Theorem ex-fl 31081

Description: Example for df-fl 13962. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11338	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12625	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 12448	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mullidi 11344	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 12546	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5130	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 12477	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 12447	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 12267	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 11463	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 12549	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12536	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5136	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 12222	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 12435	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5134	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12756	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13986	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 11649	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 11649	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11890	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 11463	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 11656	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 11288	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 11646	. . . . . . 7 ⊢ (( -2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -( -2 + 1) = ( - -2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ -( -2 + 1) = ( - -2 − 1)
36	4	negnegi 11658	. . . . . . 7 ⊢ - -2 = 2
37	36	oveq1i 7456	. . . . . 6 ⊢ ( - -2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ -( -2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 12497	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5130	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5130	. . . 4 ⊢ -( -2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 11354	. . . . 5 ⊢ ( -2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11897	. . . 4 ⊢ ( -( -2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < ( -2 + 1))
44	41, 43	mpbi 233	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < ( -2 + 1)
45		2z 12758	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12761	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13986	. . . 4 ⊢ (( -(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 ↔ ( -2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < ( -2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 ↔ ( -2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < ( -2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 476	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   − cmin 11571   -cneg 11572   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  ℤcz 12723  ⌊cfl 13960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fl 13962

This theorem is used by:  ex-ceil  31082  ppivalnn4  48927