Theorem cplem1 9791

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9793. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2	⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 9788	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2		cplem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
3	2	eqeq1i 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
5	4	necon3bii 2981	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6		n0 4302	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
8	2	ssrab3 4031	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵))
11		ssiun2 5000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
12		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶
13	11, 12	sseqtrrdi 3972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
14	13	sseld 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐷))
15	10, 14	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)))
16		inelcm 4414	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
19	7, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
20	19	rgen 3050	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  {crab 3396   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ ciun 4943  ‘cfv 6488  rankcrnk 9665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-r1 9666  df-rank 9667

This theorem is referenced by:  cplem2  9792