Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄)) |
2 | | simp2 1138 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π)) |
3 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
4 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
5 | | cdleme11.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdleme11.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdleme11.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | | cdleme11.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdleme11.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdleme11.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
11 | 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdleme11c 38770 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 11 | syl112anc 1375 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
13 | | simp11l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
14 | | simp12l 1287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
15 | | simp21l 1291 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
16 | 5, 6, 8 | hlatlej2 37884 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
17 | 13, 14, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | | breq2 5110 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π) = (π β¨ π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
19 | 17, 18 | syl5ibcom 244 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
20 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
21 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
22 | 5, 6, 8 | hlatexch2 37905 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
23 | 13, 15, 14, 20, 21, 22 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
24 | 19, 23 | syld 47 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
25 | 24 | necon3bd 2954 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (Β¬ π β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) β (π β¨ π))) |
26 | 12, 25 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (π β¨ π)) |