Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp33 1208 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β π
β π) |
2 | | simpl1 1188 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
3 | | simpl2 1189 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
4 | | simpl31 1251 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
5 | | simpl32 1252 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
6 | | simpr 484 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β πΉ = πΊ) |
7 | | cdleme35.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdleme35.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme35.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdleme35.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdleme35.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdleme35.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | | cdleme35.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
14 | | cdleme35.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdleme35h 39840 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΊ)) β π
= π) |
16 | 2, 3, 4, 5, 6, 15 | syl113anc 1379 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β§ πΉ = πΊ) β π
= π) |
17 | 16 | ex 412 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β (πΉ = πΊ β π
= π)) |
18 | 17 | necon3d 2955 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β (π
β π β πΉ β πΊ)) |
19 | 1, 18 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β πΉ β πΊ) |