MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 26692
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for ๐พ = 23 and ๐‘ = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...๐พ to 1...๐‘ are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
birthday.k ๐พ = 23
birthday.n ๐‘ = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐พ   ๐‘“,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“)   ๐‘‡(๐‘“)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 ๐พ = 23
2 2nn0 12494 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
3 3nn0 12495 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12697 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2828 . . 3 ๐พ โˆˆ โ„•0
6 birthday.n . . . 4 ๐‘ = 365
7 6nn0 12498 . . . . . 6 6 โˆˆ โ„•0
83, 7deccl 12697 . . . . 5 36 โˆˆ โ„•0
9 5nn 12303 . . . . 5 5 โˆˆ โ„•
108, 9decnncl 12702 . . . 4 365 โˆˆ โ„•
116, 10eqeltri 2828 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•
12 birthday.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
13 birthday.t . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
1412, 13birthdaylem3 26691 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)))
155, 11, 14mp2an 689 . 2 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘))
16 log2ub 26687 . . . . . 6 (logโ€˜2) < (253 / 365)
175nn0cni 12489 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14149 . . . . . . . . . . 11 (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ)
1917mulridi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ ยท 1) = ๐พ
2019eqcomi 2740 . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (๐พ ยท 1)
2118, 20oveq12i 7424 . . . . . . . . . 10 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
22 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
2317, 17, 22subdii 11668 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
2421, 23eqtr4i 2762 . . . . . . . . 9 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1))
2524oveq1i 7422 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2)
2617, 22subcli 11541 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
27 2cn 12292 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
28 2ne0 12321 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
2917, 26, 27, 28divassi 11975 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2) = (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2))
30 1nn0 12493 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
312, 2deccl 12697 . . . . . . . . . . . . 13 22 โˆˆ โ„•0
3231nn0cni 12489 . . . . . . . . . . . 12 22 โˆˆ โ„‚
33 2p1e3 12359 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
34 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
352, 2, 33, 34decsuc 12713 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 1) = 23
361, 35eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (22 + 1)
3732, 22, 36mvrraddi 11482 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆ’ 1) = 22
3837oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = (22 / 2)
39211multnc 12750 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 11) = 22
4030, 30deccl 12697 . . . . . . . . . . . . 13 11 โˆˆ โ„•0
4140nn0cni 12489 . . . . . . . . . . . 12 11 โˆˆ โ„‚
4232, 27, 41, 28divmuli 11973 . . . . . . . . . . 11 ((22 / 2) = 11 โ†” (2 ยท 11) = 22)
4339, 42mpbir 230 . . . . . . . . . 10 (22 / 2) = 11
4438, 43eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = 11
4519, 1eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท 1) = 23
46 3p2e5 12368 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
472, 3, 2, 45, 46decaddi 12742 . . . . . . . . 9 ((๐พ ยท 1) + 2) = 25
485, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45decmul2c 12748 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) = 253
4925, 29, 483eqtri 2763 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = 253
5049, 6oveq12i 7424 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) = (253 / 365)
5116, 50breqtrri 5176 . . . . 5 (logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)
52 2rp 12984 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
53 relogcl 26317 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
55 5nn0 12497 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
562, 55deccl 12697 . . . . . . . . . 10 25 โˆˆ โ„•0
5756, 3deccl 12697 . . . . . . . . 9 253 โˆˆ โ„•0
5849, 57eqeltri 2828 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„•0
5958nn0rei 12488 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„
60 nndivre 12258 . . . . . . 7 (((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6159, 11, 60mp2an 689 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6254, 61ltnegi 11763 . . . . 5 ((logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โ†” -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2))
6351, 62mpbi 229 . . . 4 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2)
6461renegcli 11526 . . . . 5 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6554renegcli 11526 . . . . 5 -(logโ€˜2) โˆˆ โ„
66 eflt 16065 . . . . 5 ((-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -(logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))))
6764, 65, 66mp2an 689 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2)))
6863, 67mpbi 229 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))
6954recni 11233 . . . . 5 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
70 efneg 16046 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2)))
72 reeflog 26322 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
7352, 72ax-mp 5 . . . . 5 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
7473oveq2i 7423 . . . 4 (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))) = (1 / 2)
7571, 74eqtri 2759 . . 3 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / 2)
7668, 75breqtri 5174 . 2 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)
7712, 13birthdaylem1 26689 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…))
7877simp2i 1139 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ Fin
7977simp1i 1138 . . . . . . 7 ๐‘‡ โŠ† ๐‘†
80 ssfi 9176 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Fin)
8178, 79, 80mp2an 689 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ Fin
82 hashcl 14321 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0)
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0
8483nn0rei 12488 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
8577simp3i 1140 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)
8611, 85ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โ‰  โˆ…
87 hashnncl 14331 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…))
8878, 87ax-mp 5 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…)
8986, 88mpbir 230 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•
90 nndivre 12258 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
9184, 89, 90mp2an 689 . . 3 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„
92 reefcl 16035 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
9364, 92ax-mp 5 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„
94 halfre 12431 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
9591, 93, 94lelttri 11346 . 2 ((((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆง (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2))
9615, 76, 95mp2an 689 1 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708   โ‰  wne 2939   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  5c5 12275  6c6 12276  โ„•0cn0 12477  cdc 12682  โ„+crp 12979  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295  expce 16010  logclog 26296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-atan 26605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator