Theorem climmpt2 15664

Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmpt2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmpt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmpt2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑛,𝐹   𝐴,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑀(𝑘, 𝑛)   𝑉(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem climmpt2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmpt2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmpt2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
5	3, 4	climmpt 15662	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
7		climmpt2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
10	9	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
11	10	cbvralvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
12		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
13	12	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ))
14	13	cbvralvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
15	11, 14	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
17	16	r19.21bi 3256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
19	3, 1, 18	rlimclim 15637	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
20	6, 19	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℂcc 11126  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891   ⇝ cli 15575   ⇝_𝑟 crli 15576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857  df-clim 15579  df-rlim 15580

This theorem is used by: (None)