MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 15712
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(π‘˜) is a collection of functions with implicit parameter π‘˜, each of which converges to 𝐡(π‘˜) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climfsum.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climfsum.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐡)
climfsum.6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
climfsum.7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
climfsum.8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
climfsum (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   πœ‘,π‘˜,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   𝐡,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   π‘Š(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›))
21mpteq2dva 5210 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 uzssz 12791 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
53, 4eqsstri 3983 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† β„€
6 zssre 12513 . . . . . . 7 β„€ βŠ† ℝ
75, 6sstri 3958 . . . . . 6 𝑍 βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
10 fvexd 6862 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ V)
11 climfsum.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐡)
12 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
14 climrel 15381 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1514brrelex1i 5693 . . . . . . . . 9 (𝐹 ⇝ 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ V)
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ V)
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))
183, 17climmpt 15460 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
1913, 16, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
2011, 19mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡)
21 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2221anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2322fmpttd 7068 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)):π‘βŸΆβ„‚)
243, 13, 23rlimclim 15435 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ 𝐡))
2520, 24mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ 𝐡)
268, 9, 10, 25fsumrlim 15703 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
279adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2821anass1rs 654 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
2927, 28fsumcl 15625 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
3029fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)):π‘βŸΆβ„‚)
313, 12, 30rlimclim 15435 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3226, 31mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
332, 32eqbrtrd 5132 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
34 climfsum.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
35 eqid 2737 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›))
363, 35climmpt 15460 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐻 ∈ π‘Š) β†’ (𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3712, 34, 36syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π»β€˜π‘›)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
3833, 37mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  itg1climres  25095  plyeq0lem  25587
  Copyright terms: Public domain W3C validator