Theorem ex-fl 30479

Description: Example for df-fl 13843. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12373	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12542	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12465	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5187	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12396	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12215	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11413	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12467	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12457	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5193	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12170	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12356	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5191	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12673	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13867	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 710	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11597	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11597	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11834	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11413	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11604	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11606	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12419	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5187	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5187	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11305	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11841	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 230	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12678	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13867	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 710	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  ℤcz 12639  ⌊cfl 13841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fl 13843

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30480