MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 26466
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for ๐พ = 23 and ๐‘ = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...๐พ to 1...๐‘ are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
birthday.k ๐พ = 23
birthday.n ๐‘ = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐พ   ๐‘“,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“)   ๐‘‡(๐‘“)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 ๐พ = 23
2 2nn0 12491 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
3 3nn0 12492 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12694 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2829 . . 3 ๐พ โˆˆ โ„•0
6 birthday.n . . . 4 ๐‘ = 365
7 6nn0 12495 . . . . . 6 6 โˆˆ โ„•0
83, 7deccl 12694 . . . . 5 36 โˆˆ โ„•0
9 5nn 12300 . . . . 5 5 โˆˆ โ„•
108, 9decnncl 12699 . . . 4 365 โˆˆ โ„•
116, 10eqeltri 2829 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•
12 birthday.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
13 birthday.t . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
1412, 13birthdaylem3 26465 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)))
155, 11, 14mp2an 690 . 2 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘))
16 log2ub 26461 . . . . . 6 (logโ€˜2) < (253 / 365)
175nn0cni 12486 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14146 . . . . . . . . . . 11 (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ)
1917mulridi 11220 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ ยท 1) = ๐พ
2019eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (๐พ ยท 1)
2118, 20oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
22 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
2317, 17, 22subdii 11665 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
2421, 23eqtr4i 2763 . . . . . . . . 9 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1))
2524oveq1i 7421 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2)
2617, 22subcli 11538 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
27 2cn 12289 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
28 2ne0 12318 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
2917, 26, 27, 28divassi 11972 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2) = (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2))
30 1nn0 12490 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
312, 2deccl 12694 . . . . . . . . . . . . 13 22 โˆˆ โ„•0
3231nn0cni 12486 . . . . . . . . . . . 12 22 โˆˆ โ„‚
33 2p1e3 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
352, 2, 33, 34decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 1) = 23
361, 35eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (22 + 1)
3732, 22, 36mvrraddi 11479 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆ’ 1) = 22
3837oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = (22 / 2)
39211multnc 12747 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 11) = 22
4030, 30deccl 12694 . . . . . . . . . . . . 13 11 โˆˆ โ„•0
4140nn0cni 12486 . . . . . . . . . . . 12 11 โˆˆ โ„‚
4232, 27, 41, 28divmuli 11970 . . . . . . . . . . 11 ((22 / 2) = 11 โ†” (2 ยท 11) = 22)
4339, 42mpbir 230 . . . . . . . . . 10 (22 / 2) = 11
4438, 43eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = 11
4519, 1eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท 1) = 23
46 3p2e5 12365 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
472, 3, 2, 45, 46decaddi 12739 . . . . . . . . 9 ((๐พ ยท 1) + 2) = 25
485, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45decmul2c 12745 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) = 253
4925, 29, 483eqtri 2764 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = 253
5049, 6oveq12i 7423 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) = (253 / 365)
5116, 50breqtrri 5175 . . . . 5 (logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)
52 2rp 12981 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
53 relogcl 26091 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
55 5nn0 12494 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
562, 55deccl 12694 . . . . . . . . . 10 25 โˆˆ โ„•0
5756, 3deccl 12694 . . . . . . . . 9 253 โˆˆ โ„•0
5849, 57eqeltri 2829 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„•0
5958nn0rei 12485 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„
60 nndivre 12255 . . . . . . 7 (((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6159, 11, 60mp2an 690 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6254, 61ltnegi 11760 . . . . 5 ((logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โ†” -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2))
6351, 62mpbi 229 . . . 4 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2)
6461renegcli 11523 . . . . 5 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6554renegcli 11523 . . . . 5 -(logโ€˜2) โˆˆ โ„
66 eflt 16062 . . . . 5 ((-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -(logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))))
6764, 65, 66mp2an 690 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2)))
6863, 67mpbi 229 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))
6954recni 11230 . . . . 5 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
70 efneg 16043 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2)))
72 reeflog 26096 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
7352, 72ax-mp 5 . . . . 5 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
7473oveq2i 7422 . . . 4 (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))) = (1 / 2)
7571, 74eqtri 2760 . . 3 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / 2)
7668, 75breqtri 5173 . 2 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)
7712, 13birthdaylem1 26463 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…))
7877simp2i 1140 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ Fin
7977simp1i 1139 . . . . . . 7 ๐‘‡ โŠ† ๐‘†
80 ssfi 9175 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Fin)
8178, 79, 80mp2an 690 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ Fin
82 hashcl 14318 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0)
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0
8483nn0rei 12485 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
8577simp3i 1141 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)
8611, 85ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โ‰  โˆ…
87 hashnncl 14328 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…))
8878, 87ax-mp 5 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…)
8986, 88mpbir 230 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•
90 nndivre 12255 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
9184, 89, 90mp2an 690 . . 3 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„
92 reefcl 16032 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
9364, 92ax-mp 5 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„
94 halfre 12428 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
9591, 93, 94lelttri 11343 . 2 ((((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆง (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2))
9615, 76, 95mp2an 690 1 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  6c6 12273  โ„•0cn0 12474  cdc 12679  โ„+crp 12976  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  โ™ฏchash 14292  expce 16007  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-atan 26379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator