Theorem caucvg 15661

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
caucvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
2	1	cbvmptv 5262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 4011	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12598	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	2	eqcomi 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
11	9, 10	fmptd 7123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12		1rp 13013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13	12	ne0ii 4337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
15		r19.2z 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
16	13, 14, 15	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
17		eluzel2 12860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 3	eleq2s 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
20	19	rexlimiv 3137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	rexlimivw 3140	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	3	uzsup 13864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
25	5	sseli 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
26	5	sseli 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
27		eluz 12869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
28	25, 26, 27	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
29	28	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
30		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
31		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
32		fvex 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑛) ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		fveq2 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
35	34, 31, 32	fvmpt3i 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	33, 35	oveqan12rd 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
37	36	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
38	37	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
43	42	ralimdv2 3152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
44	43	reximia 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
45	44	ralimi 3072	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 15658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	11, 24	rlimdm 15531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
49	47, 48	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
50	2, 49	eqbrtrid 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
51		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
52	9, 51	fmptd 7123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
53	3, 22, 52	rlimclim 15526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
54	50, 53	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
55		caucvg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	3, 51	climmpt 15551	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
57	22, 55, 56	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
58	54, 57	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
59		climrel 15472	. . 3 ⊢ Rel ⇝
60	59	releldmi 5950	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
61	58, 60	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5678  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  ℂcc 11138  ℝcr 11139  1c1 11141  +∞cpnf 11277  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ℝ⁺crp 13009  abscabs 15217   ⇝ cli 15464   ⇝_𝑟 crli 15465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469

This theorem is referenced by:  caucvgb  15662  cvgcmpce  15800  ulmcau  26376  dchrisumlem3  27469  rrncmslem  37436