Theorem ex-fl 27766

Description: Example for df-fl 12804. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10295	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11354	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11529	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11349	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10301	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11452	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4832	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11384	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11348	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11200	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 221	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10416	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11454	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11444	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4838	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 462	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11154	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1585	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 222	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11337	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4836	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 11657	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 12828	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 683	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 702	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10598	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10598	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 10828	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 221	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10416	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10605	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10595	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 683	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10607	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 6854	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11407	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 4832	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 4832	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10311	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 10835	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 221	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 11659	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 11662	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 12828	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 683	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 702	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 462	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4811  ‘cfv 6070  (class class class)co 6844  ℂcc 10189  ℝcr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330   ≤ cle 10331   − cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  2c2 11329  3c3 11330  4c4 11331  ℤcz 11626  ⌊cfl 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fl 12804

This theorem is referenced by:  ex-ceil  27767