MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 30329
Description: Example for df-fl 13793. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 11246 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 12325 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 12494 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 12320 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mullidi 11251 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 12417 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 5170 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 12348 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 12319 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 12167 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 229 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 11369 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 12419 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 12409 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 5176 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 469 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 12122 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1457 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 230 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 12308 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 5174 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 12625 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13817 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 690 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 709 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 11553 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 11553 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11790 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 229 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 11369 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 11560 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 11198 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 11550 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 11562 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7429 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2753 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 12371 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 5170 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 5170 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 11261 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11797 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 229 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 12627 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 12630 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13817 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 690 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 709 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 469 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  cz 12591  cfl 13791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fl 13793
This theorem is referenced by:  ex-ceil  30330
  Copyright terms: Public domain W3C validator