bgoldbtbndlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem3 48904

Description: Lemma 3 for bgoldbtbnd 48906. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbnd.r	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
bgoldbtbndlem3.s	⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖, 𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑖, 𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖, 𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑋(𝑖, 𝑛)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0ss1 13824	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
2	1	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
3		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
4		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐼))
5	4	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6		fvoveq1 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
7	6, 4	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
8	7	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
9	7	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
10	5, 8, 9	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
11	10	rspcv 3573	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
12	2, 3, 11	syl2imc 42	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
13	12	a1d 26	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))))
14	13	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
15		bgoldbtbndlem3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘𝐼))
16		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
17		oddprmALTV 48784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ Odd )
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → (𝐹‘𝐼) ∈ Odd )
19	16, 18	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ))
21		omoeALTV 48782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ Even )
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ Even )
23	15, 22	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 ∈ Even )
24		eldifi 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℙ)
25		prmz 16850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℤ)
26	25	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
27		fzofzp1 13899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷))
28		elfzo2 13796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
29		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
30		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
31		eluz2 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
32		zre 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
33		zre 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
34		zre 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
35		leltletr 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
36	32, 33, 34, 35	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
37	36	exp5o 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
38	37	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
39	38	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
40	31, 39	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
41	40	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷)
42		eluz2 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐷))
43	29, 30, 41, 42	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1))
44	28, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1))
45		fzisfzounsn 13915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
47	46	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ (𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷})))
48		elun 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}))
49	47, 48	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷})))
50		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
51		eluz3nn 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
53	52	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → 𝐷 ∈ ℕ)
54		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
55	54	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
56		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷))
57	53, 55, 56	iccpartipre 48502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
58	57	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
59		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → (𝐼 + 1) = 𝐷)
60		bgoldbtbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
61	60	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
62		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) = (𝐹‘𝐷))
63	62	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66	65	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
67	59, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
69	58, 68	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
70	49, 69	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
71	27, 70	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
72	71	com12 33	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
73	72	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
74		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
75		eluzelre 12976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
77		oddz 48728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
78	77	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
79		rexr 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*)
80		rexr 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^*)
81	79, 80	anim12ci 626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
82	81	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
83		elico1 13519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^ ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
85		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
86		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
87		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
88		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
89	85, 86, 87, 88	ltsub1dd 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
90		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
91		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
92	90, 91	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
94	86, 87	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
95		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
96		4re 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 4 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
98	95, 97	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
99		lttr 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
100	93, 94, 98, 99	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
101	89, 100	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
102	101	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))
103		4pos 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 < 4
104	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 4 ∈ ℝ)
105		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
106	104, 105	ltsubposd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 < 4 ↔ (𝑁 − 4) < 𝑁))
107	103, 106	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
109	108	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
110		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
111	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
112	110, 111	resubcld 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
113		lttr 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
114	92, 112, 110, 113	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
116	102, 109, 115	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
117	116	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
118	117	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
119	118	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
120	119	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
121	84, 120	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
122	121	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
123	122	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
124	123	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
125	76, 78, 124	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
126	125	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
127	73, 126	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
128	127	com13 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
129	24, 26, 128	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
130	129	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
131	130	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
132	131	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
133	132	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1)))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
134	133	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
135	15, 134	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 < 𝑁)
136		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 4 < 𝑆)
137	23, 135, 136	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
138	137	ex 418	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
139	14, 138	mpdan 700	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3077 ∖ cdif 3896 ∪ cun 3897 {csn 4584 class class class wbr 5103 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 + caddc 11203 ℝ^*cxr 11342 < clt 11343 ≤ cle 11344 − cmin 11541 ℕcn 12335 2c2 12397 3c3 12398 4c4 12399 7c7 12402 ℤcz 12693 cdc 12814 ℤ_≥cuz 12965 [,)cico 13478 ...cfz 13639 ..^cfzo 13788 ℙcprime 16846 RePartciccp 48494 Even ceven 48721 Odd codd 48722 GoldbachEven cgbe 48842

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-2o 8477 df-er 8717 df-map 8849 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-sup 9434 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-rp 13121 df-ico 13482 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-dvds 16423 df-prm 16847 df-iccp 48495 df-even 48723 df-odd 48724

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