Theorem cplem1 9893

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9897. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9880	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ Scott 𝐵 = ∅)
2	1	necon3bii 3009	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐵 ≠ ∅)
3		n0 4303	. . . 4 ⊢ (Scott 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
5		scottss 9878	. . . . . . . 8 ⊢ Scott 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	sseli 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
8		ssiun2 5010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵)
9		cplem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
10	8, 9	sseqtrrdi 3975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ 𝐶)
11	10	sseld 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
12	7, 11	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13		inelcm 4421	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
14	12, 13	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
15	14	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
16	4, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
17	16	rgen 3080	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ∪ ciun 4954  Scott cscott 9871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872

This theorem is used by:  cplem2  9895