Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangenlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangenlem 32426
Description: One half of derangen 32427. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangenlem ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables 𝑔 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 bren 8493 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 221 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
4 deranglem 32421 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
54adantl 485 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
6 f1oco 6610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
76ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
8 f1ocnv 6600 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1oco 6610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
117, 9, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
12 coass 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = (𝑠 ∘ (𝑔𝑠))
1312fveq1i 6644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧)
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
15 f1oco 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
1614, 9, 15syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
17 f1of 6588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
19 fvco3 6733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔𝑠):𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2018, 19sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2113, 20syl5eq 2868 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
22 f1of 6588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵𝐴)
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵𝐴)
24 fvco3 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠:𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2523, 24sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2623ffvelrnda 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ∈ 𝐴)
27 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)
28 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → 𝑦 = (𝑠𝑧))
3028, 29neeq12d 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑠𝑧) → ((𝑔𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3130rspcv 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠𝑧) ∈ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦 → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3226, 27, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧))
3325, 32eqnetrd 3074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ≠ (𝑠𝑧))
3433necomd 3062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧))
35 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
3618ffvelrnda 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴)
37 f1ocnvfv 7009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3835, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3938necon3d 3028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧)
4121, 40eqnetrd 3074 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
4241ralrimiva 3170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
43 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
4543, 44neeq12d 3068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ((((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4645cbvralvw 3426 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4742, 46sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4811, 47jca 515 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4948ex 416 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
50 vex 3474 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
51 f1oeq1 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐴))
52 fveq1 6642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
5352neeq1d 3066 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5453ralbidv 3185 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5551, 54anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)))
5650, 55elab 3644 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
57 vex 3474 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
5857, 50coex 7610 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑔) ∈ V
5957cnvex 7605 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
6058, 59coex 7610 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ V
61 f1oeq1 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵))
62 fveq1 6642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓𝑦) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
6362neeq1d 3066 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6463ralbidv 3185 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6561, 64anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
6660, 65elab 3644 . . . . . . . 8 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6749, 56, 663imtr4g 299 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
68 vex 3474 . . . . . . . . . 10 ∈ V
69 f1oeq1 6577 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴1-1-onto𝐴))
70 fveq1 6642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = → (𝑓𝑦) = (𝑦))
7170neeq1d 3066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑦) ≠ 𝑦))
7271ralbidv 3185 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7369, 72anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
7468, 73elab 3644 . . . . . . . . 9 ( ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7556, 74anbi12i 629 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
768ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
77 f1ofo 6595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵onto𝐴)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵onto𝐴)
797adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
80 f1ofn 6589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
82 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
83 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴1-1-onto𝐴)
84 f1oco 6610 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
8582, 83, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
86 f1ofn 6589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠) Fn 𝐴)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠) Fn 𝐴)
88 cocan2 7022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐵onto𝐴 ∧ (𝑠𝑔) Fn 𝐴 ∧ (𝑠) Fn 𝐴) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
8978, 81, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
90 f1of1 6587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐴1-1𝐵)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1𝐵)
92 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
93 f1of 6588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴𝐴)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴𝐴)
95 f1of 6588 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴𝐴)
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴𝐴)
97 cocan1 7021 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐴𝐴:𝐴𝐴) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9891, 94, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9989, 98bitrd 282 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = ))
10099ex 416 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10175, 100syl5bi 245 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10267, 101dom2d 8525 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
103102ex 416 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
104103exlimdv 1935 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
1053, 5, 104mp2d 49 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
106 enfii 8711 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
107106ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
108 deranglem 32421 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
110 hashdom 13724 . . . 4 (({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
111109, 5, 110syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
112105, 111mpbird 260 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
113 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
114113derangval 32422 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
115107, 114syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
116113derangval 32422 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
117116adantl 485 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
118112, 115, 1173brtr4d 5071 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  {cab 2799  wne 3007  wral 3126   class class class wbr 5039  cmpt 5119  ccnv 5527  ccom 5532   Fn wfn 6323  wf 6324  1-1wf1 6325  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  cen 8481  cdom 8482  Fincfn 8484  cle 10653  chash 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675
This theorem is referenced by:  derangen  32427
  Copyright terms: Public domain W3C validator