Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg4d 39788
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg4b.v 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4d (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
Proof of Theorem cdlemg4d
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp22 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp31 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 simp32 1209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
6 cdlemg4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdlemg4.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 cdlemg4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdlemg4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdlemg4.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemg4.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdlemg4b.v . . . 4 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg4c 39787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
141, 2, 3, 4, 5, 13syl131anc 1382 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉))
15 simp1l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
16 simp21l 1289 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
176, 7, 8, 9ltrnel 39314 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1817simpld 494 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
191, 4, 2, 18syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2011, 7hlatjcom 38542 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑃))
2115, 16, 19, 20syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑃))
226, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg4b1 39784 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝑃 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
231, 2, 4, 22syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
24 simp33 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
2524oveq2d 7428 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑃))
2621, 23, 253eqtr4rd 2782 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃 ∨ 𝑉))
2726breq2d 5160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((πΊβ€˜π‘„) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ↔ (πΊβ€˜π‘„) ≀ (𝑃 ∨ 𝑉)))
2814, 27mtbird 325 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdlemg4e  39789
  Copyright terms: Public domain W3C validator