Theorem climge0 15024

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climshft2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzsup 13315	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5		climrecl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		climrel 14932	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
7	6	brrelex1i 5573	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
10	2, 9	climmpt 15011	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
12	5, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴)
13		climrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	fmpttd 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
16	2, 1, 15	rlimclim 14986	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ 𝐴))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18		climge0.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	4, 17, 13, 18	rlimge0 15021	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  ‘cfv 6333  supcsup 8970  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608  +∞cpnf 10743  ℝ^*cxr 10745   < clt 10746   ≤ cle 10747  ℤcz 12055  ℤ_≥cuz 12317   ⇝ cli 14924   ⇝_𝑟 crli 14925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929

This theorem is referenced by:  climle  15080  radcnvrat  41454