MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 14933
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzsup 13223 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
6 climrel 14841 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5601 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
102, 9climmpt 14920 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514fmpttd 6872 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
162, 1, 15rlimclim 14895 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 259 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
194, 17, 13, 18rlimge0 14930 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  supcsup 8896  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  cli 14833  𝑟 crli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838
This theorem is referenced by:  climle  14988  radcnvrat  40637
  Copyright terms: Public domain W3C validator