Theorem deranglem 33028

Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
deranglem	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2		f1of 6700	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
4		elmapg 8586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐴))
5	3, 4	syl5ibr 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
6	5	abssdv 3998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
7		ssfi 8918	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)
9	8	anidms 566	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ⊆ wss 3883  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  derangf  33030  derangenlem  33033  subfaclefac  33038  subfacp1lem3  33044  subfacp1lem5  33046  subfacp1lem6  33047