Theorem birthday 26922

Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k	⊢ 𝐾 = ;23
birthday.n	⊢ 𝑁 = ;;365

Assertion

Ref	Expression
birthday	⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ;23
2		2nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		3nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12624	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
5	1, 4	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		birthday.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;;365
7		6nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12624	. . . . 5 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
9		5nn 12233	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
10	8, 9	decnncl 12629	. . . 4 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
11	6, 10	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		birthday.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13		birthday.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
14	12, 13	birthdaylem3 26921	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
15	5, 11, 14	mp2an 693	. 2 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16		log2ub 26917	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)
17	5	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
19	17	mulridi 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 · 1) = 𝐾
20	19	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝐾 · 1)
21	18, 20	oveq12i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	17, 17, 22	subdii 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
24	21, 23	eqtr4i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
25	24	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
26	17, 22	subcli 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27		2cn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	17, 26, 27, 28	divassi 11899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30		1nn0 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	2, 2	deccl 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;22 ∈ ℂ
33		2p1e3 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 1) = 3
34		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
35	2, 2, 33, 34	decsuc 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 1) = ;23
36	1, 35	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (;22 + 1)
37	32, 22, 36	mvrraddi 11399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 − 1) = ;22
38	37	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = (;22 / 2)
39	2	11multnc 12677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · ;11) = ;22
40	30, 30	deccl 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
41	40	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;11 ∈ ℂ
42	32, 27, 41, 28	divmuli 11897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;22 / 2) = ;11 ↔ (2 · ;11) = ;22)
43	39, 42	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;22 / 2) = ;11
44	38, 43	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) / 2) = ;11
45	19, 1	eqtri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 · 1) = ;23
46		3p2e5 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
47	2, 3, 2, 45, 46	decaddi 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · 1) + 2) = ;25
48	5, 30, 30, 44, 3, 2, 47, 45	decmul2c 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = ;;253
49	25, 29, 48	3eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ;;253
50	49, 6	oveq12i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (;;253 / ;;365)
51	16, 50	breqtrri 5124	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
52		2rp 12912	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
53		relogcl 26542	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
55		5nn0 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
56	2, 55	deccl 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
57	56, 3	deccl 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
58	49, 57	eqeltri 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
59	58	nn0rei 12414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
60		nndivre 12188	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
61	59, 11, 60	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
62	54, 61	ltnegi 11683	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
63	51, 62	mpbi 230	. . . 4 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
64	61	renegcli 11444	. . . . 5 ⊢ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
65	54	renegcli 11444	. . . . 5 ⊢ -(log‘2) ∈ ℝ
66		eflt 16044	. . . . 5 ⊢ ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
67	64, 65, 66	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
68	63, 67	mpbi 230	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
69	54	recni 11148	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
70		efneg 16025	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
72		reeflog 26547	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
73	52, 72	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
74	73	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
75	71, 74	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
76	68, 75	breqtri 5122	. 2 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
77	12, 13	birthdaylem1 26919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
78	77	simp2i 1141	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
79	77	simp1i 1140	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝑆
80		ssfi 9099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
81	78, 79, 80	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
82		hashcl 14281	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
84	83	nn0rei 12414	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑇) ∈ ℝ
85	77	simp3i 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
86	11, 85	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
87		hashnncl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
88	78, 87	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
89	86, 88	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ
90		nndivre 12188	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
91	84, 89, 90	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
92		reefcl 16012	. . . 4 ⊢ (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
93	64, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
94		halfre 12356	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
95	91, 93, 94	lelttri 11262	. 2 ⊢ ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
96	15, 76, 95	mp2an 693	1 ⊢ ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2713   ≠ wne 2931   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284   class class class wbr 5097  ⟶wf 6487  –1-1→wf1 6488  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  5c5 12205  6c6 12206  ℕ₀cn0 12403  ;cdc 12609  ℝ⁺crp 12907  ...cfz 13425  ↑cexp 13986  ♯chash 14255  expce 15986  logclog 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-tan 15996  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-ulm 26344  df-log 26523  df-atan 26835

This theorem is referenced by: (None)