MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 30466
Description: Example for df-fl 13832. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 11261 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 12346 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 12515 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mullidi 11266 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 12438 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 5164 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 12369 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 12340 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 12188 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 230 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 11384 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 12440 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 12430 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 5170 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 12143 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1463 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 231 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 12329 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 5168 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 12647 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13856 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 692 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 711 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 11570 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 11570 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11807 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 230 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 11384 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 11577 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 11567 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 692 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 11579 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7441 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2765 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 12392 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 5164 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 5164 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 11276 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11814 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 230 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 12649 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 12652 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13856 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 692 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 711 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 470 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  cz 12613  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  ex-ceil  30467
  Copyright terms: Public domain W3C validator