Theorem dstfrvclim1 35103

Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		domprobmeas 35035	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
5	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6		dstfrv.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
10	5, 7, 9	orvclteel 35098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
11	10	fmpttd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
12	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
13	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16	14	peano2nnd 12345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
17	16	nnred 12343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18	15	lep1d 12241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
19	12, 13, 15, 17, 18	orvclteinc 35101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
20		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
22	21	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
23	12, 13, 15	orvclteel 35098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
24	20, 22, 14, 23	fvmptd 6999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
26	25	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
27	12, 13, 17	orvclteel 35098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
28	20, 26, 16, 27	fvmptd 6999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
29	19, 24, 28	3sstr4d 3986	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)))
30	1, 4, 11, 29	meascnbl 34845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
31		measfn 34830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
32		dffn5 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
33	32	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
34	4, 31, 33	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
35		prob01 35038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
36	2, 35	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
37	34, 36	fmpt3d 7114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
38		fco 6732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
39	37, 11, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
40	2, 6	dstfrvunirn 35100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = ∪ dom 𝑃)
41	2	unveldomd 35040	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
42	40, 41	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43		prob01 35038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
44	2, 42, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45		0xr 11349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		pnfxr 11356	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		0le0 12437	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
48		1re 11301	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltpnf 13242	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
51		iccssico 13542	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
52	45, 46, 47, 50, 51	mp4an 706	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
53	1, 39, 44, 52	lmlimxrge0 34573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))))
54	30, 53	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
55		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
56		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) → (𝑃‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
57	10, 55, 34, 56	fmptco 7128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
58		dstfrv.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
59	58	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
60		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
61	60	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))
62	61	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
63	5, 10	probvalrnd 35049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ ℝ)
64	59, 62, 9, 63	fvmptd 6999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
65	64	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
66	57, 65	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)))
67	40	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
68		probtot 35037	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
69	2, 68	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
70	67, 69	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = 1)
71	54, 66, 70	3brtr3d 5136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1)
72		1z 12719	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
73		reex 11284	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
74	73	mptex 7227	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))) ∈ V
75	58, 74	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
76		nnuz 12997	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
77		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖))
78	76, 77	climmpt 15731	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
79	72, 75, 78	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
80	71, 79	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℤcz 12686  [,)cico 13471  [,]cicc 13472   ⇝ cli 15644   ↾_s cress 17401  TopOpenctopn 17585  ℝ^*_𝑠cxrs 17665  ⇝_𝑡clm 23537  measurescmeas 34821  Probcprb 35032  rRndVarcrrv 35065  ∘_RV/𝑐corvc 35081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-ordt 17666  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-ps 18733  df-tsr 18734  df-plusf 18808  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-abv 21059  df-lmod 21130  df-scaf 21131  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-tmd 24384  df-tgp 24385  df-tsms 24439  df-trg 24472  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-nm 24894  df-ngp 24895  df-nrg 24897  df-nlm 24898  df-ii 25191  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877  df-esum 34653  df-siga 34734  df-sigagen 34765  df-brsiga 34808  df-meas 34822  df-mbfm 34876  df-prob 35033  df-rrv 35066  df-orvc 35082

This theorem is used by: (None)