Theorem cdleme19f 41502

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 5th paragraph on p. 114, line 3. 𝐷, 𝐹, 𝑁, 𝑌, 𝐺, 𝑂 represent s₂, f(s), f_s(r), t₂, f(t), f_t(r). We prove that if r ≤ s ∨ t, then f_t(r) = f_t(r). (Contributed by NM, 14-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme19.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme19.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme19.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme19.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme19.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme19.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme19.f	⊢ 𝐹 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme19.g	⊢ 𝐺 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)))
cdleme19.d	⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdleme19.y	⊢ 𝑌 = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)
cdleme19.n	⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ 𝐷))
cdleme19.o	⊢ 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdleme19f	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → 𝑁 = 𝑂)

Proof of Theorem cdleme19f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme19.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdleme19.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdleme19.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cdleme19.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdleme19.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdleme19.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
7		cdleme19.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
8		cdleme19.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)))
9		cdleme19.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
10		cdleme19.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme19e 41501	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → (𝐹 ∨ 𝐷) = (𝐺 ∨ 𝑌))
12	11	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ 𝐷)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ 𝑌)))
13		cdleme19.n	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ 𝐷))
14		cdleme19.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ 𝑌))
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2820	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → 𝑁 = 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  lecple 17444  joincjn 18494  meetcmee 18495  Atomscatm 40457  HLchlt 40544  LHypclh 41178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-llines 40692  df-lplanes 40693  df-lvols 40694  df-lines 40695  df-psubsp 40697  df-pmap 40698  df-padd 40990  df-lhyp 41182

This theorem is used by:  cdleme20  41518