Theorem birthday 26871

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12467	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 12470	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 12279	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 12676	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 26870	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 692	. 2 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 26866	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulridi 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 11945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	2, 2	deccl 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;22 ∈ ℂ
33		2p1e3 12330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
34		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
35	2, 2, 33, 34	decsuc 12687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 1) = ;23
36	1, 35	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
37	32, 22, 36	mvrraddi 11445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
38	37	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
39	2	11multnc 12724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ;11) = ;22
40	30, 30	deccl 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	32, 27, 41, 28	divmuli 11943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
43	39, 42	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 / 2) = ;11
44	38, 43	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
45	19, 1	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
46		3p2e5 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
47	2, 3, 2, 45, 46	decaddi 12716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
48	5, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45	decmul2c 12722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
49	25, 29, 48	3eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
50	49, 6	oveq12i 7402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
51	16, 50	breqtrri 5137	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52		2rp 12963	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
53		relogcl 26491	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
55		5nn0 12469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
56	2, 55	deccl 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
57	56, 3	deccl 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
58	49, 57	eqeltri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
59	58	nn0rei 12460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60		nndivre 12234	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
61	59, 11, 60	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
62	54, 61	ltnegi 11729	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
63	51, 62	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
64	61	renegcli 11490	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
65	54	renegcli 11490	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
66		eflt 16092	. . . . 5 ⊢ ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
67	64, 65, 66	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
68	63, 67	mpbi 230	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
69	54	recni 11195	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
70		efneg 16073	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72		reeflog 26496	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
73	52, 72	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
74	73	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
75	71, 74	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
76	68, 75	breqtri 5135	. 2 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
77	12, 13	birthdaylem1 26868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
78	77	simp2i 1140	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
79	77	simp1i 1139	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
80		ssfi 9143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
81	78, 79, 80	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
82		hashcl 14328	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
84	83	nn0rei 12460	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℝ
85	77	simp3i 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
86	11, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
87		hashnncl 14338	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
88	78, 87	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
89	86, 88	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90		nndivre 12234	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
91	84, 89, 90	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92		reefcl 16060	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
93	64, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94		halfre 12402	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
95	91, 93, 94	lelttri 11308	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
96	15, 76, 95	mp2an 692	1 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  5c5 12251  6c6 12252  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  ♯chash 14302  expce 16034  logclog 26470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-ulm 26293  df-log 26472  df-atan 26784

This theorem is referenced by: (None)