Theorem ex-fl 30466

Description: Example for df-fl 13832. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12515	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11266	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12438	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5164	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12369	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12188	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11384	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12440	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12430	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5170	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12143	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12329	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5168	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12647	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13856	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11570	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11570	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11807	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11384	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11577	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11567	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11579	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12392	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5164	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5164	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11276	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11814	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 230	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12652	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13856	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  ℤcz 12613  ⌊cfl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30467