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Theorem derangenlem 31752
Description: One half of derangen 31753. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangenlem ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables 𝑔 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 bren 8250 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 210 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
4 deranglem 31747 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
54adantl 475 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
6 f1oco 6413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
76ad2ant2lr 738 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
8 f1ocnv 6403 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
98ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1oco 6413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
117, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
12 coass 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = (𝑠 ∘ (𝑔𝑠))
1312fveq1i 6447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧)
14 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
15 f1oco 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
1614, 9, 15syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
17 f1of 6391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
19 fvco3 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔𝑠):𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2018, 19sylan 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2113, 20syl5eq 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
22 f1of 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵𝐴)
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵𝐴)
24 fvco3 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠:𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2523, 24sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2623ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ∈ 𝐴)
27 simplrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)
28 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → 𝑦 = (𝑠𝑧))
3028, 29neeq12d 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑠𝑧) → ((𝑔𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3130rspcv 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠𝑧) ∈ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦 → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3226, 27, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧))
3325, 32eqnetrd 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ≠ (𝑠𝑧))
3433necomd 3023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧))
35 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
3618ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴)
37 f1ocnvfv 6806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3835, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3938necon3d 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧)
4121, 40eqnetrd 3035 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
4241ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
43 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
4543, 44neeq12d 3029 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ((((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4645cbvralv 3366 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4742, 46sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4811, 47jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4948ex 403 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
50 vex 3400 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
51 f1oeq1 6380 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐴))
52 fveq1 6445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
5352neeq1d 3027 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5453ralbidv 3167 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5551, 54anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)))
5650, 55elab 3557 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
57 vex 3400 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
5857, 50coex 7397 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑔) ∈ V
5957cnvex 7392 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
6058, 59coex 7397 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ V
61 f1oeq1 6380 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵))
62 fveq1 6445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓𝑦) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
6362neeq1d 3027 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6463ralbidv 3167 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6561, 64anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
6660, 65elab 3557 . . . . . . . 8 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6749, 56, 663imtr4g 288 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
68 vex 3400 . . . . . . . . . 10 ∈ V
69 f1oeq1 6380 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴1-1-onto𝐴))
70 fveq1 6445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = → (𝑓𝑦) = (𝑦))
7170neeq1d 3027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑦) ≠ 𝑦))
7271ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7369, 72anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
7468, 73elab 3557 . . . . . . . . 9 ( ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7556, 74anbi12i 620 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
768ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
77 f1ofo 6398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵onto𝐴)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵onto𝐴)
797adantrr 707 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
80 f1ofn 6392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
82 simplr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
83 simprrl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴1-1-onto𝐴)
84 f1oco 6413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
8582, 83, 84syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
86 f1ofn 6392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠) Fn 𝐴)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠) Fn 𝐴)
88 cocan2 6819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐵onto𝐴 ∧ (𝑠𝑔) Fn 𝐴 ∧ (𝑠) Fn 𝐴) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
8978, 81, 87, 88syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
90 f1of1 6390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐴1-1𝐵)
9190ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1𝐵)
92 simprll 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
93 f1of 6391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴𝐴)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴𝐴)
95 f1of 6391 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴𝐴)
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴𝐴)
97 cocan1 6818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐴𝐴:𝐴𝐴) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9891, 94, 96, 97syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9989, 98bitrd 271 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = ))
10099ex 403 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10175, 100syl5bi 234 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10267, 101dom2d 8282 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
103102ex 403 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
104103exlimdv 1976 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
1053, 5, 104mp2d 49 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
106 enfii 8465 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
107106ancoms 452 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
108 deranglem 31747 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
110 hashdom 13483 . . . 4 (({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
111109, 5, 110syl2anc 579 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
112105, 111mpbird 249 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
113 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
114113derangval 31748 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
115107, 114syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
116113derangval 31748 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
117116adantl 475 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
118112, 115, 1173brtr4d 4918 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2106  {cab 2762  wne 2968  wral 3089   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ccnv 5354  ccom 5359   Fn wfn 6130  wf 6131  1-1wf1 6132  ontowfo 6133  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  cen 8238  cdom 8239  Fincfn 8241  cle 10412  chash 13435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436
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