Theorem deranglem 36098

Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deranglem	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2		f1of 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
4		elmapg 8887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐴))
5	3, 4	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
6	5	abssdv 3995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
7		ssfi 9216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
9	8	anidms 577	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ⊆ wss 3900  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-1o 8504  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005

This theorem is used by:  derangf  36100  derangenlem  36103  subfaclefac  36108  subfacp1lem3  36114  subfacp1lem5  36116  subfacp1lem6  36117