MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 15569
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caucvg.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
caucvg.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)
caucvg.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
21cbvmptv 5219 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 uzssz 12789 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
53, 4eqsstri 3979 . . . . . . . . 9 𝑍 βŠ† β„€
6 zssre 12511 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
75, 6sstri 3954 . . . . . . . 8 𝑍 βŠ† ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
102eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
119, 10fmptd 7063 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)):π‘βŸΆβ„‚)
12 1rp 12924 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 4298 . . . . . . . . . 10 ℝ+ β‰  βˆ…
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)
15 r19.2z 4453 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)
1613, 14, 15sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)
17 eluzel2 12773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1817, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€))
2019rexlimiv 3142 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2120rexlimivw 3145 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
233uzsup 13774 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
265sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
27 eluz 12782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↔ 𝑗 ≀ π‘˜))
2825, 26, 27syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↔ 𝑗 ≀ π‘˜))
2928biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
30 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))
32 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
34 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘—))
3534, 31, 32fvmpt3i 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
3633, 35oveqan12rd 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))
3736fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
3837breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
3938biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))
4029, 39imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯)))
4140ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))))
4342ralimdv2 3157 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯)))
4443reximia 3081 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))
4544ralimi 3083 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘—))) < π‘₯))
478, 11, 24, 46caucvgr 15566 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ∈ dom β‡π‘Ÿ )
4811, 24rlimdm 15439 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
4947, 48mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
502, 49eqbrtrid 5141 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
51 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
529, 51fmptd 7063 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):π‘βŸΆβ„‚)
533, 22, 52rlimclim 15434 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
5450, 53mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
55 caucvg.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
563, 51climmpt 15459 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
5722, 55, 56syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
5854, 57mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
59 climrel 15380 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5904 . 2 (𝐹 ⇝ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  abscabs 15125   ⇝ cli 15372   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  caucvgb  15570  cvgcmpce  15708  ulmcau  25770  dchrisumlem3  26855  rrncmslem  36337
  Copyright terms: Public domain W3C validator