Theorem cp 9934

Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 9928 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cp	⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3466	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
2	1	cplem2 9933	. 2 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3		abn0 4385	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4		elin 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
5		abid 2707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	5	anbi1i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤))
7		ancom 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
8	4, 6, 7	3bitri 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
9	8	exbii 1843	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
10		nfab1 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∣ 𝜑}
11		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝑤
12	10, 11	nfin 4217	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤)
13	12	n0f 4345	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤))
14		df-rex 3061	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝜑))
15	9, 13, 14	3bitr4i 302	. . . . 5 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)
16	3, 15	imbi12i 349	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
17	16	ralbii 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
18	17	exbii 1843	. 2 ⊢ (∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 ({𝑦 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦 ∣ 𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑))
19	2, 18	mpbi 229	1 ⊢ ∃𝑤∀𝑥 ∈ 𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑤 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2703   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3946  ∅c0 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9635  ax-inf2 9684

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-r1 9807  df-rank 9808

This theorem is referenced by:  bnd  9935