Theorem divcnvg 45894

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
divcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem divcnvg

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 12833	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
3		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		ovexd 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) ∈ V)
7	2, 4, 5, 6	fvmptd 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
8	7	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
10	9	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
11	10	mpteq2dva 5191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)))
12		divcnv 15778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12516	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		nnex 12153	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
17	16	mptex 7169	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
20	18, 19	climmpt 15496	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
21	15, 17, 20	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
22	13, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0)
23	11, 22	eqbrtrd 5120	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  46197  ioodvbdlimc2lem  46199