Theorem climmpt2 15626

Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmpt2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmpt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmpt2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
climmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑛,𝐹   𝐴,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑀(𝑘,𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climmpt2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmpt2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmpt2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
5	3, 4	climmpt 15624	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
7		climmpt2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
9		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
10	9	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
11	10	cbvralvw 3243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
12		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
13	12	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ))
14	13	cbvralvw 3243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
15	11, 14	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
16	8, 15	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
17	16	r19.21bi 3257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
19	3, 1, 18	rlimclim 15599	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ 𝐴))
20	6, 19	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863   ⇝ cli 15537   ⇝_𝑟 crli 15538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827  df-clim 15541  df-rlim 15542

This theorem is referenced by: (None)