MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 15715
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucvg.2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
21cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 12899 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 12620 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3993 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
102eqcomi 2746 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
119, 10fmptd 7134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12 1rp 13038 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 4344 . . . . . . . . . 10 + ≠ ∅
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
15 r19.2z 4495 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1613, 14, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
17 eluzel2 12883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817, 3eleq2s 2859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
2019rexlimiv 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2120rexlimivw 3151 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
233uzsup 13903 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
265sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
27 eluz 12892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2825, 26, 27syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2928biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
30 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
32 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
3534, 31, 32fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
3633, 35oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
3736fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3837breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4029, 39imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4241com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4342ralimdv2 3163 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4443reximia 3081 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4544ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
478, 11, 24, 46caucvgr 15712 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
4811, 24rlimdm 15587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
4947, 48mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
502, 49eqbrtrid 5178 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
51 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
529, 51fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
533, 22, 52rlimclim 15582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5450, 53mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
55 caucvg.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
563, 51climmpt 15607 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5722, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5854, 57mpbird 257 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
59 climrel 15528 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5959 . 2 (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  caucvgb  15716  cvgcmpce  15854  ulmcau  26438  dchrisumlem3  27535  rrncmslem  37839
  Copyright terms: Public domain W3C validator