MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 15661
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucvg.2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
21cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12876 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 4011 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 12598 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3986 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
102eqcomi 2734 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
119, 10fmptd 7123 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12 1rp 13013 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 4337 . . . . . . . . . 10 + ≠ ∅
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
15 r19.2z 4496 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1613, 14, 15sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
17 eluzel2 12860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817, 3eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
2019rexlimiv 3137 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2120rexlimivw 3140 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
233uzsup 13864 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
265sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
27 eluz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2825, 26, 27syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2928biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
30 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
32 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
3534, 31, 32fvmpt3i 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
3633, 35oveqan12rd 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
3736fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3837breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4029, 39imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4342ralimdv2 3152 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4443reximia 3070 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4544ralimi 3072 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
478, 11, 24, 46caucvgr 15658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
4811, 24rlimdm 15531 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
4947, 48mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
502, 49eqbrtrid 5184 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
51 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
529, 51fmptd 7123 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
533, 22, 52rlimclim 15526 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5450, 53mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
55 caucvg.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
563, 51climmpt 15551 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5722, 55, 56syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5854, 57mpbird 256 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
59 climrel 15472 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5950 . 2 (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cc 11138  cr 11139  1c1 11141  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  cli 15464  𝑟 crli 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469
This theorem is referenced by:  caucvgb  15662  cvgcmpce  15800  ulmcau  26376  dchrisumlem3  27469  rrncmslem  37436
  Copyright terms: Public domain W3C validator