Theorem ex-fl 30532

Description: Example for df-fl 13742. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12252	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12417	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12247	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11141	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5107	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12275	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12067	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11260	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12341	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12331	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5113	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12022	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12235	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5111	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13766	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11446	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11446	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11685	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11260	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11453	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11443	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 11455	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12293	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5107	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5107	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11151	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11692	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 230	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12550	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12553	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13766	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  ex-ceil  30533  ppivalnn4  48102