Theorem caurcvg2 15034

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvg2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12394	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	ne0ii 4303	. . 3 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
3		caurcvg2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
4		r19.2z 4440	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
6		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	ralimi 3160	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
11	10	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
12	11	rspccva 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
13	9, 12	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
15		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑚))
16		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑚))
17	16	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚)))
18	17	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))))
19	18	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
20	19	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
21	15, 20	raleqbidv 3401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
22	21	cbvrexvw 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
23		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
24	23	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
25	23	fvoveq1d 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
26	25	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
27	24, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
29		recn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	28, 31	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	32	reximi 3243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
34	22, 33	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
35	34	ralimi 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
37	36	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
38		caucvg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
39	38, 8	cau4 14716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
40	39	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
41	37, 40	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
42		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
43	8	uztrn2 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
44		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
45		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))
46		fvex 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑖) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
49		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
50		fvex 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
51	49, 45, 50	fvmpt 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
52	51	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
53	48, 52	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚)))
54	53	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
55	54	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	42, 55	syl5ibr 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
57	56	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
58	57	reximia 3242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
59	58	ralimi 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
61	8, 14, 60	caurcvg 15033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
62		eluzelz 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
63	62, 38	eleq2s 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65		caurcvg2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	65	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
67		fveq2 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
68	67	cbvmptv 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))
69	8, 68	climmpt 14928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
70	64, 66, 69	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
71	61, 70	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
72		climrel 14849	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⇝
73	72	releldmi 5818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
74	71, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
75	74	expr 459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
76	7, 75	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
77	76	rexlimdva 3284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
78	77	rexlimdvw 3290	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
79	5, 78	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∅c0 4291   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  1c1 10538   < clt 10675   − cmin 10870  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390  abscabs 14593  lim supclsp 14827   ⇝ cli 14841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846

This theorem is referenced by:  iseralt  15041  cvgcmp  15171