MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthday 24895
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for 𝐾 = 23 and 𝑁 = 365, fewer than half of the set of all functions from 1...𝐾 to 1...𝑁 are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
birthday.k 𝐾 = 23
birthday.n 𝑁 = 365
Assertion
Ref Expression
birthday ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4 𝐾 = 23
2 2nn0 11509 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
3 3nn0 11510 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11712 . . . 4 23 ∈ ℕ0
51, 4eqeltri 2846 . . 3 𝐾 ∈ ℕ0
6 birthday.n . . . 4 𝑁 = 365
7 6nn0 11513 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
83, 7deccl 11712 . . . . 5 36 ∈ ℕ0
9 5nn 11388 . . . . 5 5 ∈ ℕ
108, 9decnncl 11718 . . . 4 365 ∈ ℕ
116, 10eqeltri 2846 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
12 birthday.s . . . 4 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
13 birthday.t . . . 4 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
1412, 13birthdaylem3 24894 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
155, 11, 14mp2an 672 . 2 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
16 log2ub 24890 . . . . . 6 (log‘2) < (253 / 365)
175nn0cni 11504 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
1817sqvali 13143 . . . . . . . . . . 11 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
1917mulid1i 10242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · 1) = 𝐾
2019eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝐾 · 1)
2118, 20oveq12i 6803 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) − 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
22 ax-1cn 10194 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
2317, 17, 22subdii 10679 . . . . . . . . . 10 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 · 𝐾) − (𝐾 · 1))
2421, 23eqtr4i 2796 . . . . . . . . 9 ((𝐾↑2) − 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 − 1))
2524oveq1i 6801 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2)
2617, 22subcli 10557 . . . . . . . . . 10 (𝐾 − 1) ∈ ℂ
27 2cn 11291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
28 2ne0 11313 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2917, 26, 27, 28divassi 10981 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2))
30 1nn0 11508 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 2p1e3 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
32 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 22 = 22
332, 2, 31, 32decsuc 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (22 + 1) = 23
341, 33eqtr4i 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (22 + 1)
3534oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 − 1) = ((22 + 1) − 1)
362, 2deccl 11712 . . . . . . . . . . . . . . 15 22 ∈ ℕ0
3736nn0cni 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 22 ∈ ℂ
3837, 22pncan3oi 10497 . . . . . . . . . . . . 13 ((22 + 1) − 1) = 22
3935, 38eqtri 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 − 1) = 22
4039oveq1i 6801 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 − 1) / 2) = (22 / 2)
41 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
42 0nn0 11507 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
4327mulid1i 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
4443oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + 0) = (2 + 0)
4527addid1i 10423 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 0) = 2
4644, 45eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1) + 0) = 2
472dec0h 11722 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = 02
4843, 47eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 02
492, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48decmul2c 11788 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 11) = 22
5030, 30deccl 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
5150nn0cni 11504 . . . . . . . . . . . . 13 11 ∈ ℂ
5237, 27, 51, 28divmuli 10979 . . . . . . . . . . . 12 ((22 / 2) = 11 ↔ (2 · 11) = 22)
5349, 52mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (22 / 2) = 11
5440, 53eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 − 1) / 2) = 11
5519, 1eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 1) = 23
56 3p2e5 11360 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
572, 3, 2, 55, 56decaddi 11778 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 · 1) + 2) = 25
585, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55decmul2c 11788 . . . . . . . . 9 (𝐾 · ((𝐾 − 1) / 2)) = 253
5929, 58eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((𝐾 · (𝐾 − 1)) / 2) = 253
6025, 59eqtri 2793 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) = 253
6160, 6oveq12i 6803 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) = (253 / 365)
6216, 61breqtrri 4813 . . . . 5 (log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)
63 2rp 12033 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
64 relogcl 24536 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
66 5nn0 11512 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
672, 66deccl 11712 . . . . . . . . . 10 25 ∈ ℕ0
6867, 3deccl 11712 . . . . . . . . 9 253 ∈ ℕ0
6960, 68eqeltri 2846 . . . . . . . 8 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℕ0
7069nn0rei 11503 . . . . . . 7 (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ
71 nndivre 11256 . . . . . . 7 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
7270, 11, 71mp2an 672 . . . . . 6 ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7365, 72ltnegi 10772 . . . . 5 ((log‘2) < ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2))
7462, 73mpbi 220 . . . 4 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2)
7572renegcli 10542 . . . . 5 -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ
7665renegcli 10542 . . . . 5 -(log‘2) ∈ ℝ
77 eflt 15046 . . . . 5 ((-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ -(log‘2) ∈ ℝ) → (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))))
7875, 76, 77mp2an 672 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) < -(log‘2) ↔ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2)))
7974, 78mpbi 220 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (exp‘-(log‘2))
8065recni 10252 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℂ
81 efneg 15027 . . . . 5 ((log‘2) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2))))
8280, 81ax-mp 5 . . . 4 (exp‘-(log‘2)) = (1 / (exp‘(log‘2)))
83 reeflog 24541 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8463, 83ax-mp 5 . . . . 5 (exp‘(log‘2)) = 2
8584oveq2i 6802 . . . 4 (1 / (exp‘(log‘2))) = (1 / 2)
8682, 85eqtri 2793 . . 3 (exp‘-(log‘2)) = (1 / 2)
8779, 86breqtri 4811 . 2 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)
8812, 13birthdaylem1 24892 . . . . . . . 8 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
8988simp2i 1134 . . . . . . 7 𝑆 ∈ Fin
9088simp1i 1133 . . . . . . 7 𝑇𝑆
91 ssfi 8334 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ Fin)
9289, 90, 91mp2an 672 . . . . . 6 𝑇 ∈ Fin
93 hashcl 13342 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9492, 93ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝑇) ∈ ℕ0
9594nn0rei 11503 . . . 4 (♯‘𝑇) ∈ ℝ
9688simp3i 1135 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
9711, 96ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ≠ ∅
98 hashnncl 13352 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9989, 98ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
10097, 99mpbir 221 . . . 4 (♯‘𝑆) ∈ ℕ
101 nndivre 11256 . . . 4 (((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ)
10295, 100, 101mp2an 672 . . 3 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ∈ ℝ
103 reefcl 15016 . . . 4 (-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ)
10475, 103ax-mp 5 . . 3 (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ
105 halfre 11446 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
106102, 104, 105lelttri 10364 . 2 ((((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∧ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) < (1 / 2)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2))
10715, 87, 106mp2an 672 1 ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) < (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wne 2943  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  wf 6025  1-1wf1 6026  cfv 6029  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141   < clt 10274  cle 10275  cmin 10466  -cneg 10467   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  3c3 11271  5c5 11273  6c6 11274  0cn0 11492  cdc 11693  +crp 12028  ...cfz 12526  cexp 13060  chash 13314  expce 14991  logclog 24515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-ulm 24344  df-log 24517  df-atan 24808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator