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Theorem caurcvg2 14615
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caurcvg2.2 (𝜑𝐹𝑉)
caurcvg2.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvg2 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12038 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4072 . . 3 + ≠ ∅
3 caurcvg2.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4 r19.2z 4202 . . 3 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
52, 3, 4sylancr 575 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
6 simpl 468 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
76ralimi 3101 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
9 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1110eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
1211rspccva 3459 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
139, 12sylan 569 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
14 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))
1513, 14fmptd 6529 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
16 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑚))
17 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑚 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑚))
1817oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚)))
1918fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))))
2019breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2120anbi2d 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2216, 21raleqbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2322cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
24 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2524eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑖) ∈ ℝ))
2624fvoveq1d 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
2726breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
2825, 27anbi12d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
2928cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
30 recn 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑖) ∈ ℝ → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
3130anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3231ralimi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3329, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3433reximi 3159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3523, 34sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3635ralimi 3101 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
373, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
3837adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
39 caucvg.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
4039, 8cau4 14303 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4140ad2antrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)))
4238, 41mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
43 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥)
448uztrn2 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))
45 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑖 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
46 fvex 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑖) ∈ V
4745, 14, 46fvmpt 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
49 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
50 fvex 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑚) ∈ V
5149, 14, 50fvmpt 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
5348, 52oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚)))
5453fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))))
5554breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥))
5643, 55syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5756ralimdva 3111 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
5857reximia 3157 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
5958ralimi 3101 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − (𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
6042, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
618, 15, 60caurcvg 14614 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
62 eluzelz 11902 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6362, 39eleq2s 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
6463ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65 caurcvg2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝑉)
6665adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹𝑉)
67 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
6867cbvmptv 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑘))
698, 68climmpt 14509 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7064, 66, 69syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛)))))
7161, 70mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))))
72 climrel 14430 . . . . . . . 8 Rel ⇝
7372releldmi 5499 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7471, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7574expr 444 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
767, 75syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7776rexlimdva 3179 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
7877rexlimdvw 3182 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
795, 78mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  c0 4063   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  1c1 10142   < clt 10279  cmin 10471  cz 11583  cuz 11892  +crp 12034  abscabs 14181  lim supclsp 14408  cli 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-sup 8507  df-inf 8508  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427
This theorem is referenced by:  iseralt  14622  cvgcmp  14754
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