Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4e Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg4e 39941
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg4b.v 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
cdlemg4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4e (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))))
Proof of Theorem cdlemg4e
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp23 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp31 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 cdlemg4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemg4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnel 39466 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
101, 3, 4, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
11 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
125, 6, 7, 8ltrnel 39466 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š))
131, 3, 11, 12syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š))
14 cdlemg4.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemg4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemg4b.v . . 3 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
175, 6, 7, 8, 14, 15, 16cdlemg4d 39940 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
18 cdlemg4.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
195, 15, 18, 6, 7, 8, 14cdlemc 39524 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))))
201, 2, 10, 13, 17, 19syl131anc 1380 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  lecple 17200  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  trLctrl 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8817  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486
This theorem is referenced by:  cdlemg4f  39942
  Copyright terms: Public domain W3C validator