Theorem deranglem 35745

Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deranglem	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2		f1of 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
4		elmapg 8838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐴))
5	3, 4	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
6	5	abssdv 4015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
7		ssfi 9167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
9	8	anidms 577	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ⊆ wss 3899  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  derangf  35747  derangenlem  35750  subfaclefac  35755  subfacp1lem3  35761  subfacp1lem5  35763  subfacp1lem6  35764