MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 14857
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucvg.2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6530 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
21cbvmptv 5055 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12102 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3917 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 11825 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3893 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
102eqcomi 2802 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
119, 10fmptd 6732 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12 1rp 12232 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 4217 . . . . . . . . . 10 + ≠ ∅
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
15 r19.2z 4348 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1613, 14, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
17 eluzel2 12087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817, 3eleq2s 2899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
2019rexlimiv 3240 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2120rexlimivw 3242 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
233uzsup 13069 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
265sseli 3880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
27 eluz 12096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2825, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2928biimprd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
30 fveq2 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
31 eqid 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
32 fvex 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 fveq2 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
3534, 31, 32fvmpt3i 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
3633, 35oveqan12rd 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
3736fveq2d 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3837breq1d 4966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938biimprd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4029, 39imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4342ralimdv2 3141 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4443reximia 3204 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4544ralimi 3125 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
478, 11, 24, 46caucvgr 14854 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
4811, 24rlimdm 14730 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
4947, 48mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
502, 49eqbrtrid 4991 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
51 eqid 2793 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
529, 51fmptd 6732 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
533, 22, 52rlimclim 14725 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5450, 53mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
55 caucvg.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
563, 51climmpt 14750 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5722, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5854, 57mpbird 258 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
59 climrel 14671 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5692 . 2 (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wral 3103  wrex 3104  wss 3854  c0 4206   class class class wbr 4956  cmpt 5035  dom cdm 5435  cfv 6217  (class class class)co 7007  supcsup 8740  cc 10370  cr 10371  1c1 10373  +∞cpnf 10507  *cxr 10509   < clt 10510  cle 10511  cmin 10706  cz 11818  cuz 12082  +crp 12228  abscabs 14415  cli 14663  𝑟 crli 14664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-ico 12583  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668
This theorem is referenced by:  caucvgb  14858  cvgcmpce  14994  ulmcau  24654  dchrisumlem3  25737  rrncmslem  34588
  Copyright terms: Public domain W3C validator