MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 15798
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(π‘˜) is a collection of functions with implicit parameter π‘˜, each of which converges to 𝐡(π‘˜) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climfsum.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climfsum.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐡)
climfsum.6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
climfsum.7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
climfsum.8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
climfsum (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   πœ‘,π‘˜,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   π‘Š(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›))
21mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 uzssz 12873 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
53, 4eqsstri 4007 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
6 zssre 12595 . . . . . . 7 β„€ βŠ† ℝ
75, 6sstri 3982 . . . . . 6 𝑍 βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6907 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐡)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 climrel 15468 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelex1i 5728 . . . . . . . . 9 (𝐹 ⇝ 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))
183, 17climmpt 15547 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
1913, 16, 18syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
2011, 19mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2221anassrs 466 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2322fmpttd 7120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)):π‘βŸΆβ„‚)
243, 13, 23rlimclim 15522 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
2520, 24mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ 𝐡)
268, 9, 10, 25fsumrlim 15789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
279adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 653 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2927, 28fsumcl 15711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
3029fmpttd 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)):π‘βŸΆβ„‚)
313, 12, 30rlimclim 15522 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3226, 31mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
332, 32eqbrtrd 5165 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
34 climfsum.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
35 eqid 2725 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›))
363, 35climmpt 15547 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐻 ∈ π‘Š) β†’ (𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3712, 34, 36syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3833, 37mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852   ⇝ cli 15460   β‡π‘Ÿ crli 15461  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  itg1climres  25662  plyeq0lem  26162
  Copyright terms: Public domain W3C validator