Theorem cp 9820

Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 9814 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cp	⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3448	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
2	1	cplem2 9819	. 2 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3		abn0 4344	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4		elin 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
5		abid 2711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	5	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
7		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
8	4, 6, 7	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
9	8	exbii 1848	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
10		nfab1 2893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ 𝜑}
11		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝑤
12	10, 11	nfin 4183	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤)
13	12	n0f 4308	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤))
14		df-rex 3054	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
15	9, 13, 14	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)
16	3, 15	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
17	16	ralbii 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
18	17	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
19	2, 18	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910  ∅c0 4292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694

This theorem is referenced by:  bnd  9821