MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 15856
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
climfsum.6 (𝜑𝐻𝑊)
climfsum.7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
Assertion
Ref Expression
climfsum (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
21mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12899 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 12620 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3993 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝐴)) → (𝐹𝑛) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 climrel 15528 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelex1i 5741 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
183, 17climmpt 15607 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
1913, 16, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2011, 19mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2221anassrs 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2322fmpttd 7135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
243, 13, 23rlimclim 15582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2520, 24mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
268, 9, 10, 25fsumrlim 15847 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵)
279adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2927, 28fsumcl 15769 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
3029fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
313, 12, 30rlimclim 15582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3226, 31mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
332, 32eqbrtrd 5165 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
34 climfsum.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
35 eqid 2737 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛))
363, 35climmpt 15607 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3712, 34, 36syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3833, 37mpbird 257 1 (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  cz 12613  cuz 12878  cli 15520  𝑟 crli 15521  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  itg1climres  25749  plyeq0lem  26249
  Copyright terms: Public domain W3C validator