Theorem climfsum 15734

Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfsum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
climfsum.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climfsum.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climfsum	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfsum.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛))
2	1	mpteq2dva 5188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)))
3		climfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3977	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12486	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		climfsum.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fvexd 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑛) ∈ V)
11		climfsum.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
12		climfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		climrel 15406	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ⇝
15	14	brrelex1i 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
17		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
18	3, 17	climmpt 15485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
19	13, 16, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
20	11, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵)
21		climfsum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22	21	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
24	3, 13, 23	rlimclim 15460	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐵))
25	20, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
26	8, 9, 10, 25	fsumrlim 15725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
27	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
28	21	anass1rs 655	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
29	27, 28	fsumcl 15647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 7057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
31	3, 12, 30	rlimclim 15460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
32	26, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
33	2, 32	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
34		climfsum.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
35		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛))
36	3, 35	climmpt 15485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ 𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
37	12, 34, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐻‘𝑛)) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
38	33, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  Fincfn 8879  ℂcc 11015  ℝcr 11016  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742   ⇝ cli 15398   ⇝_𝑟 crli 15399  Σcsu 15600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601

This theorem is referenced by:  itg1climres  25662  plyeq0lem  26162