Theorem ex-fl 28530

Description: Example for df-fl 13367. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10833	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11910	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12079	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11905	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10838	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12002	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5074	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11933	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11904	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11752	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10955	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12004	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11994	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5080	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11707	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11893	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5078	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12207	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13391	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11139	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11139	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11376	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10955	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11146	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10787	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11148	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7223	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11956	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5074	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5074	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10848	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11383	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12209	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12212	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13391	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 474	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  ℤcz 12176  ⌊cfl 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fl 13367

This theorem is referenced by:  ex-ceil  28531