MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 15897
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
climfsum.6 (𝜑𝐻𝑊)
climfsum.7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
Assertion
Ref Expression
climfsum (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
21mpteq2dva 5206 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12901 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3984 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 12615 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3947 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6900 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝐴)) → (𝐹𝑛) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 climrel 15569 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelex1i 5719 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
183, 17climmpt 15648 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
1913, 16, 18syl2anc 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2011, 19mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2221anassrs 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2322fmpttd 7114 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
243, 13, 23rlimclim 15623 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2520, 24mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
268, 9, 10, 25fsumrlim 15888 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵)
279adantr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 668 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2927, 28fsumcl 15809 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
3029fmpttd 7114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
313, 12, 30rlimclim 15623 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3226, 31mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
332, 32eqbrtrd 5135 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
34 climfsum.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
35 eqid 2765 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛))
363, 35climmpt 15648 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3712, 34, 36syl2anc 596 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3833, 37mpbird 260 1 (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wb 209  wa 401   = wceq 1570  wcel 2146  Vcvv 3457  wss 3906   class class class wbr 5111  cmpt 5194  cfv 6540  Fincfn 8949  cc 11115  cr 11116  cz 12608  cuz 12880  cli 15561  𝑟 crli 15562  Σcsu 15763
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764
This theorem is used by:  itg1climres  25926  plyeq0lem  26420
  Copyright terms: Public domain W3C validator