Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dstfrvclim1 33464
Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
dstfrv.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 33397 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
52adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
98nnred 12223 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 33459 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) ∈ dom 𝑃)
1110fmpttd 7111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃)
122adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ Prob)
136adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1514nnred 12223 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1614peano2nnd 12225 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
1716nnred 12223 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1815lep1d 12141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ≀ (𝑛 + 1))
1912, 13, 15, 17, 18orvclteinc 33462 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
20 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
21 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ 𝑖 = 𝑛)
2221oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = 𝑛) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
2312, 13, 15orvclteel 33459 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛) ∈ dom 𝑃)
2420, 22, 14, 23fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑛))
25 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ 𝑖 = (𝑛 + 1))
2625oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2712, 13, 17orvclteel 33459 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2820, 26, 16, 27fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ (𝑛 + 1)))
2919, 24, 283sstr4d 4028 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜π‘›) βŠ† ((𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))β€˜(𝑛 + 1)))
301, 4, 11, 29meascnbl 33205 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
31 measfn 33190 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) β†’ 𝑃 Fn dom 𝑃)
32 dffn5 6947 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃 ↔ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
3332biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃 β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
344, 31, 333syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (π‘Ž ∈ dom 𝑃 ↦ (π‘ƒβ€˜π‘Ž)))
35 prob01 33400 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
362, 35sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,]1))
3734, 36fmpt3d 7112 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1))
38 fco 6738 . . . . . 6 ((𝑃:dom π‘ƒβŸΆ(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)):β„•βŸΆdom 𝑃) β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
3937, 11, 38syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))):β„•βŸΆ(0[,]1))
402, 6dstfrvunirn 33461 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = βˆͺ dom 𝑃)
412unveldomd 33402 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4240, 41eqeltrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃)
43 prob01 33400 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
442, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ∈ (0[,]1))
45 0xr 11257 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 pnfxr 11264 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
47 0le0 12309 . . . . . 6 0 ≀ 0
48 1re 11210 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
49 ltpnf 13096 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ β†’ 1 < +∞)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
51 iccssico 13392 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 < +∞)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞))
5245, 46, 47, 50, 51mp4an 691 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,)+∞)
531, 39, 44, 52lmlimxrge0 32916 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))(π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))))
5430, 53mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) ⇝ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
55 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
56 fveq2 6888 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘Ž) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
5710, 55, 34, 56fmptco 7123 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
58 dstfrv.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
5958adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))))
60 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
6160oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯) = (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))
6261fveq2d 6892 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯)) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
635, 10probvalrnd 33411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)) ∈ ℝ)
6459, 62, 9, 63fvmptd 7002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖)))
6564mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))))
6657, 65eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)))
6740fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃))
68 probtot 33399 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
692, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
7067, 69eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ ran (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝑖))) = 1)
7154, 66, 703brtr3d 5178 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1)
72 1z 12588 . . 3 1 ∈ β„€
73 reex 11197 . . . . 5 ℝ ∈ V
7473mptex 7221 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘ƒβ€˜(π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ π‘₯))) ∈ V
7558, 74eqeltrdi 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
76 nnuz 12861 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
77 eqid 2732 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–))
7876, 77climmpt 15511 . . 3 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
7972, 75, 78sylancr 587 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘–)) ⇝ 1))
8071, 79mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„€cz 12554  [,)cico 13322  [,]cicc 13323   ⇝ cli 15424   β†Ύs cress 17169  TopOpenctopn 17363  β„*𝑠cxrs 17442  β‡π‘‘clm 22721  measurescmeas 33181  Probcprb 33394  rRndVarcrrv 33427  βˆ˜RV/𝑐corvc 33442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014  df-siga 33095  df-sigagen 33125  df-brsiga 33168  df-meas 33182  df-mbfm 33236  df-prob 33395  df-rrv 33428  df-orvc 33443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator