Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrecl 14920
 Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
climrecl (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzsup 13215 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
6 climrel 14829 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5584 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 eqid 2820 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
102, 9climmpt 14908 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 10647 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514fmpttd 6855 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
162, 1, 15rlimclim 14883 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 259 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
184, 17, 13rlimrecl 14917 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6331  supcsup 8882  ℂcc 10513  ℝcr 10514  +∞cpnf 10650  ℝ*cxr 10652   < clt 10653  ℤcz 11960  ℤ≥cuz 12222   ⇝ cli 14821   ⇝𝑟 crli 14822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826 This theorem is referenced by:  climle  14976  climsqz  14977  climsqz2  14978  isumrecl  15100  iprodrecl  15336  prmreclem6  16235  mbflimlem  24250  emcllem7  25566  regamcl  25625  relgamcl  25626  rge0scvg  31200  esumpcvgval  31345  climlec3  32973  rrncmslem  35146  cvgdvgrat  40800  radcnvrat  40801  climreeq  42046  climreclf  42097  fnlimfvre  42107  climliminflimsupd  42234  climliminflimsup  42241  climxlim  42259  sge0isum  42857
 Copyright terms: Public domain W3C validator