Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 15223
 Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
climfsum.6 (𝜑𝐻𝑊)
climfsum.7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
Assertion
Ref Expression
climfsum (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
21mpteq2dva 5127 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12303 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3926 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 12027 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3901 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6673 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝐴)) → (𝐹𝑛) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 climrel 14897 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelex1i 5577 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
183, 17climmpt 14976 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
1913, 16, 18syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2011, 19mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2221anassrs 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2322fmpttd 6870 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
243, 13, 23rlimclim 14951 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2520, 24mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
268, 9, 10, 25fsumrlim 15214 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵)
279adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 654 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2927, 28fsumcl 15138 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
3029fmpttd 6870 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
313, 12, 30rlimclim 14951 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3226, 31mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
332, 32eqbrtrd 5054 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
34 climfsum.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
35 eqid 2758 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛))
363, 35climmpt 14976 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3712, 34, 36syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3833, 37mpbird 260 1 (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  Fincfn 8527  ℂcc 10573  ℝcr 10574  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282   ⇝ cli 14889   ⇝𝑟 crli 14890  Σcsu 15090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091 This theorem is referenced by:  itg1climres  24414  plyeq0lem  24906
 Copyright terms: Public domain W3C validator