Theorem cplem1 9980

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9984. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9967	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ Scott 𝐵 = ∅)
2	1	necon3bii 3011	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐵 ≠ ∅)
3		n0 4303	. . . 4 ⊢ (Scott 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
5		scottss 9965	. . . . . . . 8 ⊢ Scott 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	sseli 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
8		ssiun2 5009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵)
9		cplem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
10	8, 9	sseqtrrdi 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ 𝐶)
11	10	sseld 3912	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
12	7, 11	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13		inelcm 4421	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
14	12, 13	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
15	14	exlimdv 1968	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
16	4, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
17	16	rgen 3082	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ∪ ciun 4954  Scott cscott 9958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9798  df-rank 9799  df-scott 9959

This theorem is used by:  cplem2  9982