Theorem ex-fl 30779

Description: Example for df-fl 13827. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11209	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12322	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12494	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11215	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12415	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5133	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12346	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12316	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12136	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11334	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12418	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12405	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5139	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12091	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12304	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5137	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12625	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13851	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11520	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11520	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11759	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11334	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11527	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11159	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11517	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11529	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12366	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5133	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5133	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11225	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11766	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12630	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13851	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 475	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  ℤcz 12592  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30780  ppivalnn4  48362