MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 15617
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzsup 13900 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
6 climrel 15525 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5745 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
102, 9climmpt 15604 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
162, 1, 15rlimclim 15579 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
194, 17, 13, 18rlimge0 15614 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  cli 15517  𝑟 crli 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  climle  15673  radcnvrat  44310
  Copyright terms: Public domain W3C validator