Theorem divcnvg 46638

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
divcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem divcnvg

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 13045	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
3		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
4	3	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
5		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) ∈ V)
7	2, 4, 5, 6	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛) = (𝐴 / 𝑛))
8	7	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
10	9	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴 / 𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
11	10	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)))
12		divcnv 16022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		nnex 12341	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
17	16	mptex 7229	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
18		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛))
20	18, 19	climmpt 15738	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
21	15, 17, 20	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0))
22	13, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘𝑛)) ⇝ 0)
23	11, 22	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656

This theorem is used by:  ioodvbdlimc1lem2  46941  ioodvbdlimc2lem  46943