Theorem ex-fl 30935

Description: Example for df-fl 13857. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12349	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12521	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11242	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5130	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12373	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12343	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12163	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11361	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12445	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12432	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5136	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12118	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12331	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5134	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12652	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13881	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11547	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11547	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11786	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11361	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11554	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11186	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11544	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11556	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12393	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5130	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5130	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11252	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11793	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12654	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12657	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13881	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 476	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  ℤcz 12619  ⌊cfl 13855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857

This theorem is used by:  ex-ceil  30936  ppivalnn4  48538