Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 25538
 Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k 𝐾 = 23
birthday.n 𝑁 = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 𝐾 = 23
2 2nn0 11902 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3 3nn0 11903 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . 4 23 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2910 . . 3 𝐾 ∈ ℕ0
6 birthday.n . . . 4 𝑁 = 365
7 6nn0 11906 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
83, 7deccl 12101 . . . . 5 36 ∈ ℕ0
9 5nn 11711 . . . . 5 5 ∈ ℕ
108, 9decnncl 12106 . . . 4 365 ∈ ℕ
116, 10eqeltri 2910 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
12 birthday.s . . . 4 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13 birthday.t . . . 4 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
1412, 13birthdaylem3 25537 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
155, 11, 14mp2an 691 . 2 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16 log2ub 25533 . . . . . 6 (log‘2) < (253 / 365)
175nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
1817sqvali 13539 . . . . . . . . . . 11 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
1917mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · 1) = 𝐾
2019eqcomi 2831 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝐾 · 1)
2118, 20oveq12i 7152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
2317, 17, 22subdii 11078 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
2421, 23eqtr4i 2848 . . . . . . . . 9 ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
2524oveq1i 7150 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
2617, 22subcli 10951 . . . . . . . . 9 (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
28 2ne0 11729 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
2917, 26, 27, 28divassi 11385 . . . . . . . 8 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30 1nn0 11901 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
312, 2deccl 12101 . . . . . . . . . . . . 13 22 ∈ ℕ0
3231nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . 12 22 ∈ ℂ
33 2p1e3 11767 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
34 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
352, 2, 33, 34decsuc 12117 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 1) = 23
361, 35eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (22 + 1)
3732, 22, 36mvrraddi 10892 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 − 1) = 22
3837oveq1i 7150 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 − 1) / 2) = (22 / 2)
39211multnc 12154 . . . . . . . . . . 11 (2 · 11) = 22
4030, 30deccl 12101 . . . . . . . . . . . . 13 11 ∈ ℕ0
4140nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℂ
4232, 27, 41, 28divmuli 11383 . . . . . . . . . . 11 ((22 / 2) = 11 ↔ (2 · 11) = 22)
4339, 42mpbir 234 . . . . . . . . . 10 (22 / 2) = 11
4438, 43eqtri 2845 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) / 2) = 11
4519, 1eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · 1) = 23
46 3p2e5 11776 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
472, 3, 2, 45, 46decaddi 12146 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · 1) + 2) = 25
485, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45decmul2c 12152 . . . . . . . 8 (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = 253
4925, 29, 483eqtri 2849 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = 253
5049, 6oveq12i 7152 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (253 / 365)
5116, 50breqtrri 5069 . . . . 5 (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52 2rp 12382 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
53 relogcl 25165 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
55 5nn0 11905 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
562, 55deccl 12101 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
5756, 3deccl 12101 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
5849, 57eqeltri 2910 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
5958nn0rei 11896 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60 nndivre 11666 . . . . . . 7 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
6159, 11, 60mp2an 691 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
6254, 61ltnegi 11173 . . . . 5 ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
6351, 62mpbi 233 . . . 4 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
6461renegcli 10936 . . . . 5 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
6554renegcli 10936 . . . . 5 -(log‘2) ∈ ℝ
66 eflt 15461 . . . . 5 ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
6764, 65, 66mp2an 691 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
6863, 67mpbi 233 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
6954recni 10644 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
70 efneg 15442 . . . . 5 ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72 reeflog 25170 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
7352, 72ax-mp 5 . . . . 5 (exp‘(log‘2)) = 2
7473oveq2i 7151 . . . 4 (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
7571, 74eqtri 2845 . . 3 (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
7668, 75breqtri 5067 . 2 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
7712, 13birthdaylem1 25535 . . . . . . . 8 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
7877simp2i 1137 . . . . . . 7 𝑆 ∈ Fin
7977simp1i 1136 . . . . . . 7 𝑇𝑆
80 ssfi 8726 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
8178, 79, 80mp2an 691 . . . . . 6 𝑇 ∈ Fin
82 hashcl 13713 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
8483nn0rei 11896 . . . 4 (♯‘𝑇) ∈ ℝ
8577simp3i 1138 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
8611, 85ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ≠ ∅
87 hashnncl 13723 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
8878, 87ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
8986, 88mpbir 234 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90 nndivre 11666 . . . 4 (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
9184, 89, 90mp2an 691 . . 3 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92 reefcl 15431 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
9364, 92ax-mp 5 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94 halfre 11839 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
9591, 93, 94lelttri 10756 . 2 ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
9615, 76, 95mp2an 691 1 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {cab 2800   ≠ wne 3011   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265   class class class wbr 5042  ⟶wf 6330  –1-1→wf1 6331  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  5c5 11683  6c6 11684  ℕ0cn0 11885  ;cdc 12086  ℝ+crp 12377  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  ♯chash 13686  expce 15406  logclog 25144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970  df-log 25146  df-atan 25451 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator