Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvclim1 33476
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
dstfrv.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 33409 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
52adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
98nnred 12227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 33471 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
1110fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃)
122adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
136adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1514nnred 12227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1614peano2nnd 12229 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
1716nnred 12227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1815lep1d 12145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ≀ (𝑛 + 1))
1912, 13, 15, 17, 18orvclteinc 33474 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
20 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
21 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ 𝑖 = 𝑛)
2221oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
2312, 13, 15orvclteel 33471 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
2420, 22, 14, 23fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
25 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ 𝑖 = (𝑛 + 1))
2625oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2712, 13, 17orvclteel 33471 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2820, 26, 16, 27fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2919, 24, 283sstr4d 4030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) βŠ† ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)))
301, 4, 11, 29meascnbl 33217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
31 measfn 33202 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) β†’ 𝑃 Fn dom 𝑃)
32 dffn5 6951 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
3332biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃 β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
344, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
35 prob01 33412 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
362, 35sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
3734, 36fmpt3d 7116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1))
38 fco 6742 . . . . . 6 ((𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃) β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
3937, 11, 38syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
402, 6dstfrvunirn 33473 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = βˆͺ dom 𝑃)
412unveldomd 33414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4240, 41eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43 prob01 33412 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
442, 42, 43syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45 0xr 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 pnfxr 11268 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
47 0le0 12313 . . . . . 6 0 ≀ 0
48 1re 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
49 ltpnf 13100 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 < +∞)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
51 iccssico 13396 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 < +∞)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞))
5245, 46, 47, 50, 51mp4an 692 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞)
531, 39, 44, 52lmlimxrge0 32928 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))))
5430, 53mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
55 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
56 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
5710, 55, 34, 56fmptco 7127 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
58 dstfrv.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
5958adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
60 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
6160oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))
6261fveq2d 6896 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯)) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
635, 10probvalrnd 33423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ ℝ)
6459, 62, 9, 63fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
6564mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
6657, 65eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)))
6740fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃))
68 probtot 33411 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
692, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
7067, 69eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = 1)
7154, 66, 703brtr3d 5180 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1)
72 1z 12592 . . 3 1 ∈ β„€
73 reex 11201 . . . . 5 ℝ ∈ V
7473mptex 7225 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))) ∈ V
7558, 74eqeltrdi 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76 nnuz 12865 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
77 eqid 2733 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–))
7876, 77climmpt 15515 . . 3 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
7972, 75, 78sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
8071, 79mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„€cz 12558  [,)cico 13326  [,]cicc 13327   ⇝ cli 15428   β†Ύs cress 17173  TopOpenctopn 17367  β„*𝑠cxrs 17446  β‡π‘‘clm 22730  measurescmeas 33193  Probcprb 33406  rRndVarcrrv 33439  βˆ˜RV/𝑐corvc 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-prob 33407  df-rrv 33440  df-orvc 33455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator