Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmpt2 14921
 Description: Relate an integer limit on a not-quite-function to a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climmpt2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmpt2.3 (𝜑𝐹𝑉)
climmpt2.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
climmpt2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑛,𝐹   𝐴,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑀(𝑘,𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climmpt2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmpt2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climmpt2.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
3 climmpt2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 eqid 2822 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
53, 4climmpt 14919 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
61, 2, 5syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
7 climmpt2.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
87ralrimiva 3174 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
109eleq1d 2898 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1110cbvralvw 3424 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
12 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
1312eleq1d 2898 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℂ))
1413cbvralvw 3424 . . . . . . 7 (∀𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1511, 14bitri 278 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
168, 15sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1716r19.21bi 3198 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1817fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
193, 1, 18rlimclim 14894 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐴))
206, 19bitr4d 285 1 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  ℂcc 10524  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231   ⇝ cli 14832   ⇝𝑟 crli 14833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157  df-clim 14836  df-rlim 14837 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator