Theorem cplem1 9889

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9893. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9876	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ Scott 𝐵 = ∅)
2	1	necon3bii 3013	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐵 ≠ ∅)
3		n0 4310	. . . 4 ⊢ (Scott 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
5		scottss 9874	. . . . . . . 8 ⊢ Scott 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	sseli 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
8		ssiun2 5017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵)
9		cplem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
10	8, 9	sseqtrrdi 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ 𝐶)
11	10	sseld 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
12	7, 11	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13		inelcm 4428	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
14	12, 13	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
15	14	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
16	4, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
17	16	rgen 3084	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  ∪ ciun 4961  Scott cscott 9867

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868

This theorem is used by:  cplem2  9891