Theorem caurcvg2 15699

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvg2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13017	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	ne0ii 4324	. . 3 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
3		caurcvg2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
4		r19.2z 4475	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	ralimi 3074	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
11	10	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
12	11	rspccva 3605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
13	9, 12	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 7110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
15		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑚))
16		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑚))
17	16	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚)))
18	17	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))))
19	18	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
20	19	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
21	15, 20	raleqbidv 3329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
22	21	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
23		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
24	23	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
25	23	fvoveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
26	25	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
27	24, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
29		recn 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	28, 31	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	32	reximi 3075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
34	22, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
35	34	ralimi 3074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
38		caucvg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
39	38, 8	cau4 15380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
40	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
41	37, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
43	8	uztrn2 12876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
44		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))
46		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑖) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
49		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
50		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
51	49, 45, 50	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
53	48, 52	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚)))
54	53	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
55	54	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	42, 55	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
57	56	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
58	57	reximia 3072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
59	58	ralimi 3074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
61	8, 14, 60	caurcvg 15698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
62		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
63	62, 38	eleq2s 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65		caurcvg2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
67		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
68	67	cbvmptv 5230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))
69	8, 68	climmpt 15592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
70	64, 66, 69	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
71	61, 70	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
72		climrel 15513	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⇝
73	72	releldmi 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
74	71, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
75	74	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
76	7, 75	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
77	76	rexlimdva 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
78	77	rexlimdvw 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
79	5, 78	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   < clt 11274   − cmin 11471  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  abscabs 15258  lim supclsp 15491   ⇝ cli 15505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510

This theorem is referenced by:  iseralt  15706  cvgcmp  15837