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Theorem caurcvg2 15568
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caurcvg2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caurcvg2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐹   𝑗,𝑀,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables 𝑖 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12924 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4298 . . 3 ℝ+ β‰  βˆ…
3 caurcvg2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
4 r19.2z 4453 . . 3 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
52, 3, 4sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
6 simpl 484 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
76ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
9 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
1110eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ))
1211rspccva 3579 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
139, 12sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
15 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘š β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘š))
16 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘š))
1716oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š)))
1817fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = π‘š β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
1918breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = π‘š β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
2019anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2115, 20raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = π‘š β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2221cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
23 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘–))
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ))
2523fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
2625breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
2724, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
2827cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
29 recn 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
3029anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3130ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3228, 31sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3332reximi 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3422, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3534ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
38 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3938, 8cau4 15247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
4137, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)
438uztrn2 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
44 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘–))
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))
46 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΉβ€˜π‘–) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
4843, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
49 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
50 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
5149, 45, 50fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
5348, 52oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š)) = ((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š)))
5453fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))))
5554breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
5642, 55syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ (absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯))
5756ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯))
5857reximia 3081 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
5958ralimi 3083 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘–) βˆ’ (πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(absβ€˜(((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘–) βˆ’ ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))β€˜π‘š))) < π‘₯)
618, 14, 60caurcvg 15567 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
62 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
6362, 38eleq2s 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
65 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
6665adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
67 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
6867cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
698, 68climmpt 15459 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
7064, 66, 69syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›)))))
7161, 70mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))))
72 climrel 15380 . . . . . . . 8 Rel ⇝
7372releldmi 5904 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (πΉβ€˜π‘›))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7471, 73syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7574expr 458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
767, 75syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7776rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7877rexlimdvw 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
795, 78mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  abscabs 15125  lim supclsp 15358   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  iseralt  15575  cvgcmp  15706
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