Theorem caucvg 15621

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
caucvg	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
2	1	cbvmptv 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		uzssz 12790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
5	3, 4	eqsstri 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
6		zssre 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
7	5, 6	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	2	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
11	9, 10	fmptd 7068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12		1rp 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13	12	ne0ii 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
15		r19.2z 4454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
17		eluzel2 12774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 3	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ))
20	19	rexlimiv 3127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	rexlimivw 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	3	uzsup 13801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
25	5	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
26	5	sseli 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
27		eluz 12783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
30		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))
32		fvex 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑛) ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑗))
35	34, 31, 32	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	33, 35	oveqan12rd 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
37	36	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
38	37	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
43	42	ralimdv2 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
44	43	reximia 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
45	44	ralimi 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 15618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	11, 24	rlimdm 15493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
49	47, 48	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
50	2, 49	eqbrtrid 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
51		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
52	9, 51	fmptd 7068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑍⟶ℂ)
53	3, 22, 52	rlimclim 15488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
54	50, 53	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
55		caucvg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	3, 51	climmpt 15513	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
57	22, 55, 56	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛)))))
58	54, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))))
59		climrel 15434	. . 3 ⊢ Rel ⇝
60	59	releldmi 5901	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
61	58, 60	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  supcsup 9367  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  abscabs 15176   ⇝ cli 15426   ⇝_𝑟 crli 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431

This theorem is referenced by:  caucvgb  15622  cvgcmpce  15760  ulmcau  26337  dchrisumlem3  27435  rrncmslem  37819