Theorem climge0 15620

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climshft2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzsup 13903	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5		climrecl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		climrel 15528	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
7	6	brrelex1i 5741	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
10	2, 9	climmpt 15607	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
12	5, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴)
13		climrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	fmpttd 7135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
16	2, 1, 15	rlimclim 15582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18		climge0.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	4, 17, 13, 18	rlimge0 15617	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15520   ⇝_𝑟 crli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525

This theorem is referenced by:  climle  15676  radcnvrat  44333