Theorem cplem1 9802

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9804. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2	⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 9799	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2		cplem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
3	2	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
5	4	necon3bii 2985	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6		n0 4294	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
8	2	ssrab3 4023	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵))
11		ssiun2 4991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
12		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶
13	11, 12	sseqtrrdi 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
14	13	sseld 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐷))
15	10, 14	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)))
16		inelcm 4406	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
19	7, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
20	19	rgen 3054	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934  ‘cfv 6490  rankcrnk 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-r1 9677  df-rank 9678

This theorem is referenced by:  cplem2  9803