Theorem birthday 26939

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 12449	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12450	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12654	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12654	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 12262	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 12659	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 26938	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 699	. 2 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 26934	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulridi 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 11092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 11466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	2, 2	deccl 12654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;22 ∈ ℂ
33		2p1e3 12313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
34		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
35	2, 2, 33, 34	decsuc 12670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 1) = ;23
36	1, 35	eqtr4i 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
37	32, 22, 36	mvrraddi 11406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
38	37	oveq1i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
39	2	11multnc 12707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ;11) = ;22
40	30, 30	deccl 12654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	32, 27, 41, 28	divmuli 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
43	39, 42	mpbir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 / 2) = ;11
44	38, 43	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
45	19, 1	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
46		3p2e5 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
47	2, 3, 2, 45, 46	decaddi 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
48	5, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45	decmul2c 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
49	25, 29, 48	3eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
50	49, 6	oveq12i 7371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
51	16, 50	breqtrri 5101	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52		2rp 12942	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
53		relogcl 26560	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
55		5nn0 12452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
56	2, 55	deccl 12654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
57	56, 3	deccl 12654	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
58	49, 57	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
59	58	nn0rei 12443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60		nndivre 12213	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
61	59, 11, 60	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
62	54, 61	ltnegi 11690	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
63	51, 62	mpbi 232	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
64	61	renegcli 11451	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
65	54	renegcli 11451	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
66		eflt 16079	. . . . 5 ⊢ ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
67	64, 65, 66	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
68	63, 67	mpbi 232	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
69	54	recni 11155	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
70		efneg 16060	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72		reeflog 26565	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
73	52, 72	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
74	73	oveq2i 7370	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
75	71, 74	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
76	68, 75	breqtri 5099	. 2 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
77	12, 13	birthdaylem1 26936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
78	77	simp2i 1147	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
79	77	simp1i 1146	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
80		ssfi 9101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
81	78, 79, 80	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
82		hashcl 14313	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
84	83	nn0rei 12443	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℝ
85	77	simp3i 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
86	11, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
87		hashnncl 14323	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
88	78, 87	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
89	86, 88	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90		nndivre 12213	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
91	84, 89, 90	mp2an 699	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92		reefcl 16047	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
93	64, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94		halfre 12385	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
95	91, 93, 94	lelttri 11269	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
96	15, 76, 95	mp2an 699	1 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719   ≠ wne 2936   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Fincfn 8887  ℂcc 11032  ℝcr 11033  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  -cneg 11374   / cdiv 11803  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  6c6 12235  ℕ₀cn0 12432  ;cdc 12639  ℝ⁺crp 12937  ...cfz 13456  ↑cexp 14018  ♯chash 14287  expce 16021  logclog 26539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-tan 16031  df-pi 16032  df-dvds 16217  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-cmp 23373  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cncf 24866  df-limc 25854  df-dv 25855  df-ulm 26363  df-log 26541  df-atan 26852

This theorem is referenced by: (None)