Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deranglem 35150
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝐴,𝑓
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 9385 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐴) ∈ Fin)
2 f1of 6848 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓:𝐴𝐴)
4 elmapg 8877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐴))
53, 4imbitrrid 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑) → 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴)))
65abssdv 4077 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴m 𝐴))
7 ssfi 9211 . . 3 (((𝐴m 𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ⊆ (𝐴m 𝐴)) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
81, 6, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
98anidms 566 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝜑)} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  {cab 2711  wss 3962  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987
This theorem is referenced by:  derangf  35152  derangenlem  35155  subfaclefac  35160  subfacp1lem3  35166  subfacp1lem5  35168  subfacp1lem6  35169
  Copyright terms: Public domain W3C validator