Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvclim1 33774
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
dstfrv.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 33707 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
52adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
76adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
8 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
98nnred 12231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 33769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
1110fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃)
122adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
136adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1514nnred 12231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1614peano2nnd 12233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
1716nnred 12231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1815lep1d 12149 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ≀ (𝑛 + 1))
1912, 13, 15, 17, 18orvclteinc 33772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
20 eqidd 2731 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
21 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ 𝑖 = 𝑛)
2221oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
2312, 13, 15orvclteel 33769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
2420, 22, 14, 23fvmptd 7004 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
25 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ 𝑖 = (𝑛 + 1))
2625oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2712, 13, 17orvclteel 33769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2820, 26, 16, 27fvmptd 7004 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2919, 24, 283sstr4d 4028 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) βŠ† ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)))
301, 4, 11, 29meascnbl 33515 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
31 measfn 33500 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) β†’ 𝑃 Fn dom 𝑃)
32 dffn5 6949 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
3332biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃 β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
344, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
35 prob01 33710 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
362, 35sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
3734, 36fmpt3d 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1))
38 fco 6740 . . . . . 6 ((𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃) β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
3937, 11, 38syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
402, 6dstfrvunirn 33771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = βˆͺ dom 𝑃)
412unveldomd 33712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4240, 41eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43 prob01 33710 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
442, 42, 43syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45 0xr 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 pnfxr 11272 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
47 0le0 12317 . . . . . 6 0 ≀ 0
48 1re 11218 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
49 ltpnf 13104 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 < +∞)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
51 iccssico 13400 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 < +∞)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞))
5245, 46, 47, 50, 51mp4an 689 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞)
531, 39, 44, 52lmlimxrge0 33226 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))))
5430, 53mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
55 eqidd 2731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
56 fveq2 6890 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
5710, 55, 34, 56fmptco 7128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
58 dstfrv.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
5958adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
60 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
6160oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))
6261fveq2d 6894 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯)) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
635, 10probvalrnd 33721 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ ℝ)
6459, 62, 9, 63fvmptd 7004 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
6564mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
6657, 65eqtr4d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)))
6740fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃))
68 probtot 33709 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
692, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
7067, 69eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = 1)
7154, 66, 703brtr3d 5178 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1)
72 1z 12596 . . 3 1 ∈ β„€
73 reex 11203 . . . . 5 ℝ ∈ V
7473mptex 7226 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))) ∈ V
7558, 74eqeltrdi 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
77 eqid 2730 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–))
7876, 77climmpt 15519 . . 3 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
7972, 75, 78sylancr 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
8071, 79mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„€cz 12562  [,)cico 13330  [,]cicc 13331   ⇝ cli 15432   β†Ύs cress 17177  TopOpenctopn 17371  β„*𝑠cxrs 17450  β‡π‘‘clm 22950  measurescmeas 33491  Probcprb 33704  rRndVarcrrv 33737  βˆ˜RV/𝑐corvc 33752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-tsms 23851  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-esum 33324  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-brsiga 33478  df-meas 33492  df-mbfm 33546  df-prob 33705  df-rrv 33738  df-orvc 33753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator