Theorem ico01fl0 13997

Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 14074 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ico01fl0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11347	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1xr 11405	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		icossre 13597	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (0[,)1) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0xr 11393	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		elico1 13557	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
8	6, 2, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1))
9	8	simp2bi 1164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
10	8	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11		recn 11327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	addlidd 11548	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	12	fveqeq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14		0z 12742	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		flbi2 13995	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
16	14, 15	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
17	13, 16	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
18	17	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
19	5, 9, 10, 18	syl12anc 850	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   ≤ cle 11381  ℤcz 12731  [,)cico 13516  ⌊cfl 13968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-ico 13520  df-fl 13970

This theorem is used by:  dnizeq0  37549  nnge2recfl0  48679  flmrecm1  48680  dignnld  50040  digexp  50044