MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 15568
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climshft2.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climrecl.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climge0.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
climge0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   𝐴,π‘˜

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uzsup 13868 . . 3 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
6 climrel 15476 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5738 . . . . . 6 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
102, 9climmpt 15555 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1413recnd 11280 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1514fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):π‘βŸΆβ„‚)
162, 1, 15rlimclim 15530 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
194, 17, 13, 18rlimge0 15565 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  supcsup 9471  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860   ⇝ cli 15468   β‡π‘Ÿ crli 15469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473
This theorem is referenced by:  climle  15624  radcnvrat  43782
  Copyright terms: Public domain W3C validator