Theorem cplem1 9813

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9815. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2	⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 9810	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2		cplem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
3	2	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
5	4	necon3bii 2984	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6		n0 4293	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
8	2	ssrab3 4022	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵))
11		ssiun2 4990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
12		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶
13	11, 12	sseqtrrdi 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
14	13	sseld 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐷))
15	10, 14	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)))
16		inelcm 4405	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
19	7, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
20	19	rgen 3053	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ ciun 4933  ‘cfv 6498  rankcrnk 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-r1 9688  df-rank 9689

This theorem is referenced by:  cplem2  9814