Theorem ex-fl 27910

Description: Example for df-fl 13012. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10490	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11567	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11736	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11562	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10495	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11659	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4985	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11590	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11561	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11410	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 231	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10612	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11661	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11651	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4991	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11365	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1453	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 232	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11550	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4989	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 11862	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13036	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 707	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10797	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10797	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11034	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 231	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10612	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10804	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10444	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10794	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10806	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7029	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2818	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11613	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 4985	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 4985	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10505	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11041	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 231	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 11864	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 11867	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13036	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 707	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 471	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℂcc 10384  ℝcr 10385  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391   < clt 10524   ≤ cle 10525   − cmin 10719  -cneg 10720   / cdiv 11147  2c2 11542  3c3 11543  4c4 11544  ℤcz 11831  ⌊cfl 13010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fl 13012

This theorem is referenced by:  ex-ceil  27911