Theorem ex-fl 30433

Description: Example for df-fl 13814. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12325	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12495	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5145	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12167	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11363	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12419	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12409	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5151	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12122	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12308	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5149	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13838	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11549	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11549	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11786	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11363	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11556	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11546	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11558	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12371	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5145	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5145	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11255	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11793	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 230	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12629	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12632	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13838	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℤcz 12593  ⌊cfl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fl 13814

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30434