Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3aN 39809
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3aN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑒,𝑣, ∧   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐡,𝑒   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š,𝑒,𝑣   𝑒, ≀ ,𝑣   𝑣,𝐡   𝑒,𝐺,𝑣   𝑒,𝐻,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑒)   𝐼(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem dihglblem3aN
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihglblem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihglblem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 dihglblem.g . . . . 5 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
5 dihglblem.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 dihglblem.t . . . . 5 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
71, 2, 3, 4, 5, 6dihglblem2N 39807 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
873adant2r 1180 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
98fveq2d 6850 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)))
10 dihglblem.i . . 3 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dihglblem.ih . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11dihglblem3N 39808 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
139, 12eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆ© ciin 4959   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  glbcglb 18207  meetcmee 18209  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DIsoBcdib 39651  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-disoa 39542  df-dib 39652  df-dih 39742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator