Theorem divcnvg 45618

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
divcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem divcnvg

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 12883	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
3		oveq2 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		ovexd 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) ∈ V)
7	2, 4, 5, 6	fvmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
8	7	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
10	9	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
11	10	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)))
12		divcnv 15825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		nnex 12193	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
17	16	mptex 7199	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
18		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
20	18, 19	climmpt 15543	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
21	15, 17, 20	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
22	13, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0)
23	11, 22	eqbrtrd 5131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074   / cdiv 11841  ℕcn 12187  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799   ⇝ cli 15456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925