Theorem ex-fl 28811

Description: Example for df-fl 13512. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10975	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12053	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12222	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12145	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5095	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12076	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11895	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11098	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12147	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12137	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5101	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11850	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12036	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5099	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13536	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 708	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11282	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11282	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11519	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11098	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11289	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11291	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12099	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5095	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5095	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10990	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11526	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12355	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13536	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 708	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 471	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℤcz 12319  ⌊cfl 13510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fl 13512

This theorem is referenced by:  ex-ceil  28812