MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdivd 11196
Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divsubdivd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) − (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divsubdivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divmuldivd.5 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
53, 4jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7 divmuldivd.6 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ 0)
86, 7jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9 divsubdiv 11091 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) − (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 829 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) − (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277  cmin 10606   / cdiv 11032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033
This theorem is referenced by:  subrec  11204  reclimc  40775
  Copyright terms: Public domain W3C validator