MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cp 9308
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 9302 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3447 . . 3 𝑧 ∈ V
21cplem2 9307 . 2 𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3 abn0 4293 . . . . 5 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4 elin 3900 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤))
5 abid 2783 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ↔ 𝜑)
65anbi1i 626 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤) ↔ (𝜑𝑦𝑤))
7 ancom 464 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
84, 6, 73bitri 300 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
98exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
10 nfab1 2960 . . . . . . . 8 𝑦{𝑦𝜑}
11 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑦𝑤
1210, 11nfin 4146 . . . . . . 7 𝑦({𝑦𝜑} ∩ 𝑤)
1312n0f 4260 . . . . . 6 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤))
14 df-rex 3115 . . . . . 6 (∃𝑦𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
159, 13, 143bitr4i 306 . . . . 5 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑤 𝜑)
163, 15imbi12i 354 . . . 4 (({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1716ralbii 3136 . . 3 (∀𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1817exbii 1849 . 2 (∃𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
192, 18mpbi 233 1 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wex 1781  wcel 2112  {cab 2779  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  cin 3883  c0 4246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-r1 9181  df-rank 9182
This theorem is referenced by:  bnd  9309
  Copyright terms: Public domain W3C validator