Theorem cp 9881

Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick df-scott 9856 to collapse a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cp	⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
2	1	cplem2 9879	. 2 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3		abn0 4340	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4		elin 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
5		abid 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	5	anbi1i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
7		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
8	4, 6, 7	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
9	8	exbii 1877	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
10		nfab1 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ 𝜑}
11		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝑤
12	10, 11	nfin 4176	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤)
13	12	n0f 4302	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤))
14		df-rex 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
15	9, 13, 14	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)
16	3, 15	imbi12i 353	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
17	16	ralbii 3110	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
18	17	exbii 1877	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
19	2, 18	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3903  ∅c0 4285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-r1 9734  df-rank 9735  df-scott 9856

This theorem is used by:  bnd  9882