MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cp 9828
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 9822 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3450 . . 3 𝑧 ∈ V
21cplem2 9827 . 2 𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3 abn0 4341 . . . . 5 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4 elin 3927 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤))
5 abid 2718 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ↔ 𝜑)
65anbi1i 625 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤) ↔ (𝜑𝑦𝑤))
7 ancom 462 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
84, 6, 73bitri 297 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
98exbii 1851 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
10 nfab1 2910 . . . . . . . 8 𝑦{𝑦𝜑}
11 nfcv 2908 . . . . . . . 8 𝑦𝑤
1210, 11nfin 4177 . . . . . . 7 𝑦({𝑦𝜑} ∩ 𝑤)
1312n0f 4303 . . . . . 6 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤))
14 df-rex 3075 . . . . . 6 (∃𝑦𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
159, 13, 143bitr4i 303 . . . . 5 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑤 𝜑)
163, 15imbi12i 351 . . . 4 (({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1716ralbii 3097 . . 3 (∀𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1817exbii 1851 . 2 (∃𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
192, 18mpbi 229 1 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  {cab 2714  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  cin 3910  c0 4283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9529  ax-inf2 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-r1 9701  df-rank 9702
This theorem is referenced by:  bnd  9829
  Copyright terms: Public domain W3C validator