Theorem birthday 27282

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 12623	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12624	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 12429	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 12838	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 27281	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 705	. 2 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 27277	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulridi 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 11634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 12073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	2, 2	deccl 12829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;22 ∈ ℂ
33		2p1e3 12484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
34		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
35	2, 2, 33, 34	decsuc 12850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 1) = ;23
36	1, 35	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
37	32, 22, 36	mvrraddi 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
38	37	oveq1i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
39	2	11multnc 12887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ;11) = ;22
40	30, 30	deccl 12829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	32, 27, 41, 28	divmuli 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
43	39, 42	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 / 2) = ;11
44	38, 43	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
45	19, 1	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
46		3p2e5 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
47	2, 3, 2, 45, 46	decaddi 12879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
48	5, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45	decmul2c 12885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
49	25, 29, 48	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
50	49, 6	oveq12i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
51	16, 50	breqtrri 5131	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52		2rp 13125	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
53		relogcl 26903	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
55		5nn0 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
56	2, 55	deccl 12829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
57	56, 3	deccl 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
58	49, 57	eqeltri 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
59	58	nn0rei 12617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60		nndivre 12379	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
61	59, 11, 60	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
62	54, 61	ltnegi 11860	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
63	51, 62	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
64	61	renegcli 11619	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
65	54	renegcli 11619	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
66		eflt 16285	. . . . 5 ⊢ (( -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → ( -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘ -(log‘2))))
67	64, 65, 66	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ( -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘ -(log‘2)))
68	63, 67	mpbi 233	. . 3 ⊢ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘ -(log‘2))
69	54	recni 11323	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
70		efneg 16266	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘ -(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘ -(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72		reeflog 26908	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
73	52, 72	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
74	73	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
75	71, 74	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (exp‘ -(log‘2)) = (1 / 2)
76	68, 75	breqtri 5129	. 2 ⊢ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
77	12, 13	birthdaylem1 27279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
78	77	simp2i 1158	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
79	77	simp1i 1157	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
80		ssfi 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
81	78, 79, 80	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
82		hashcl 14500	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
84	83	nn0rei 12617	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℝ
85	77	simp3i 1159	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
86	11, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
87		hashnncl 14510	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
88	78, 87	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
89	86, 88	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90		nndivre 12379	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
91	84, 89, 90	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92		reefcl 16253	. . . 4 ⊢ ( -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
93	64, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94		halfre 12559	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
95	91, 93, 94	lelttri 11437	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
96	15, 76, 95	mp2an 705	1 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  6c6 12401  ℕ₀cn0 12606  ;cdc 12814  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  expce 16227  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-ulm 26704  df-log 26884  df-atan 27195

This theorem is used by: (None)