Theorem caucvg 15607

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
caucvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
2	1	cbvmptv 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3944	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	2	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
11	9, 10	fmptd 7061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12		1rp 12914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13	12	ne0ii 4297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
15		r19.2z 4453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
16	13, 14, 15	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
17		eluzel2 12761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 3	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
20	19	rexlimiv 3131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	rexlimivw 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	3	uzsup 13788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
25	5	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
26	5	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
27		eluz 12770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
28	25, 26, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
30		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
32		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑛) ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 6948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
35	34, 31, 32	fvmpt3i 6948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	33, 35	oveqan12rd 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
37	36	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
38	37	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
43	42	ralimdv2 3146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
44	43	reximia 3072	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
45	44	ralimi 3074	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 15604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	11, 24	rlimdm 15479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
49	47, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
50	2, 49	eqbrtrid 5134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
51		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
52	9, 51	fmptd 7061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
53	3, 22, 52	rlimclim 15474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
54	50, 53	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
55		caucvg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	3, 51	climmpt 15499	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
57	22, 55, 56	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
58	54, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
59		climrel 15420	. . 3 ⊢ Rel ⇝
60	59	releldmi 5898	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
61	58, 60	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9348  ℂcc 11029  ℝcr 11030  1c1 11032  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℤcz 12493  ℤ_≥cuz 12756  ℝ⁺crp 12910  abscabs 15162   ⇝ cli 15412   ⇝_𝑟 crli 15413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-ico 13272  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417

This theorem is referenced by:  caucvgb  15608  cvgcmpce  15746  ulmcau  26365  dchrisumlem3  27463  rrncmslem  38046