MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdiv 11929
Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divsubdiv (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divsubdiv
StepHypRef Expression
1 negcl 11459 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2 divadddiv 11928 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
31, 2sylanl2 679 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
4 simplr 767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 simprrl 779 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 simprrr 780 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โ‰  0)
7 divneg 11905 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
84, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
98oveq2d 7424 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)))
10 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simprll 777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 simprlr 778 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
13 divcl 11877 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15 divcl 11877 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
164, 5, 6, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1714, 16negsubd 11576 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
189, 17eqtr3d 2774 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
193, 18eqtr3d 2774 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
204, 11mulneg1d 11666 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (-๐ต ยท ๐ถ) = -(๐ต ยท ๐ถ))
2120oveq2d 7424 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)))
2210, 5mulcld 11233 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
234, 11mulcld 11233 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
2422, 23negsubd 11576 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2521, 24eqtrd 2772 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2625oveq1d 7423 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
2719, 26eqtr3d 2774 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  divsubdivd  12034  rplogsumlem1  26984
  Copyright terms: Public domain W3C validator