Theorem dstfrvclim1 32027

Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		domprobmeas 31960	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
5	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6		dstfrv.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnred 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
10	5, 7, 9	orvclteel 32022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
11	10	fmpttd 6902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
12	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
13	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
14		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	nnred 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16	14	peano2nnd 11746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
17	16	nnred 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18	15	lep1d 11662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
19	12, 13, 15, 17, 18	orvclteinc 32025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
20		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
21		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
22	21	oveq2d 7199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
23	12, 13, 15	orvclteel 32022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
24	20, 22, 14, 23	fvmptd 6795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
25		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
26	25	oveq2d 7199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
27	12, 13, 17	orvclteel 32022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
28	20, 26, 16, 27	fvmptd 6795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
29	19, 24, 28	3sstr4d 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)))
30	1, 4, 11, 29	meascnbl 31770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
31		measfn 31755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
32		dffn5 6741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
33	32	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
34	4, 31, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
35		prob01 31963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
36	2, 35	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
37	34, 36	fmpt3d 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
38		fco 6539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
39	37, 11, 38	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
40	2, 6	dstfrvunirn 32024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = ∪ dom 𝑃)
41	2	unveldomd 31965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
42	40, 41	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43		prob01 31963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
44	2, 42, 43	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45		0xr 10779	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		pnfxr 10786	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		0le0 11830	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
48		1re 10732	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltpnf 12611	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
51		iccssico 12906	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
52	45, 46, 47, 50, 51	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
53	1, 39, 44, 52	lmlimxrge0 31483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))))
54	30, 53	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
55		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
56		fveq2 6687	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) → (𝑃‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
57	10, 55, 34, 56	fmptco 6914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
58		dstfrv.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
59	58	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
60		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
61	60	oveq2d 7199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))
62	61	fveq2d 6691	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
63	5, 10	probvalrnd 31974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ ℝ)
64	59, 62, 9, 63	fvmptd 6795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
65	64	mpteq2dva 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
66	57, 65	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)))
67	40	fveq2d 6691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
68		probtot 31962	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
69	2, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
70	67, 69	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = 1)
71	54, 66, 70	3brtr3d 5071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1)
72		1z 12106	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
73		reex 10719	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
74	73	mptex 7009	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))) ∈ V
75	58, 74	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
76		nnuz 12376	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
77		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖))
78	76, 77	climmpt 15031	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
79	72, 75, 78	sylancr 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
80	71, 79	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  ∪ cuni 4806   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  dom cdm 5535  ran crn 5536   ∘ ccom 5539   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℝcr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631  +∞cpnf 10763  ℝ^*cxr 10765   < clt 10766   ≤ cle 10767  ℕcn 11729  ℤcz 12075  [,)cico 12836  [,]cicc 12837   ⇝ cli 14944   ↾_s cress 16600  TopOpenctopn 16811  ℝ^*_𝑠cxrs 16889  ⇝_𝑡clm 21990  measurescmeas 31746  Probcprb 31957  rRndVarcrrv 31990  ∘_RV/𝑐corvc 32005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-ac2 9976  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-dju 9416  df-card 9454  df-acn 9457  df-ac 9629  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-fac 13739  df-bc 13768  df-hash 13796  df-shft 14529  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-ef 15526  df-sin 15528  df-cos 15529  df-pi 15531  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-ordt 16890  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-plusf 17980  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-subrg 19665  df-abv 19720  df-lmod 19768  df-scaf 19769  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-lm 21993  df-haus 22079  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-tmd 22836  df-tgp 22837  df-tsms 22891  df-trg 22924  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-nm 23348  df-ngp 23349  df-nrg 23351  df-nlm 23352  df-ii 23642  df-cncf 23643  df-limc 24631  df-dv 24632  df-log 25313  df-esum 31579  df-siga 31660  df-sigagen 31690  df-brsiga 31733  df-meas 31747  df-mbfm 31801  df-prob 31958  df-rrv 31991  df-orvc 32006

This theorem is referenced by: (None)