Theorem caurcvg2 15755

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caurcvg2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
caurcvg2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvg2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem caurcvg2

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13038	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	ne0ii 4300	. . 3 ⊢ ℝ+ ≠ ∅
3		caurcvg2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
4		r19.2z 4465	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
7	6	ralimi 3105	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
9		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
11	10	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
12	11	rspccva 3583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
13	9, 12	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 7117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
15		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑚))
16		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑚))
17	16	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚)))
18	17	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))))
19	18	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
20	19	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
21	15, 20	raleqbidv 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
22	21	cbvrexvw 3247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
23		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
24	23	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
25	23	fvoveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
26	25	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
27	24, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
29		recn 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
30	29	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31	30	ralimi 3105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
32	28, 31	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
33	32	reximi 3106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
34	22, 33	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
35	34	ralimi 3105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
36	3, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
38		caucvg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
39	38, 8	cau4 15434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
40	39	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥)
43	8	uztrn2 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
44		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
45		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))
46		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑖) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48	43, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
49		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
50		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
51	49, 45, 50	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
53	48, 52	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚)) = ((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚)))
54	53	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) = (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))))
55	54	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	42, 55	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
57	56	ralimdva 3180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥))
58	57	reximia 3103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
59	58	ralimi 3105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑖) − (𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
60	41, 59	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘(((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑖) − ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))‘𝑚))) < 𝑥)
61	8, 14, 60	caurcvg 15754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
62		eluzelz 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
63	62, 38	eleq2s 2884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
65		caurcvg2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ 𝑉)
67		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
68	67	cbvmptv 5220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))
69	8, 68	climmpt 15648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
70	64, 66, 69	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛)))))
71	61, 70	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))))
72		climrel 15569	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⇝
73	72	releldmi 5943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐹‘𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
74	71, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
75	74	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
76	7, 75	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
77	76	rexlimdva 3169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
78	77	rexlimdvw 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
79	5, 78	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ∅c0 4289   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   < clt 11261   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311  lim supclsp 15547   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566

This theorem is used by:  iseralt  15762  cvgcmp  15894