Theorem cplem1 9931

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9935. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9918	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ Scott 𝐵 = ∅)
2	1	necon3bii 3008	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐵 ≠ ∅)
3		n0 4300	. . . 4 ⊢ (Scott 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
5		scottss 9916	. . . . . . . 8 ⊢ Scott 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
8		ssiun2 5006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵)
9		cplem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
10	8, 9	sseqtrrdi 3972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ 𝐶)
11	10	sseld 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
12	7, 11	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13		inelcm 4418	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
14	12, 13	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
15	14	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
16	4, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
17	16	rgen 3079	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Scott cscott 9909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910

This theorem is used by:  cplem2  9933