Theorem caucvg 15652

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
caucvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
2	1	cbvmptv 5214	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3959	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	2	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
11	9, 10	fmptd 7089	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12		1rp 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13	12	ne0ii 4310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
15		r19.2z 4461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
17		eluzel2 12805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 3	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
20	19	rexlimiv 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	rexlimivw 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	3	uzsup 13832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
25	5	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
26	5	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
27		eluz 12814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
30		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
31		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
32		fvex 6874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑛) ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 6976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
35	34, 31, 32	fvmpt3i 6976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	33, 35	oveqan12rd 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
37	36	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
38	37	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
43	42	ralimdv2 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
44	43	reximia 3065	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
45	44	ralimi 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 15649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	11, 24	rlimdm 15524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
49	47, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
50	2, 49	eqbrtrid 5145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
51		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
52	9, 51	fmptd 7089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
53	3, 22, 52	rlimclim 15519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
54	50, 53	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
55		caucvg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	3, 51	climmpt 15544	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
57	22, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
58	54, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
59		climrel 15465	. . 3 ⊢ Rel ⇝
60	59	releldmi 5915	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
61	58, 60	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207   ⇝ cli 15457   ⇝_𝑟 crli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  caucvgb  15653  cvgcmpce  15791  ulmcau  26311  dchrisumlem3  27409  rrncmslem  37833