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Theorem caurcvg2 15013
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg2.2 (𝜑𝐹𝑉)
caurcvg2.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvg2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12371 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4276 . . 3 + ≠ ∅
3 caurcvg2.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4 r19.2z 4413 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
52, 3, 4sylancr 590 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
6 simpl 486 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76ralimi 3148 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1110eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
1211rspccva 3599 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
139, 12sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
1413fmpttd 6852 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
15 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑚))
16 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑚 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑚))
1716oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚)))
1817fveq2d 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))))
1918breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2019anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2115, 20raleqbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2221cbvrexvw 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
23 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2423eleq1d 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℝ))
2523fvoveq1d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
2625breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2724, 26anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2827cbvralvw 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
29 recn 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑖) ∈ ℝ → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3029anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3130ralimi 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3228, 31sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3332reximi 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3422, 33sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3534ralimi 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3736adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
38 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
3938, 8cau4 14695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4137, 40mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
42 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
438uztrn2 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))
44 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
45 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))
46 fvex 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑖) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
49 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
50 fvex 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑚) ∈ V
5149, 45, 50fvmpt 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5251adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5348, 52oveq12d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚)))
5453fveq2d 6647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
5554breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
5642, 55syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5756ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5857reximia 3230 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
5958ralimi 3148 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
618, 14, 60caurcvg 15012 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
62 eluzelz 12231 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6362, 38eleq2s 2930 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑉)
6665adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹𝑉)
67 fveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
6867cbvmptv 5142 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑘))
698, 68climmpt 14907 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7064, 66, 69syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7161, 70mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
72 climrel 14828 . . . . . . . 8 Rel ⇝
7372releldmi 5791 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7471, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7574expr 460 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
767, 75syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7776rexlimdva 3270 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7877rexlimdvw 3276 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
795, 78mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  c0 4266   class class class wbr 5039  cmpt 5119  dom cdm 5528  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  1c1 10515   < clt 10652  cmin 10847  cz 11959  cuz 12221  +crp 12367  abscabs 14572  lim supclsp 14806  cli 14820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825
This theorem is referenced by:  iseralt  15020  cvgcmp  15150
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