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11444 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4838 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 462 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 11154 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1585 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 222 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 11337 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4836 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11657 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 12828 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 683 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 702 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10598 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10598 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 10828 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 221 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10416 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10605 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10249 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10595 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 683 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10607 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 6854 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2787 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11407 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4832 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4832 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 10311 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 10835 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 221 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11659 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11662 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 12828 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 683 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 702 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 462 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  2c2 11329  3c3 11330  4c4 11331  cz 11626  cfl 12802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fl 12804
This theorem is referenced by:  ex-ceil  27767
  Copyright terms: Public domain W3C validator