MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 15531
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climshft2.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climrecl.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climge0.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
climge0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   𝐴,π‘˜

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uzsup 13831 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
6 climrel 15439 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5725 . . . . . 6 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
102, 9climmpt 15518 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413recnd 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):π‘βŸΆβ„‚)
162, 1, 15rlimclim 15493 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
194, 17, 13, 18rlimge0 15528 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823   ⇝ cli 15431   β‡π‘Ÿ crli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436
This theorem is referenced by:  climle  15587  radcnvrat  43631
  Copyright terms: Public domain W3C validator