Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3aN 38431
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3aN
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihglblem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 dihglblem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
4 dihglblem.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
5 dihglblem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dihglblem.t . . . . 5 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
71, 2, 3, 4, 5, 6dihglblem2N 38429 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
873adant2r 1175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
98fveq2d 6673 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
10 dihglblem.i . . 3 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
11 dihglblem.ih . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11dihglblem3N 38430 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
139, 12eqtrd 2856 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139  {crab 3142  wss 3935  c0 4290   ciin 4919   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  lecple 16571  glbcglb 17552  meetcmee 17554  HLchlt 36485  LHypclh 37119  DIsoBcdib 38273  DIsoHcdih 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8407  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-disoa 38164  df-dib 38274  df-dih 38364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator