MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divadddivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divadddivd 12035
Description: Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
divmuldivd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
divmuldivd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
divmuldivd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
divadddivd (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divadddivd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divmuld.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 divcld.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 divmuldivd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
53, 4jca 511 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
6 divmuldivd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
7 divmuldivd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
86, 7jca 511 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
9 divadddiv 11930 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)))
101, 2, 5, 8, 9syl22anc 836 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) + (๐ถ / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) / (๐ต ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  pcaddlem  16827  qqhghm  33497  qqhrhm  33498  dirkertrigeq  45371
  Copyright terms: Public domain W3C validator