MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 30522
Description: Example for df-fl 13712. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 11132 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 12225 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 12390 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 12220 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mullidi 11137 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 12312 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 5119 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 12248 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 12219 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 12062 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 230 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 11256 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 12314 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 12304 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 5125 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 12017 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1463 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 231 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 12208 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 5123 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 12521 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13736 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 692 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 711 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 11442 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 11442 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11681 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 230 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 11256 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 11449 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 11084 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 11439 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 692 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 11451 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7368 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2759 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 12266 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 5119 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 5119 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 11147 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11688 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 230 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 12523 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 12526 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13736 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 692 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 711 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 470 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1541  wcel 2113   class class class wbr 5098  cfv 6492  (class class class)co 7358  cc 11024  cr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166  cle 11167  cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  cz 12488  cfl 13710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fl 13712
This theorem is referenced by:  ex-ceil  30523
  Copyright terms: Public domain W3C validator