Theorem dstfrvclim1 34772

Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		domprobmeas 34704	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
5	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6		dstfrv.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
10	5, 7, 9	orvclteel 34767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
11	10	fmpttd 7096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
12	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
13	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
14		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16	14	peano2nnd 12227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
17	16	nnred 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18	15	lep1d 12123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
19	12, 13, 15, 17, 18	orvclteinc 34770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
20		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
21		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
22	21	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
23	12, 13, 15	orvclteel 34767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
24	20, 22, 14, 23	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
25		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
26	25	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
27	12, 13, 17	orvclteel 34767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
28	20, 26, 16, 27	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
29	19, 24, 28	3sstr4d 3991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)))
30	1, 4, 11, 29	meascnbl 34513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
31		measfn 34498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
32		dffn5 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
33	32	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
34	4, 31, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
35		prob01 34707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
36	2, 35	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
37	34, 36	fmpt3d 7097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
38		fco 6716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
39	37, 11, 38	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
40	2, 6	dstfrvunirn 34769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = ∪ dom 𝑃)
41	2	unveldomd 34709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
42	40, 41	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43		prob01 34707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
44	2, 42, 43	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45		0xr 11229	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		pnfxr 11236	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		0le0 12319	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
48		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltpnf 13122	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
51		iccssico 13422	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
52	45, 46, 47, 50, 51	mp4an 703	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
53	1, 39, 44, 52	lmlimxrge0 34242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))))
54	30, 53	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
55		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
56		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) → (𝑃‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
57	10, 55, 34, 56	fmptco 7111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
58		dstfrv.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
59	58	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
60		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
61	60	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))
62	61	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
63	5, 10	probvalrnd 34718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ ℝ)
64	59, 62, 9, 63	fvmptd 6983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
65	64	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
66	57, 65	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)))
67	40	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
68		probtot 34706	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
69	2, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
70	67, 69	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = 1)
71	54, 66, 70	3brtr3d 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1)
72		1z 12601	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
73		reex 11164	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
74	73	mptex 7207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))) ∈ V
75	58, 74	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
76		nnuz 12878	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
77		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖))
78	76, 77	climmpt 15598	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
79	72, 75, 78	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
80	71, 79	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648   ∘ ccom 5651   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  ℤcz 12568  [,)cico 13351  [,]cicc 13352   ⇝ cli 15511   ↾_s cress 17266  TopOpenctopn 17450  ℝ^*_𝑠cxrs 17530  ⇝_𝑡clm 23283  measurescmeas 34489  Probcprb 34701  rRndVarcrrv 34734  ∘_RV/𝑐corvc 34750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-ordt 17531  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-ps 18598  df-tsr 18599  df-plusf 18673  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-abv 20855  df-lmod 20926  df-scaf 20927  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-lm 23286  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-tmd 24129  df-tgp 24130  df-tsms 24184  df-trg 24217  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-nm 24639  df-ngp 24640  df-nrg 24642  df-nlm 24643  df-ii 24936  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618  df-esum 34322  df-siga 34403  df-sigagen 34433  df-brsiga 34476  df-meas 34490  df-mbfm 34544  df-prob 34702  df-rrv 34735  df-orvc 34751

This theorem is referenced by: (None)