Theorem divcnvg 45611

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
divcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem divcnvg

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 12967	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
3		oveq2 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		ovexd 7473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) ∈ V)
7	2, 4, 5, 6	fvmptd 7030	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
8	7	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
10	9	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
11	10	mpteq2dva 5251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)))
12		divcnv 15895	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		nnex 12279	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
17	16	mptex 7250	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
20	18, 19	climmpt 15613	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
21	15, 17, 20	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
22	13, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0)
23	11, 22	eqbrtrd 5173	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3481   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  0cc0 11162   / cdiv 11927  ℕcn 12273  ℤcz 12620  ℤ_≥cuz 12885   ⇝ cli 15526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-fl 13838  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  45916  ioodvbdlimc2lem  45918