Theorem cplem1 9890

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9892. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2	⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scott0 9887	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2		cplem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
3	2	eqeq1i 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
5	4	necon3bii 2992	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6		n0 4346	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
7	5, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶)
8	2	ssrab3 4080	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
9	8	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐵))
11		ssiun2 5050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
12		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶
13	11, 12	sseqtrrdi 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐷)
14	13	sseld 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ 𝐷))
15	10, 14	jcad 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)))
16		inelcm 4464	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)
17	15, 16	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
18	17	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
19	7, 18	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅))
20	19	rgen 3062	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3431   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ ciun 4997  ‘cfv 6543  rankcrnk 9764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-r1 9765  df-rank 9766

This theorem is referenced by:  cplem2  9891