Theorem ex-fl 30703

Description: Example for df-fl 13813. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12309	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12481	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12304	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11202	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12402	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5125	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12333	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12303	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12123	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11321	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12405	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12392	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5131	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12078	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1485	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12291	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5129	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12612	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13837	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11507	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11507	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11746	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11321	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11514	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11504	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11516	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7410	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12353	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5125	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5125	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11212	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11753	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12614	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12617	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13837	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 475	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  ℤcz 12579  ⌊cfl 13811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fl 13813

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30704  ppivalnn4  48235