Theorem climfsum 15532

Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfsum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climfsum.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climfsum.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climfsum	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfsum.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))
2	1	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)))
3		climfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3955	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12326	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3930	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		climfsum.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fvexd 6789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑛) ∈ V)
11		climfsum.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
12		climfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		climrel 15201	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
15	14	brrelex1i 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
18	3, 17	climmpt 15280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
19	13, 16, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
20	11, 19	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵)
21		climfsum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22	21	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
24	3, 13, 23	rlimclim 15255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
25	20, 24	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
26	8, 9, 10, 25	fsumrlim 15523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
27	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
28	21	anass1rs 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
29	27, 28	fsumcl 15445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 6989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
31	3, 12, 30	rlimclim 15255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
32	26, 31	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	2, 32	eqbrtrd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
34		climfsum.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛))
36	3, 35	climmpt 15280	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ 𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	12, 34, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
38	33, 37	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ⇝ cli 15193   ⇝_𝑟 crli 15194  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  itg1climres  24879  plyeq0lem  25371