Theorem ex-fl 30329

Description: Example for df-fl 13793. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11246	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12325	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12494	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11251	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5170	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12167	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11369	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12419	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12409	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5176	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12122	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12308	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5174	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12625	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13817	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11553	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11553	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11790	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11369	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11560	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11198	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11550	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11562	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12371	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5170	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5170	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11261	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11797	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12630	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13817	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 469	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℤcz 12591  ⌊cfl 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fl 13793

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30330