Theorem deranglem 35364

Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deranglem	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9251	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2		f1of 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
4		elmapg 8779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐴))
5	3, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
6	5	abssdv 4008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
7		ssfi 9100	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
9	8	anidms 566	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ⊆ wss 3890  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  derangf  35366  derangenlem  35369  subfaclefac  35374  subfacp1lem3  35380  subfacp1lem5  35382  subfacp1lem6  35383