Theorem caurcvg2 15850

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvg2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13127	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	ne0ii 4289	. . 3 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
3		caurcvg2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
4		r19.2z 4454	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	ralimi 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
11	10	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
12	11	rspccva 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
13	9, 12	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
15		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑚))
16		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑚))
17	16	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚)))
18	17	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))))
19	18	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
20	19	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
21	15, 20	raleqbidv 3334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
22	21	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
23		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
24	23	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
25	23	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
26	25	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
27	24, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
29		recn 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	28, 31	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	32	reximi 3100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
34	22, 33	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
35	34	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
36	3, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
38		caucvg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
39	38, 8	cau4 15529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
40	39	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
43	8	uztrn2 12987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
44		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))
46		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑖) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48	43, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
49		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
50		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
51	49, 45, 50	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
53	48, 52	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚)))
54	53	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
55	54	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	42, 55	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
57	56	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
58	57	reximia 3097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
59	58	ralimi 3099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
60	41, 59	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
61	8, 14, 60	caurcvg 15849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
62		eluzelz 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
63	62, 38	eleq2s 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65		caurcvg2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
67		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
68	67	cbvmptv 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))
69	8, 68	climmpt 15743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
70	64, 66, 69	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
71	61, 70	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
72		climrel 15664	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⇝
73	72	releldmi 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
74	71, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
75	74	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
76	7, 75	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
77	76	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
78	77	rexlimdvw 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
79	5, 78	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  1c1 11204   < clt 11346   − cmin 11544  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ℝ⁺crp 13123  abscabs 15406  lim supclsp 15642   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661

This theorem is used by:  iseralt  15857  cvgcmp  15988