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Theorem caurcvg2 15626
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caurcvg2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caurcvg2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables 𝑖 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12980 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4337 . . 3 ℝ+ β‰  βˆ…
3 caurcvg2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
4 r19.2z 4494 . . 3 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
52, 3, 4sylancr 587 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
6 simpl 483 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
76ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
9 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1110eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ))
1211rspccva 3611 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
139, 12sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7116 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘š β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘š))
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘š))
1716oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š)))
1817fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
1918breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = π‘š β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
2019anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2115, 20raleqbidv 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = π‘š β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2221cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘–))
2423eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ))
2523fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
2625breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
2724, 26anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2827cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
29 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
3029anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3130ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3228, 31sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3332reximi 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3422, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3534ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
38 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3938, 8cau4 15305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
4137, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
438uztrn2 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
44 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘–))
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))
46 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΉβ€˜π‘–) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
50 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
5149, 45, 50fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
5348, 52oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š)))
5453fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
5554breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
5642, 55imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯))
5756ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯))
5857reximia 3081 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
5958ralimi 3083 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
618, 14, 60caurcvg 15625 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
62 eluzelz 12834 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
6362, 38eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
6463ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
65 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
67 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
6867cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
698, 68climmpt 15517 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
7064, 66, 69syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
7161, 70mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
72 climrel 15438 . . . . . . . 8 Rel ⇝
7372releldmi 5947 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7471, 73syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7574expr 457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
767, 75syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7776rexlimdva 3155 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7877rexlimdvw 3160 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
795, 78mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  abscabs 15183  lim supclsp 15416   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435
This theorem is referenced by:  iseralt  15633  cvgcmp  15764
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