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Theorem bgoldbtbndlem3 44682
 Description: Lemma 3 for bgoldbtbnd 44684. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
bgoldbtbndlem3.s 𝑆 = (𝑋 − (𝐹𝐼))
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem3 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem3
StepHypRef Expression
1 fzo0ss1 13106 . . . . . 6 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
21sseli 3889 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
3 bgoldbtbnd.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
4 fveq2 6656 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐼))
54eleq1d 2837 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6 fvoveq1 7171 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
76, 4oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
87breq1d 5040 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
97breq2d 5042 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
105, 8, 93anbi123d 1434 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
1110rspcv 3537 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
122, 3, 11syl2imc 41 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
1312a1d 25 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))))
14133imp 1109 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
15 bgoldbtbndlem3.s . . . . 5 𝑆 = (𝑋 − (𝐹𝐼))
16 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
17 oddprmALTV 44562 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ Odd )
18173ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → (𝐹𝐼) ∈ Odd )
1916, 18anim12i 616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ))
2019adantr 485 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ))
21 omoeALTV 44560 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ Even )
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ Even )
2315, 22eqeltrid 2857 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 ∈ Even )
24 eldifi 4033 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℙ)
25 prmz 16061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℤ)
2625zred 12116 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
27 fzofzp1 13173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷))
28 elfzo2 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
29 1zzd 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
30 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
31 eluz2 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
32 zre 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
33 zre 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
34 zre 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
35 leltletr 44208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐼𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
3632, 33, 34, 35syl3an 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐼𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
3736exp5o 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
3837com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
39383imp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
4031, 39sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
41403imp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷)
42 eluz2 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐷))
4329, 30, 41, 42syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ‘1))
4428, 43sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ‘1))
45 fzisfzounsn 13188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
4746eleq2d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ (𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷})))
48 elun 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}))
4947, 48syl6bb 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷})))
50 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
51 eluzge3nn 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5352ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → 𝐷 ∈ ℕ)
54 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
5554ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
56 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷))
5753, 55, 56iccpartipre 44296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
5857exp31 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
59 elsni 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → (𝐼 + 1) = 𝐷)
60 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
62 fveq2 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) = (𝐹𝐷))
6362eleq1d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐷) ∈ ℝ))
6463adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐷) ∈ ℝ))
6561, 64mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6665ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
6759, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
6958, 68jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
7049, 69sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
7127, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
73723impia 1115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
74 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
75 eluzelre 12283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ11) → 𝑁 ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
77 oddz 44506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
7877zred 12116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
79 rexr 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
80 rexr 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ*)
8179, 80anim12ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
8281adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
83 elico1 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
85 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
86 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
87 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
88 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
8985, 86, 87, 88ltsub1dd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
90 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
91 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
9290, 91resubcld 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
9392adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
9486, 87resubcld 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
95 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
96 4re 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
9895, 97resubcld 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
99 lttr 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
10093, 94, 98, 99syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
10189, 100mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
102101impr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))
103 4pos 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 4
10496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 4 ∈ ℝ)
105 simpl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
106104, 105ltsubposd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 < 4 ↔ (𝑁 − 4) < 𝑁))
107103, 106mpbii 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
108107adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
109108adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
110 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
112110, 111resubcld 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
113 lttr 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
11492, 112, 110, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
115114adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
116102, 109, 115mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
117116exp32 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
118117com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
1191183ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
12184, 120sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
122121com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
123122exp32 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
124123com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
12576, 78, 124syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
1261253adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
12773, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
128127com13 88 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
12924, 26, 1283syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
130129imp 411 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
1311303adant3 1130 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
132131impcom 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
133132imp 411 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1)))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
134133adantrr 717 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
13515, 134eqbrtrid 5065 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 < 𝑁)
136 simprr 773 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 4 < 𝑆)
13723, 135, 1363jca 1126 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
138137ex 417 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
13914, 138mpdan 687 1 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857  {csn 4520   class class class wbr 5030  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℝcr 10564  0cc0 10565  1c1 10566   + caddc 10568  ℝ*cxr 10702   < clt 10703   ≤ cle 10704   − cmin 10898  ℕcn 11664  2c2 11719  3c3 11720  4c4 11721  7c7 11724  ℤcz 12010  ;cdc 12127  ℤ≥cuz 12272  [,)cico 12771  ...cfz 12929  ..^cfzo 13072  ℙcprime 16057  RePartciccp 44288   Even ceven 44499   Odd codd 44500   GoldbachEven cgbe 44620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-er 8297  df-map 8416  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-sup 8929  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-rp 12421  df-ico 12775  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-seq 13409  df-exp 13470  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-dvds 15646  df-prm 16058  df-iccp 44289  df-even 44501  df-odd 44502 This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  44684
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