Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvclim1 33134
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
dstfrv.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 33067 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
52adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
98nnred 12173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 33129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
1110fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃)
122adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
136adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1514nnred 12173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1614peano2nnd 12175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
1716nnred 12173 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1815lep1d 12091 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ≀ (𝑛 + 1))
1912, 13, 15, 17, 18orvclteinc 33132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
20 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
21 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ 𝑖 = 𝑛)
2221oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
2312, 13, 15orvclteel 33129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
2420, 22, 14, 23fvmptd 6956 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
25 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ 𝑖 = (𝑛 + 1))
2625oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2712, 13, 17orvclteel 33129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2820, 26, 16, 27fvmptd 6956 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2919, 24, 283sstr4d 3992 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) βŠ† ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)))
301, 4, 11, 29meascnbl 32875 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
31 measfn 32860 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) β†’ 𝑃 Fn dom 𝑃)
32 dffn5 6902 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
3332biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃 β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
344, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
35 prob01 33070 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
362, 35sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
3734, 36fmpt3d 7065 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1))
38 fco 6693 . . . . . 6 ((𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃) β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
3937, 11, 38syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
402, 6dstfrvunirn 33131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = βˆͺ dom 𝑃)
412unveldomd 33072 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4240, 41eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43 prob01 33070 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
442, 42, 43syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45 0xr 11207 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 pnfxr 11214 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
47 0le0 12259 . . . . . 6 0 ≀ 0
48 1re 11160 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
49 ltpnf 13046 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 < +∞)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
51 iccssico 13342 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 < +∞)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞))
5245, 46, 47, 50, 51mp4an 692 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞)
531, 39, 44, 52lmlimxrge0 32586 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))))
5430, 53mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
55 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
56 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
5710, 55, 34, 56fmptco 7076 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
58 dstfrv.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
5958adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
60 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
6160oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))
6261fveq2d 6847 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯)) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
635, 10probvalrnd 33081 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ ℝ)
6459, 62, 9, 63fvmptd 6956 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
6564mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
6657, 65eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)))
6740fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃))
68 probtot 33069 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
692, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
7067, 69eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = 1)
7154, 66, 703brtr3d 5137 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1)
72 1z 12538 . . 3 1 ∈ β„€
73 reex 11147 . . . . 5 ℝ ∈ V
7473mptex 7174 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))) ∈ V
7558, 74eqeltrdi 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76 nnuz 12811 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
77 eqid 2733 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–))
7876, 77climmpt 15459 . . 3 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
7972, 75, 78sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
8071, 79mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„€cz 12504  [,)cico 13272  [,]cicc 13273   ⇝ cli 15372   β†Ύs cress 17117  TopOpenctopn 17308  β„*𝑠cxrs 17387  β‡π‘‘clm 22593  measurescmeas 32851  Probcprb 33064  rRndVarcrrv 33097  βˆ˜RV/𝑐corvc 33112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32684  df-siga 32765  df-sigagen 32795  df-brsiga 32838  df-meas 32852  df-mbfm 32906  df-prob 33065  df-rrv 33098  df-orvc 33113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator