Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deranglem 35171
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑓
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 9388 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐴) ∈ Fin)
2 f1of 6848 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓:𝐴𝐴)
4 elmapg 8879 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐴))
53, 4imbitrrid 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴)))
65abssdv 4068 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴m 𝐴))
7 ssfi 9213 . . 3 (((𝐴m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
81, 6, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
98anidms 566 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  {cab 2714  wss 3951  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  derangf  35173  derangenlem  35176  subfaclefac  35181  subfacp1lem3  35187  subfacp1lem5  35189  subfacp1lem6  35190
  Copyright terms: Public domain W3C validator