MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 29433
Description: Example for df-fl 13704. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 12240 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 12409 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 12235 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 12332 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 5131 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 12263 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 12082 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 229 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 11285 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 12334 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 12324 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 5137 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 472 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 12037 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1462 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 230 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 12223 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 5135 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 12540 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 13728 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 691 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 710 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 11469 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 11469 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 11706 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 229 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 11285 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 11476 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 11466 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 691 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 11478 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 7372 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2765 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 12286 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 5131 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 5131 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 11177 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 11713 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 229 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 12545 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 13728 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 691 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 710 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 472 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  cz 12506  cfl 13702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fl 13704
This theorem is referenced by:  ex-ceil  29434
  Copyright terms: Public domain W3C validator