MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdiv 11960
Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divsubdiv (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divsubdiv
StepHypRef Expression
1 negcl 11490 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2 divadddiv 11959 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
31, 2sylanl2 679 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
4 simplr 767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 simprrl 779 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 simprrr 780 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โ‰  0)
7 divneg 11936 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
84, 5, 6, 7syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
98oveq2d 7432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)))
10 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simprll 777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 simprlr 778 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
13 divcl 11908 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15 divcl 11908 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
164, 5, 6, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1714, 16negsubd 11607 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
189, 17eqtr3d 2767 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
193, 18eqtr3d 2767 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
204, 11mulneg1d 11697 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (-๐ต ยท ๐ถ) = -(๐ต ยท ๐ถ))
2120oveq2d 7432 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)))
2210, 5mulcld 11264 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
234, 11mulcld 11264 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
2422, 23negsubd 11607 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2521, 24eqtrd 2765 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2625oveq1d 7431 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
2719, 26eqtr3d 2767 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902
This theorem is referenced by:  divsubdivd  12065  rplogsumlem1  27435
  Copyright terms: Public domain W3C validator