MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmpt2 15414
Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climmpt2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmpt2.3 (𝜑𝐹𝑉)
climmpt2.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climmpt2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑛,𝐹   𝐴,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑀(𝑘,𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climmpt2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmpt2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climmpt2.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
3 climmpt2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 eqid 2737 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
53, 4climmpt 15412 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
7 climmpt2.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
87ralrimiva 3141 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
109eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1110cbvralvw 3223 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
12 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
1312eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
1413cbvralvw 3223 . . . . . . 7 (∀𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1511, 14bitri 274 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
168, 15sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1716r19.21bi 3232 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1817fmpttd 7059 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
193, 1, 18rlimclim 15387 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
206, 19bitr4d 281 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  cc 11007  cz 12457  cuz 12721  cli 15325  𝑟 crli 15326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fl 13651  df-clim 15329  df-rlim 15330
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator