Theorem dstfrvclim1 34442

Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
dstfrvclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		domprobmeas 34374	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
5	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6		dstfrv.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
9	8	nnred 12177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
10	5, 7, 9	orvclteel 34437	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
11	10	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
12	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
13	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16	14	peano2nnd 12179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
17	16	nnred 12177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18	15	lep1d 12090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
19	12, 13, 15, 17, 18	orvclteinc 34440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
20		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
22	21	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
23	12, 13, 15	orvclteel 34437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
24	20, 22, 14, 23	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑛))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
26	25	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
27	12, 13, 17	orvclteel 34437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
28	20, 26, 16, 27	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
29	19, 24, 28	3sstr4d 3999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))‘(𝑛 + 1)))
30	1, 4, 11, 29	meascnbl 34182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
31		measfn 34167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
32		dffn5 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
33	32	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 Fn dom 𝑃 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
34	4, 31, 33	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃‘𝑎)))
35		prob01 34377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
36	2, 35	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝑎) ∈ (0[,]1))
37	34, 36	fmpt3d 7070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
38		fco 6694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
39	37, 11, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
40	2, 6	dstfrvunirn 34439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = ∪ dom 𝑃)
41	2	unveldomd 34379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
42	40, 41	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43		prob01 34377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
44	2, 42, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45		0xr 11197	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		pnfxr 11204	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47		0le0 12263	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
48		1re 11150	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltpnf 13056	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
51		iccssico 13355	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
52	45, 46, 47, 50, 51	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
53	1, 39, 44, 52	lmlimxrge0 33911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))(𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))))
54	30, 53	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) ⇝ (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
55		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
56		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖) → (𝑃‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
57	10, 55, 34, 56	fmptco 7083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
58		dstfrv.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))))
60		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
61	60	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥) = (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))
62	61	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
63	5, 10	probvalrnd 34388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)) ∈ ℝ)
64	59, 62, 9, 63	fvmptd 6957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖)))
65	64	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))))
66	57, 65	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)))
67	40	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
68		probtot 34376	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
69	2, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
70	67, 69	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑖))) = 1)
71	54, 66, 70	3brtr3d 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1)
72		1z 12539	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
73		reex 11135	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
74	73	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝑥))) ∈ V
75	58, 74	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
76		nnuz 12812	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
77		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖))
78	76, 77	climmpt 15513	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
79	72, 75, 78	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑖)) ⇝ 1))
80	71, 79	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ran crn 5632   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℤcz 12505  [,)cico 13284  [,]cicc 13285   ⇝ cli 15426   ↾_s cress 17176  TopOpenctopn 17360  ℝ^*_𝑠cxrs 17439  ⇝_𝑡clm 23089  measurescmeas 34158  Probcprb 34371  rRndVarcrrv 34404  ∘_RV/𝑐corvc 34420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-ordt 17440  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-abv 20694  df-lmod 20744  df-scaf 20745  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-lm 23092  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-tmd 23935  df-tgp 23936  df-tsms 23990  df-trg 24023  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-ii 24746  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-log 26441  df-esum 33991  df-siga 34072  df-sigagen 34102  df-brsiga 34145  df-meas 34159  df-mbfm 34213  df-prob 34372  df-rrv 34405  df-orvc 34421

This theorem is referenced by: (None)