Theorem caucvg 15641

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
caucvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
2	1	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3932	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	2	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
11	9, 10	fmptd 7067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12		1rp 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13	12	ne0ii 4285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
15		r19.2z 4440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
16	13, 14, 15	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
17		eluzel2 12793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 3	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
20	19	rexlimiv 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	rexlimivw 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	3	uzsup 13822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
25	5	sseli 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
26	5	sseli 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
27		eluz 12802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
28	25, 26, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
30		fveq2 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
32		fvex 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑛) ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		fveq2 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
35	34, 31, 32	fvmpt3i 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	33, 35	oveqan12rd 7387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
37	36	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
38	37	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
43	42	ralimdv2 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
44	43	reximia 3073	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
45	44	ralimi 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 15638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	11, 24	rlimdm 15513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
49	47, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
50	2, 49	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
51		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
52	9, 51	fmptd 7067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
53	3, 22, 52	rlimclim 15508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
54	50, 53	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
55		caucvg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	3, 51	climmpt 15533	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
57	22, 55, 56	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
58	54, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
59		climrel 15454	. . 3 ⊢ Rel ⇝
60	59	releldmi 5904	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
61	58, 60	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  supcsup 9353  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝ cli 15446   ⇝_𝑟 crli 15447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  caucvgb  15642  cvgcmpce  15781  ulmcau  26360  dchrisumlem3  27454  rrncmslem  38153