Theorem cp 9964

Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick df-scott 9939 to collapse a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cp	⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
2	1	cplem2 9962	. 2 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3		abn0 4336	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4		elin 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
5		abid 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	5	anbi1i 636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
7		ancom 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
8	4, 6, 7	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
9	8	exbii 1880	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
10		nfab1 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ 𝜑}
11		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝑤
12	10, 11	nfin 4123	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤)
13	12	n0f 4298	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤))
14		df-rex 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
15	9, 13, 14	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)
16	3, 15	imbi12i 353	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
17	16	ralbii 3111	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
18	17	exbii 1880	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
19	2, 18	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 4091  ∅c0 4280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939

This theorem is used by:  bnd  9965