MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 14694
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucvg.2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
21cbvmptv 4909 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 11906 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3795 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 11631 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3770 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
102eqcomi 2774 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
119, 10fmptd 6574 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12 1rp 12032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 4088 . . . . . . . . . 10 + ≠ ∅
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
15 r19.2z 4219 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1613, 14, 15sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
17 eluzel2 11891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817, 3eleq2s 2862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
2019rexlimiv 3174 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2120rexlimivw 3176 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
233uzsup 12870 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
265sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
27 eluz 11900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2825, 26, 27syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2928biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
30 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
31 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
32 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
3534, 31, 32fvmpt3i 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
3633, 35oveqan12rd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
3736fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3837breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4029, 39imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4342ralimdv2 3108 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4443reximia 3155 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4544ralimi 3099 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
478, 11, 24, 46caucvgr 14691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
4811, 24rlimdm 14567 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
4947, 48mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
502, 49syl5eqbr 4844 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
51 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
529, 51fmptd 6574 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
533, 22, 52rlimclim 14562 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5450, 53mpbid 223 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
55 caucvg.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
563, 51climmpt 14587 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5722, 55, 56syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5854, 57mpbird 248 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
59 climrel 14508 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5531 . 2 (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cc 10187  cr 10188  1c1 10190  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  abscabs 14259  cli 14500  𝑟 crli 14501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505
This theorem is referenced by:  caucvgb  14695  cvgcmpce  14834  ulmcau  24440  dchrisumlem3  25471  rrncmslem  34053
  Copyright terms: Public domain W3C validator