Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvclim1 31621
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 31554 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
52adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnred 11645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 31616 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑖) ∈ dom 𝑃)
1110fmpttd 6874 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
122adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
136adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1514nnred 11645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1614peano2nnd 11647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
1716nnred 11645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1815lep1d 11563 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
1912, 13, 15, 17, 18orvclteinc 31619 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ⊆ (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
20 eqidd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
21 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
2221oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
2312, 13, 15orvclteel 31616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
2420, 22, 14, 23fvmptd 6770 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
25 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
2625oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
2712, 13, 17orvclteel 31616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2820, 26, 16, 27fvmptd 6770 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
2919, 24, 283sstr4d 4017 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)))
301, 4, 11, 29meascnbl 31364 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
31 measfn 31349 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
32 dffn5 6720 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
3332biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
344, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
35 prob01 31557 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
362, 35sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
3734, 36fmpt3d 6875 . . . . . 6 (𝜑𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
38 fco 6527 . . . . . 6 ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
3937, 11, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
402, 6dstfrvunirn 31618 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = dom 𝑃)
412unveldomd 31559 . . . . . . 7 (𝜑 dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4240, 41eqeltrd 2917 . . . . . 6 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43 prob01 31557 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
442, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
45 0xr 10680 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 pnfxr 10687 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
47 0le0 11730 . . . . . 6 0 ≤ 0
48 1re 10633 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
49 ltpnf 12508 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
51 iccssico 12801 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
5245, 46, 47, 50, 51mp4an 689 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
531, 39, 44, 52lmlimxrge0 31077 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))))
5430, 53mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
55 eqidd 2826 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
56 fveq2 6666 . . . . 5 (𝑎 = (𝑋RV/𝑐𝑖) → (𝑃𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
5710, 55, 34, 56fmptco 6886 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
58 dstfrv.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
60 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
6160oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋RV/𝑐𝑥) = (𝑋RV/𝑐𝑖))
6261fveq2d 6670 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
635, 10probvalrnd 31568 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ ℝ)
6459, 62, 9, 63fvmptd 6770 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
6564mpteq2dva 5157 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
6657, 65eqtr4d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)))
6740fveq2d 6670 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑃 dom 𝑃))
68 probtot 31556 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
692, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
7067, 69eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = 1)
7154, 66, 703brtr3d 5093 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1)
72 1z 12004 . . 3 1 ∈ ℤ
73 reex 10620 . . . . 5 ℝ ∈ V
7473mptex 6984 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))) ∈ V
7558, 74syl6eqel 2925 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
76 nnuz 12273 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
77 eqid 2825 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖))
7876, 77climmpt 14921 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
7972, 75, 78sylancr 587 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
8071, 79mpbird 258 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  wss 3939   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  ccom 5557   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  cz 11973  [,)cico 12733  [,]cicc 12734  cli 14834  s cress 16476  TopOpenctopn 16687  *𝑠cxrs 16765  𝑡clm 21750  measurescmeas 31340  Probcprb 31551  rRndVarcrrv 31584  RV/𝑐corvc 31599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-subrg 19455  df-abv 19510  df-lmod 19558  df-scaf 19559  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-tmd 22596  df-tgp 22597  df-tsms 22650  df-trg 22683  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-nm 23107  df-ngp 23108  df-nrg 23110  df-nlm 23111  df-ii 23400  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-esum 31173  df-siga 31254  df-sigagen 31284  df-brsiga 31327  df-meas 31341  df-mbfm 31395  df-prob 31552  df-rrv 31585  df-orvc 31600
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator