bgoldbtbndlem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem3 44682

Description: Lemma 3 for bgoldbtbnd 44684. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbnd.r	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
bgoldbtbndlem3.s	⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑖,𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑋(𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0ss1 13106	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
2	1	sseli 3889	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
3		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
4		fveq2 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐼))
5	4	eleq1d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6		fvoveq1 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
7	6, 4	oveq12d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
8	7	breq1d 5040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
9	7	breq2d 5042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
10	5, 8, 9	3anbi123d 1434	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
11	10	rspcv 3537	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
12	2, 3, 11	syl2imc 41	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
13	12	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))))
14	13	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
15		bgoldbtbndlem3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘𝐼))
16		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
17		oddprmALTV 44562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ Odd )
18	17	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → (𝐹‘𝐼) ∈ Odd )
19	16, 18	anim12i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ))
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ))
21		omoeALTV 44560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ Even )
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ Even )
23	15, 22	eqeltrid 2857	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 ∈ Even )
24		eldifi 4033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℙ)
25		prmz 16061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℤ)
26	25	zred 12116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
27		fzofzp1 13173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷))
28		elfzo2 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
29		1zzd 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
30		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
31		eluz2 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
32		zre 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
33		zre 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
34		zre 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
35		leltletr 44208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
36	32, 33, 34, 35	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
37	36	exp5o 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
38	37	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
39	38	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
40	31, 39	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
41	40	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷)
42		eluz2 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐷))
43	29, 30, 41, 42	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1))
44	28, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1))
45		fzisfzounsn 13188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘1) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
47	46	eleq2d 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ (𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷})))
48		elun 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}))
49	47, 48	syl6bb 291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷})))
50		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
51		eluzge3nn 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
53	52	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → 𝐷 ∈ ℕ)
54		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
55	54	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
56		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷))
57	53, 55, 56	iccpartipre 44296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
58	57	exp31 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
59		elsni 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → (𝐼 + 1) = 𝐷)
60		bgoldbtbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
61	60	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ)
62		fveq2 6656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) = (𝐹‘𝐷))
63	62	eleq1d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ))
64	63	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐷) ∈ ℝ))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
66	65	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
67	59, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
69	58, 68	jaod 857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
70	49, 69	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
71	27, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
72	71	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
73	72	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
74		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
75		eluzelre 12283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
77		oddz 44506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
78	77	zred 12116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
79		rexr 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*)
80		rexr 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^*)
81	79, 80	anim12ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
82	81	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
83		elico1 12812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^ ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
85		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
86		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
87		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
88		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
89	85, 86, 87, 88	ltsub1dd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
90		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
91		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
92	90, 91	resubcld 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
93	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
94	86, 87	resubcld 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
95		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
96		4re 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 4 ∈ ℝ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
98	95, 97	resubcld 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
99		lttr 10745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
100	93, 94, 98, 99	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
101	89, 100	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
102	101	impr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))
103		4pos 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 < 4
104	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 4 ∈ ℝ)
105		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
106	104, 105	ltsubposd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 < 4 ↔ (𝑁 − 4) < 𝑁))
107	103, 106	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
108	107	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
109	108	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
110		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
111	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
112	110, 111	resubcld 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
113		lttr 10745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
114	92, 112, 110, 113	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
115	114	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
116	102, 109, 115	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
117	116	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
118	117	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
119	118	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
121	84, 120	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
122	121	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
123	122	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
124	123	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
125	76, 78, 124	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
126	125	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))))
127	73, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
128	127	com13 88	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
129	24, 26, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))))
130	129	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
131	130	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)))
132	131	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁))
133	132	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1)))) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
134	133	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) < 𝑁)
135	15, 134	eqbrtrid 5065	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 < 𝑁)
136		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 4 < 𝑆)
137	23, 135, 136	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
138	137	ex 417	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
139	14, 138	mpdan 687	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 845 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2112 ∀wral 3071 ∖ cdif 3856 ∪ cun 3857 {csn 4520 class class class wbr 5030 ‘cfv 6333 (class class class)co 7148 ℝcr 10564 0cc0 10565 1c1 10566 + caddc 10568 ℝ^*cxr 10702 < clt 10703 ≤ cle 10704 − cmin 10898 ℕcn 11664 2c2 11719 3c3 11720 4c4 11721 7c7 11724 ℤcz 12010 cdc 12127 ℤ_≥cuz 12272 [,)cico 12771 ...cfz 12929 ..^cfzo 13072 ℙcprime 16057 RePartciccp 44288 Even ceven 44499 Odd codd 44500 GoldbachEven cgbe 44620

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1912 ax-6 1971 ax-7 2016 ax-8 2114 ax-9 2122 ax-10 2143 ax-11 2159 ax-12 2176 ax-ext 2730 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5232 ax-pr 5296 ax-un 7457 ax-cnex 10621 ax-resscn 10622 ax-1cn 10623 ax-icn 10624 ax-addcl 10625 ax-addrcl 10626 ax-mulcl 10627 ax-mulrcl 10628 ax-mulcom 10629 ax-addass 10630 ax-mulass 10631 ax-distr 10632 ax-i2m1 10633 ax-1ne0 10634 ax-1rid 10635 ax-rnegex 10636 ax-rrecex 10637 ax-cnre 10638 ax-pre-lttri 10639 ax-pre-lttrn 10640 ax-pre-ltadd 10641 ax-pre-mulgt0 10642 ax-pre-sup 10643

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 846 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2071 df-mo 2558 df-eu 2589 df-clab 2737 df-cleq 2751 df-clel 2831 df-nfc 2902 df-ne 2953 df-nel 3057 df-ral 3076 df-rex 3077 df-reu 3078 df-rmo 3079 df-rab 3080 df-v 3412 df-sbc 3698 df-csb 3807 df-dif 3862 df-un 3864 df-in 3866 df-ss 3876 df-pss 3878 df-nul 4227 df-if 4419 df-pw 4494 df-sn 4521 df-pr 4523 df-tp 4525 df-op 4527 df-uni 4797 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5428 df-eprel 5433 df-po 5441 df-so 5442 df-fr 5481 df-we 5483 df-xp 5528 df-rel 5529 df-cnv 5530 df-co 5531 df-dm 5532 df-rn 5533 df-res 5534 df-ima 5535 df-pred 6124 df-ord 6170 df-on 6171 df-lim 6172 df-suc 6173 df-iota 6292 df-fun 6335 df-fn 6336 df-f 6337 df-f1 6338 df-fo 6339 df-f1o 6340 df-fv 6341 df-riota 7106 df-ov 7151 df-oprab 7152 df-mpo 7153 df-om 7578 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7955 df-recs 8016 df-rdg 8054 df-1o 8110 df-2o 8111 df-er 8297 df-map 8416 df-en 8526 df-dom 8527 df-sdom 8528 df-fin 8529 df-sup 8929 df-pnf 10705 df-mnf 10706 df-xr 10707 df-ltxr 10708 df-le 10709 df-sub 10900 df-neg 10901 df-div 11326 df-nn 11665 df-2 11727 df-3 11728 df-4 11729 df-n0 11925 df-z 12011 df-uz 12273 df-rp 12421 df-ico 12775 df-fz 12930 df-fzo 13073 df-seq 13409 df-exp 13470 df-cj 14496 df-re 14497 df-im 14498 df-sqrt 14632 df-abs 14633 df-dvds 15646 df-prm 16058 df-iccp 44289 df-even 44501 df-odd 44502

This theorem is referenced by: bgoldbtbnd 44684

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