Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11dN 38771
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 38779. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme11.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme11.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme11.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme11.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme11dN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑃 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11dN
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2 simp2 1138 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄))
3 simp32 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4 simp33 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
5 cdleme11.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdleme11.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme11.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdleme11.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdleme11.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdleme11.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
115, 6, 7, 8, 9, 10cdleme11c 38770 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
121, 2, 3, 4, 11syl112anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
13 simp11l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simp12l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 simp21l 1291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
165, 6, 8hlatlej2 37884 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
18 breq2 5110 . . . . 5 ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑃 ∨ 𝑇) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑇)))
1917, 18syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑃 ∨ 𝑇) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑇)))
20 simp22 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
21 simp31 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
225, 6, 8hlatexch2 37905 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑇) β†’ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
2313, 15, 14, 20, 21, 22syl131anc 1384 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑇) β†’ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
2419, 23syld 47 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑃 ∨ 𝑇) β†’ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
2524necon3bd 2954 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑃 ∨ 𝑇)))
2612, 25mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑃 ∨ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator