Theorem ex-fl 29689

Description: Example for df-fl 13753. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11210	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12288	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12457	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11215	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12380	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5168	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12311	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12130	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 229	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11333	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12382	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12372	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5174	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12085	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12271	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5172	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12588	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13777	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11517	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11517	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11754	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 229	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11333	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11524	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11514	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11526	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12334	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5168	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5168	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11225	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11761	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 229	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12590	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12593	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13777	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 471	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  ℤcz 12554  ⌊cfl 13751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fl 13753

This theorem is referenced by:  ex-ceil  29690