Theorem ex-fl 30835

Description: Example for df-fl 13845. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11226	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12339	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12511	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11232	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12432	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5137	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12363	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12333	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12153	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11351	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12435	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12422	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5143	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12108	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12321	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5141	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12642	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13869	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11537	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11537	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11776	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11351	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11544	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11176	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11534	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11546	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12383	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5137	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5137	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11242	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11783	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12644	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12647	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13869	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 476	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  ℤcz 12609  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fl 13845

This theorem is used by:  ex-ceil  30836  ppivalnn4  48420