Theorem ex-fl 28712

Description: Example for df-fl 13440. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11983	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12152	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10911	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12075	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5091	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12006	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11825	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11028	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12077	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12067	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5097	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11780	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1459	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11966	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5095	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12280	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13464	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 707	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11212	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11212	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11449	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11028	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11219	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11221	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12029	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5091	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5091	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10921	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11456	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12285	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13464	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 707	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  ℤcz 12249  ⌊cfl 13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  ex-ceil  28713