Theorem birthday 25540

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 11902	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 11903	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2886	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 11906	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 11711	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 12106	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2886	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 25539	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 691	. 2 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 25535	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 11897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 13539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulid1i 10634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 7147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 11078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 10951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 11385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	2, 2	deccl 12101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;22 ∈ ℂ
33		2p1e3 11767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
34		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
35	2, 2, 33, 34	decsuc 12117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 1) = ;23
36	1, 35	eqtr4i 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
37	32, 22, 36	mvrraddi 10892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
38	37	oveq1i 7145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
39	2	11multnc 12154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ;11) = ;22
40	30, 30	deccl 12101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 11897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	32, 27, 41, 28	divmuli 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
43	39, 42	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 / 2) = ;11
44	38, 43	eqtri 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
45	19, 1	eqtri 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
46		3p2e5 11776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
47	2, 3, 2, 45, 46	decaddi 12146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
48	5, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45	decmul2c 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
49	25, 29, 48	3eqtri 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
50	49, 6	oveq12i 7147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
51	16, 50	breqtrri 5057	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52		2rp 12382	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
53		relogcl 25167	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
55		5nn0 11905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
56	2, 55	deccl 12101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
57	56, 3	deccl 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
58	49, 57	eqeltri 2886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
59	58	nn0rei 11896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60		nndivre 11666	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
61	59, 11, 60	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
62	54, 61	ltnegi 11173	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
63	51, 62	mpbi 233	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
64	61	renegcli 10936	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
65	54	renegcli 10936	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
66		eflt 15462	. . . . 5 ⊢ ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
67	64, 65, 66	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
68	63, 67	mpbi 233	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
69	54	recni 10644	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
70		efneg 15443	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72		reeflog 25172	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
73	52, 72	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
74	73	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
75	71, 74	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
76	68, 75	breqtri 5055	. 2 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
77	12, 13	birthdaylem1 25537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
78	77	simp2i 1137	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
79	77	simp1i 1136	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
80		ssfi 8722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
81	78, 79, 80	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
82		hashcl 13713	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
84	83	nn0rei 11896	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℝ
85	77	simp3i 1138	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
86	11, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
87		hashnncl 13723	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
88	78, 87	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
89	86, 88	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90		nndivre 11666	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
91	84, 89, 90	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92		reefcl 15432	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
93	64, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94		halfre 11839	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
95	91, 93, 94	lelttri 10756	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
96	15, 76, 95	mp2an 691	1 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  5c5 11683  6c6 11684  ℕ₀cn0 11885  ;cdc 12086  ℝ⁺crp 12377  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  ♯chash 13686  expce 15407  logclog 25146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-ulm 24972  df-log 25148  df-atan 25453

This theorem is referenced by: (None)