MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 26320
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for ๐พ = 23 and ๐‘ = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...๐พ to 1...๐‘ are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
birthday.k ๐พ = 23
birthday.n ๐‘ = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐พ   ๐‘“,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“)   ๐‘‡(๐‘“)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 ๐พ = 23
2 2nn0 12437 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
3 3nn0 12438 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•0
42, 3deccl 12640 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
51, 4eqeltri 2834 . . 3 ๐พ โˆˆ โ„•0
6 birthday.n . . . 4 ๐‘ = 365
7 6nn0 12441 . . . . . 6 6 โˆˆ โ„•0
83, 7deccl 12640 . . . . 5 36 โˆˆ โ„•0
9 5nn 12246 . . . . 5 5 โˆˆ โ„•
108, 9decnncl 12645 . . . 4 365 โˆˆ โ„•
116, 10eqeltri 2834 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„•
12 birthday.s . . . 4 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
13 birthday.t . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
1412, 13birthdaylem3 26319 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)))
155, 11, 14mp2an 691 . 2 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘))
16 log2ub 26315 . . . . . 6 (logโ€˜2) < (253 / 365)
175nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14091 . . . . . . . . . . 11 (๐พโ†‘2) = (๐พ ยท ๐พ)
1917mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ ยท 1) = ๐พ
2019eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (๐พ ยท 1)
2118, 20oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
22 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
2317, 17, 22subdii 11611 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐พ ยท ๐พ) โˆ’ (๐พ ยท 1))
2421, 23eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 ((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) = (๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1))
2524oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2)
2617, 22subcli 11484 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
27 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
28 2ne0 12264 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
2917, 26, 27, 28divassi 11918 . . . . . . . 8 ((๐พ ยท (๐พ โˆ’ 1)) / 2) = (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2))
30 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
312, 2deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 22 โˆˆ โ„•0
3231nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . 12 22 โˆˆ โ„‚
33 2p1e3 12302 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
352, 2, 33, 34decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 1) = 23
361, 35eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (22 + 1)
3732, 22, 36mvrraddi 11425 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆ’ 1) = 22
3837oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = (22 / 2)
39211multnc 12693 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 11) = 22
4030, 30deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 11 โˆˆ โ„•0
4140nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . 12 11 โˆˆ โ„‚
4232, 27, 41, 28divmuli 11916 . . . . . . . . . . 11 ((22 / 2) = 11 โ†” (2 ยท 11) = 22)
4339, 42mpbir 230 . . . . . . . . . 10 (22 / 2) = 11
4438, 43eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆ’ 1) / 2) = 11
4519, 1eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (๐พ ยท 1) = 23
46 3p2e5 12311 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
472, 3, 2, 45, 46decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((๐พ ยท 1) + 2) = 25
485, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45decmul2c 12691 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ((๐พ โˆ’ 1) / 2)) = 253
4925, 29, 483eqtri 2769 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) = 253
5049, 6oveq12i 7374 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) = (253 / 365)
5116, 50breqtrri 5137 . . . . 5 (logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)
52 2rp 12927 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
53 relogcl 25947 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
55 5nn0 12440 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
562, 55deccl 12640 . . . . . . . . . 10 25 โˆˆ โ„•0
5756, 3deccl 12640 . . . . . . . . 9 253 โˆˆ โ„•0
5849, 57eqeltri 2834 . . . . . . . 8 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„•0
5958nn0rei 12431 . . . . . . 7 (((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„
60 nndivre 12201 . . . . . . 7 (((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„)
6159, 11, 60mp2an 691 . . . . . 6 ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6254, 61ltnegi 11706 . . . . 5 ((logโ€˜2) < ((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โ†” -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2))
6351, 62mpbi 229 . . . 4 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2)
6461renegcli 11469 . . . . 5 -((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„
6554renegcli 11469 . . . . 5 -(logโ€˜2) โˆˆ โ„
66 eflt 16006 . . . . 5 ((-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -(logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))))
6764, 65, 66mp2an 691 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) < -(logโ€˜2) โ†” (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2)))
6863, 67mpbi 229 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (expโ€˜-(logโ€˜2))
6954recni 11176 . . . . 5 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
70 efneg 15987 . . . . 5 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / (expโ€˜(logโ€˜2)))
72 reeflog 25952 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
7352, 72ax-mp 5 . . . . 5 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
7473oveq2i 7373 . . . 4 (1 / (expโ€˜(logโ€˜2))) = (1 / 2)
7571, 74eqtri 2765 . . 3 (expโ€˜-(logโ€˜2)) = (1 / 2)
7668, 75breqtri 5135 . 2 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)
7712, 13birthdaylem1 26317 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…))
7877simp2i 1141 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ Fin
7977simp1i 1140 . . . . . . 7 ๐‘‡ โŠ† ๐‘†
80 ssfi 9124 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Fin โˆง ๐‘‡ โŠ† ๐‘†) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Fin)
8178, 79, 80mp2an 691 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ Fin
82 hashcl 14263 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0)
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„•0
8483nn0rei 12431 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
8577simp3i 1142 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘† โ‰  โˆ…)
8611, 85ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โ‰  โˆ…
87 hashnncl 14273 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…))
8878, 87ax-mp 5 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘† โ‰  โˆ…)
8986, 88mpbir 230 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•
90 nndivre 12201 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
9184, 89, 90mp2an 691 . . 3 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„
92 reefcl 15976 . . . 4 (-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
9364, 92ax-mp 5 . . 3 (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆˆ โ„
94 halfre 12374 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
9591, 93, 94lelttri 11289 . 2 ((((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) โ‰ค (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) โˆง (expโ€˜-((((๐พโ†‘2) โˆ’ ๐พ) / 2) / ๐‘)) < (1 / 2)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2))
9615, 76, 95mp2an 691 1 ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714   โ‰  wne 2944   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  โŸถwf 6497  โ€“1-1โ†’wf1 6498  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  6c6 12219  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237  expce 15951  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-atan 26233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator