Theorem cplem1 9954

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9958. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0b 9941	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ Scott 𝐵 = ∅)
2	1	necon3bii 3007	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ Scott 𝐵 ≠ ∅)
3		n0 4299	. . . 4 ⊢ (Scott 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
4	2, 3	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵)
5		scottss 9939	. . . . . . . 8 ⊢ Scott 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	sseli 3904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
8		ssiun2 5005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵)
9		cplem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
10	8, 9	sseqtrrdi 3949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → Scott 𝐵 ⊆ 𝐶)
11	10	sseld 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
12	7, 11	jcad 522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13		inelcm 4417	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
14	12, 13	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
15	14	exlimdv 1965	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
16	4, 15	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
17	16	rgen 3078	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ∪ ciun 4950  Scott cscott 9932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-r1 9772  df-rank 9773  df-scott 9933

This theorem is used by:  cplem2  9956