Theorem ex-fl 30595

Description: Example for df-fl 13799. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11178	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12295	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12467	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11184	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12388	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5120	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12319	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12289	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12109	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 232	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11303	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12391	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12378	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5126	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12064	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1481	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12277	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5124	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12598	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13823	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 721	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11489	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11489	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11728	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 232	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11303	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11496	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11128	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11486	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11498	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7402	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12339	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5120	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5120	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11194	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11735	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 232	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12600	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12603	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13823	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 721	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 474	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  ℤcz 12565  ⌊cfl 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fl 13799

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30596  ppivalnn4  48200