Theorem climfsum 15777

Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfsum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climfsum.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climfsum.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climfsum	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfsum.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))
2	1	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)))
3		climfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12803	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3969	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12525	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3932	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		climfsum.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fvexd 6850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑛) ∈ V)
11		climfsum.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
12		climfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		climrel 15448	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
15	14	brrelex1i 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
18	3, 17	climmpt 15527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
19	13, 16, 18	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
20	11, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵)
21		climfsum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22	21	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
24	3, 13, 23	rlimclim 15502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
25	20, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
26	8, 9, 10, 25	fsumrlim 15768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
27	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
28	21	anass1rs 656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
29	27, 28	fsumcl 15689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
31	3, 12, 30	rlimclim 15502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
32	26, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	2, 32	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
34		climfsum.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
35		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛))
36	3, 35	climmpt 15527	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ 𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	12, 34, 36	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
38	33, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  ℂcc 11030  ℝcr 11031  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782   ⇝ cli 15440   ⇝_𝑟 crli 15441  Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643

This theorem is referenced by:  itg1climres  25694  plyeq0lem  26188