Theorem ex-fl 30383

Description: Example for df-fl 13761. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11181	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12273	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12438	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11186	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12360	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5131	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12296	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12267	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12110	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11304	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12362	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12352	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5137	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12065	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12256	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5135	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12570	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13785	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11490	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11490	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11729	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11304	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11497	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11487	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11499	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12314	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5131	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5131	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11196	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11736	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 230	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12572	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12575	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13785	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30384