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Theorem derangenlem 34999
Description: One half of derangen 35000. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangenlem ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables 𝑔 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 bren 8984 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 217 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
4 deranglem 34994 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
54adantl 480 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
6 f1oco 6866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
76ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
8 f1ocnv 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
98ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1oco 6866 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
117, 9, 10syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵)
12 coass 6276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = (𝑠 ∘ (𝑔𝑠))
1312fveq1i 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧)
14 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
15 f1oco 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑠:𝐵1-1-onto𝐴) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
1614, 9, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴)
17 f1of 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑠):𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑔𝑠):𝐵𝐴)
19 fvco3 7001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔𝑠):𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2018, 19sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠 ∘ (𝑔𝑠))‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
2113, 20eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)))
22 f1of 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵𝐴)
239, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑠:𝐵𝐴)
24 fvco3 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠:𝐵𝐴𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2523, 24sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
2623ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ∈ 𝐴)
27 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)
28 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → (𝑔𝑦) = (𝑔‘(𝑠𝑧)))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑠𝑧) → 𝑦 = (𝑠𝑧))
3028, 29neeq12d 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑠𝑧) → ((𝑔𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3130rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠𝑧) ∈ 𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦 → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧)))
3226, 27, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑔‘(𝑠𝑧)) ≠ (𝑠𝑧))
3325, 32eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ≠ (𝑠𝑧))
3433necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧))
35 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
3618ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴)
37 f1ocnvfv 7292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ((𝑔𝑠)‘𝑧) ∈ 𝐴) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) = 𝑧 → (𝑠𝑧) = ((𝑔𝑠)‘𝑧)))
3938necon3d 2951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑠𝑧) ≠ ((𝑔𝑠)‘𝑧) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑠‘((𝑔𝑠)‘𝑧)) ≠ 𝑧)
4121, 40eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
4241ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧)
43 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
4543, 44neeq12d 2992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ((((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4645cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑧) ≠ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4742, 46sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)
4811, 47jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
4948ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
50 vex 3466 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
51 f1oeq1 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴1-1-onto𝐴))
52 fveq1 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
5352neeq1d 2990 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5453ralbidv 3168 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
5551, 54anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦)))
5650, 55elab 3666 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦))
57 vex 3466 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
5857, 50coex 7943 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑔) ∈ V
5957cnvex 7938 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
6058, 59coex 7943 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ V
61 f1oeq1 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵))
62 fveq1 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (𝑓𝑦) = (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦))
6362neeq1d 2990 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6463ralbidv 3168 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → (∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6561, 64anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦)))
6660, 65elab 3666 . . . . . . . 8 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠)‘𝑦) ≠ 𝑦))
6749, 56, 663imtr4g 295 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} → ((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
68 vex 3466 . . . . . . . . . 10 ∈ V
69 f1oeq1 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴1-1-onto𝐴))
70 fveq1 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = → (𝑓𝑦) = (𝑦))
7170neeq1d 2990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑦) ≠ 𝑦))
7271ralbidv 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7369, 72anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
7468, 73elab 3666 . . . . . . . . 9 ( ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ↔ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))
7556, 74anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)))
768ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵1-1-onto𝐴)
77 f1ofo 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐵1-1-onto𝐴𝑠:𝐵onto𝐴)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐵onto𝐴)
797adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵)
80 f1ofn 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑔):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠𝑔) Fn 𝐴)
82 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵)
83 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴1-1-onto𝐴)
84 f1oco 6866 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐴1-1-onto𝐵:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
8582, 83, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠):𝐴1-1-onto𝐵)
86 f1ofn 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠):𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑠) Fn 𝐴)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (𝑠) Fn 𝐴)
88 cocan2 7306 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐵onto𝐴 ∧ (𝑠𝑔) Fn 𝐴 ∧ (𝑠) Fn 𝐴) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
8978, 81, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ (𝑠𝑔) = (𝑠)))
90 f1of1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵𝑠:𝐴1-1𝐵)
9190ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑠:𝐴1-1𝐵)
92 simprll 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴1-1-onto𝐴)
93 f1of 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐴𝑔:𝐴𝐴)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → 𝑔:𝐴𝐴)
95 f1of 6843 . . . . . . . . . . . 12 (:𝐴1-1-onto𝐴:𝐴𝐴)
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → :𝐴𝐴)
97 cocan1 7305 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐴𝐴:𝐴𝐴) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9891, 94, 96, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → ((𝑠𝑔) = (𝑠) ↔ 𝑔 = ))
9989, 98bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦))) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = ))
10099ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ≠ 𝑦) ∧ (:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦) ≠ 𝑦)) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10175, 100biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝑔 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∧ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) → (((𝑠𝑔) ∘ 𝑠) = ((𝑠) ∘ 𝑠) ↔ 𝑔 = )))
10267, 101dom2d 9024 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵) → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
103102ex 411 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
104103exlimdv 1929 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑠 𝑠:𝐴1-1-onto𝐵 → ({𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})))
1053, 5, 104mp2d 49 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
106 enfii 9223 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
107106ancoms 457 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
108 deranglem 34994 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin)
110 hashdom 14396 . . . 4 (({𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin ∧ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
111109, 5, 110syl2anc 582 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ↔ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ≼ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
112105, 111mpbird 256 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) ≤ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
113 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
114113derangval 34995 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
115107, 114syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
116113derangval 34995 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
117116adantl 480 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
118112, 115, 1173brtr4d 5185 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  {cab 2703  wne 2930  wral 3051   class class class wbr 5153  cmpt 5236  ccnv 5681  ccom 5686   Fn wfn 6549  wf 6550  1-1wf1 6551  ontowfo 6552  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  cen 8971  cdom 8972  Fincfn 8974  cle 11299  chash 14347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
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