Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp11r 1286 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π») |
4 | | simp12l 1287 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
5 | | simp13l 1289 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
6 | | simp21l 1291 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
7 | | cdleme19.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdleme19.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme19.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdleme19.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdleme19.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdleme19.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | | cdleme19.f |
. . . . 5
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
14 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdleme1b 38735 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
16 | 1, 3, 4, 5, 6, 15 | syl23anc 1378 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
17 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
18 | | cdleme19.g |
. . . . 5
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
19 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 14 | cdleme1b 38735 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
20 | 1, 3, 4, 5, 17, 19 | syl23anc 1378 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
21 | 14, 8 | latjcom 18341 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ πΊ β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ πΊ) = (πΊ β¨ πΉ)) |
22 | 2, 16, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ πΊ) = (πΊ β¨ πΉ)) |
23 | | cdleme19.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
24 | | cdleme19.y |
. . 3
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
25 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 23, 24 | cdleme19d 38815 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ π·) = (πΉ β¨ πΊ)) |
26 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
27 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
28 | | simp13 1206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
29 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
30 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
31 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
32 | | simp31l 1297 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
33 | | simp31r 1298 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
34 | 33 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
35 | 32, 34 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π β§ π β π)) |
36 | | simp32r 1300 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
37 | | simp32l 1299 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
38 | 36, 37 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
39 | | simp33l 1301 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
40 | | simp33r 1302 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
41 | 8, 10 | hlatjcom 37876 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
42 | 1, 6, 17, 41 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
43 | 40, 42 | breqtrd 5132 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
44 | 39, 43 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) |
45 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 13, 24, 23 | cdleme19d 38815 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΊ β¨ π) = (πΊ β¨ πΉ)) |
46 | 26, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 38, 44, 45 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΊ β¨ π) = (πΊ β¨ πΉ)) |
47 | 22, 25, 46 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β π΄) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ π·) = (πΊ β¨ π)) |