Theorem chlej1i 31546

Description: Add join to both sides of a Hilbert lattice ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
chlub.1	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chlej1i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem chlej1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31300	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		chjcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	chshii 31300	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5		chlub.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
6	5	chshii 31300	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
7	2, 4, 6	shlej1i 31451	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7369   C_ℋ cch 31002   ∨_ℋ chj 31006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-hilex 31072  ax-hfvadd 31073  ax-hv0cl 31076  ax-hfvmul 31078  ax-hvmul0 31083  ax-hfi 31152  ax-his2 31156  ax-his3 31157

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-ltxr 11186  df-sh 31280  df-ch 31294  df-oc 31325  df-chj 31383

This theorem is referenced by:  chlej12i  31548  pjoml4i  31660  mdslle1i  32390  mdslle2i  32391  mdslj1i  32392  mdslj2i  32393  mdslmd1lem1  32398  mdslmd2i  32403