Theorem cplem1 9842

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9844. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2	⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 9839	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2		cplem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
3	2	eqeq1i 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
5	4	necon3bii 2977	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6		n0 4316	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
8	2	ssrab3 4045	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵))
11		ssiun2 5011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
12		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶
13	11, 12	sseqtrrdi 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
14	13	sseld 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐷))
15	10, 14	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)))
16		inelcm 4428	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
19	7, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
20	19	rgen 3046	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∪ ciun 4955  ‘cfv 6511  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by:  cplem2  9843