MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divadddivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divadddivd 11806
Description: Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divmuldivd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
divmuldivd.5 (𝜑𝐵 ≠ 0)
divmuldivd.6 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divadddivd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem divadddivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 divcld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divmuldivd.5 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
53, 4jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7 divmuldivd.6 . . 3 (𝜑𝐷 ≠ 0)
86, 7jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
9 divadddiv 11701 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 836 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) + (𝐶 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) / (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  (class class class)co 7272  cc 10880  0cc0 10882   + caddc 10885   · cmul 10887   / cdiv 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644
This theorem is referenced by:  pcaddlem  16600  qqhghm  31947  qqhrhm  31948  dirkertrigeq  43624
  Copyright terms: Public domain W3C validator