MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 28153
Description: Example for df-fl 13150. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 10629 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 11705 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11874 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11797 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 5078 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 11728 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 11548 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 231 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10751 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11799 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11789 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 5084 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 471 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 11503 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1452 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 232 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 11688 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 5082 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 12000 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13174 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 688 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 707 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10935 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10935 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11172 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 231 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10751 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10942 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10932 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 688 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10944 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7155 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2841 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11751 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 5078 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 5078 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 10644 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11179 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 231 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 12002 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 12005 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13174 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 688 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 707 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 471 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  cz 11969  cfl 13148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13150
This theorem is referenced by:  ex-ceil  28154
  Copyright terms: Public domain W3C validator