Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem1 9306
 Description: Lemma for the Collection Principle cp 9308. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
Assertion
Ref Expression
cplem1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 9303 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2 cplem1.1 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
32eqeq1i 2806 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
41, 3bitr4i 281 . . . . 5 (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
54necon3bii 3042 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6 n0 4263 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
75, 6bitri 278 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
82ssrab3 4011 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
98sseli 3914 . . . . . . 7 (𝑤𝐶𝑤𝐵)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐵))
11 ssiun2 4937 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝐶)
12 cplem1.2 . . . . . . . 8 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
1311, 12sseqtrrdi 3969 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐶𝐷)
1413sseld 3917 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐷))
1510, 14jcad 516 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝑤𝐵𝑤𝐷)))
16 inelcm 4375 . . . . 5 ((𝑤𝐵𝑤𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
1715, 16syl6 35 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
1817exlimdv 1934 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
197, 18syl5bi 245 . 2 (𝑥𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
2019rgen 3119 1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  {crab 3113   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ∪ ciun 4884  ‘cfv 6328  rankcrnk 9180 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-r1 9181  df-rank 9182 This theorem is referenced by:  cplem2  9307
 Copyright terms: Public domain W3C validator