MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem1 9822
Description: Lemma for the Collection Principle cp 9824. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
Assertion
Ref Expression
cplem1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 9819 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2 cplem1.1 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
32eqeq1i 2741 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
41, 3bitr4i 277 . . . . 5 (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
54necon3bii 2995 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6 n0 4305 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
75, 6bitri 274 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
82ssrab3 4039 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
98sseli 3939 . . . . . . 7 (𝑤𝐶𝑤𝐵)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐵))
11 ssiun2 5006 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝐶)
12 cplem1.2 . . . . . . . 8 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
1311, 12sseqtrrdi 3994 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐶𝐷)
1413sseld 3942 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐷))
1510, 14jcad 513 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝑤𝐵𝑤𝐷)))
16 inelcm 4423 . . . . 5 ((𝑤𝐵𝑤𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
1715, 16syl6 35 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
1817exlimdv 1936 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
197, 18biimtrid 241 . 2 (𝑥𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
2019rgen 3065 1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2942  wral 3063  {crab 3406  cin 3908  wss 3909  c0 4281   ciun 4953  cfv 6494  rankcrnk 9696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-r1 9697  df-rank 9698
This theorem is referenced by:  cplem2  9823
  Copyright terms: Public domain W3C validator