MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem1 8967
Description: Lemma for the Collection Principle cp 8969. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
Assertion
Ref Expression
cplem1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 8964 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2 cplem1.1 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
32eqeq1i 2770 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
41, 3bitr4i 269 . . . . 5 (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
54necon3bii 2989 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6 n0 4095 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
75, 6bitri 266 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
8 ssrab2 3847 . . . . . . . . 9 {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} ⊆ 𝐵
92, 8eqsstri 3795 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
109sseli 3757 . . . . . . 7 (𝑤𝐶𝑤𝐵)
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐵))
12 ssiun2 4719 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝐶)
13 cplem1.2 . . . . . . . 8 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
1412, 13syl6sseqr 3812 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐶𝐷)
1514sseld 3760 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐷))
1611, 15jcad 508 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝑤𝐵𝑤𝐷)))
17 inelcm 4193 . . . . 5 ((𝑤𝐵𝑤𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
1816, 17syl6 35 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
1918exlimdv 2028 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
207, 19syl5bi 233 . 2 (𝑥𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
2120rgen 3069 1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cin 3731  wss 3732  c0 4079   ciun 4676  cfv 6068  rankcrnk 8841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-r1 8842  df-rank 8843
This theorem is referenced by:  cplem2  8968
  Copyright terms: Public domain W3C validator