Theorem climfsum 15772

Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfsum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climfsum.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climfsum.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climfsum	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfsum.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))
2	1	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)))
3		climfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12847	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 4011	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12569	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3986	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		climfsum.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑛) ∈ V)
11		climfsum.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
12		climfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		climrel 15442	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
15	14	brrelex1i 5725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
18	3, 17	climmpt 15521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
19	13, 16, 18	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
20	11, 19	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵)
21		climfsum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22	21	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
24	3, 13, 23	rlimclim 15496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
25	20, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
26	8, 9, 10, 25	fsumrlim 15763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
27	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
28	21	anass1rs 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
29	27, 28	fsumcl 15685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
31	3, 12, 30	rlimclim 15496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
32	26, 31	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	2, 32	eqbrtrd 5163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
34		climfsum.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
35		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛))
36	3, 35	climmpt 15521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ 𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	12, 34, 36	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
38	33, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  Fincfn 8941  ℂcc 11110  ℝcr 11111  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826   ⇝ cli 15434   ⇝_𝑟 crli 15435  Σcsu 15638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639

This theorem is referenced by:  itg1climres  25599  plyeq0lem  26099