MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 26448
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for ๐พ = 23 and ๐‘ = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...๐พ to 1...๐‘ are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
birthday.k ๐พ = 23
birthday.n ๐‘ = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐พ   ๐‘“,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“)   ๐‘‡(๐‘“)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 ๐พ = 23
2 2nn0 12485 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
3 3nn0 12486 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12688 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2829 . . 3 ๐พ โˆˆ โ„•0
6 birthday.n . . . 4 ๐‘ = 365
7 6nn0 12489 . . . . . 6 6 โˆˆ โ„•0
83, 7deccl 12688 . . . . 5 36 โˆˆ โ„•0
9 5nn 12294 . . . . 5 5 โˆˆ โ„•
108, 9decnncl 12693 . . . 4 365 โˆˆ โ„•
116, 10eqeltri 2829 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•
12 birthday.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
13 birthday.t . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
1412, 13birthdaylem3 26447 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)))
155, 11, 14mp2an 690 . 2 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘))
16 log2ub 26443 . . . . . 6 (logโ€˜2) < (253 / 365)
175nn0cni 12480 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14140 . . . . . . . . . . 11 (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ)
1917mulridi 11214 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ ยท 1) = ๐พ
2019eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (๐พ ยท 1)
2118, 20oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
22 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
2317, 17, 22subdii 11659 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
2421, 23eqtr4i 2763 . . . . . . . . 9 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1))
2524oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2)
2617, 22subcli 11532 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
27 2cn 12283 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
28 2ne0 12312 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
2917, 26, 27, 28divassi 11966 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2) = (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2))
30 1nn0 12484 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
312, 2deccl 12688 . . . . . . . . . . . . 13 22 โˆˆ โ„•0
3231nn0cni 12480 . . . . . . . . . . . 12 22 โˆˆ โ„‚
33 2p1e3 12350 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
352, 2, 33, 34decsuc 12704 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 1) = 23
361, 35eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (22 + 1)
3732, 22, 36mvrraddi 11473 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆ’ 1) = 22
3837oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = (22 / 2)
39211multnc 12741 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 11) = 22
4030, 30deccl 12688 . . . . . . . . . . . . 13 11 โˆˆ โ„•0
4140nn0cni 12480 . . . . . . . . . . . 12 11 โˆˆ โ„‚
4232, 27, 41, 28divmuli 11964 . . . . . . . . . . 11 ((22 / 2) = 11 โ†” (2 ยท 11) = 22)
4339, 42mpbir 230 . . . . . . . . . 10 (22 / 2) = 11
4438, 43eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = 11
4519, 1eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท 1) = 23
46 3p2e5 12359 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
472, 3, 2, 45, 46decaddi 12733 . . . . . . . . 9 ((๐พ ยท 1) + 2) = 25
485, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45decmul2c 12739 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) = 253
4925, 29, 483eqtri 2764 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = 253
5049, 6oveq12i 7417 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) = (253 / 365)
5116, 50breqtrri 5174 . . . . 5 (logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)
52 2rp 12975 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
53 relogcl 26075 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
55 5nn0 12488 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
562, 55deccl 12688 . . . . . . . . . 10 25 โˆˆ โ„•0
5756, 3deccl 12688 . . . . . . . . 9 253 โˆˆ โ„•0
5849, 57eqeltri 2829 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„•0
5958nn0rei 12479 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„
60 nndivre 12249 . . . . . . 7 (((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6159, 11, 60mp2an 690 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6254, 61ltnegi 11754 . . . . 5 ((logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โ†” -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2))
6351, 62mpbi 229 . . . 4 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2)
6461renegcli 11517 . . . . 5 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6554renegcli 11517 . . . . 5 -(logโ€˜2) โˆˆ โ„
66 eflt 16056 . . . . 5 ((-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -(logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))))
6764, 65, 66mp2an 690 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2)))
6863, 67mpbi 229 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))
6954recni 11224 . . . . 5 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
70 efneg 16037 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2)))
72 reeflog 26080 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
7352, 72ax-mp 5 . . . . 5 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
7473oveq2i 7416 . . . 4 (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))) = (1 / 2)
7571, 74eqtri 2760 . . 3 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / 2)
7668, 75breqtri 5172 . 2 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)
7712, 13birthdaylem1 26445 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…))
7877simp2i 1140 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ Fin
7977simp1i 1139 . . . . . . 7 ๐‘‡ โŠ† ๐‘†
80 ssfi 9169 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Fin)
8178, 79, 80mp2an 690 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ Fin
82 hashcl 14312 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0)
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0
8483nn0rei 12479 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
8577simp3i 1141 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)
8611, 85ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โ‰  โˆ…
87 hashnncl 14322 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…))
8878, 87ax-mp 5 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…)
8986, 88mpbir 230 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•
90 nndivre 12249 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
9184, 89, 90mp2an 690 . . 3 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„
92 reefcl 16026 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
9364, 92ax-mp 5 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„
94 halfre 12422 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
9591, 93, 94lelttri 11337 . 2 ((((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆง (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2))
9615, 76, 95mp2an 690 1 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โŸถwf 6536  โ€“1-1โ†’wf1 6537  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  5c5 12266  6c6 12267  โ„•0cn0 12468  cdc 12673  โ„+crp 12970  ...cfz 13480  โ†‘cexp 14023  โ™ฏchash 14286  expce 16001  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-atan 26361
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator