MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ico01fl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ico01fl0 13856
Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 13933 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ico01fl0 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0
StepHypRef Expression
1 0re 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 1xr 11318 . . . 4 1 ∈ ℝ*
3 icossre 13465 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (0[,)1) ⊆ ℝ
54sseli 3991 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0xr 11306 . . . 4 0 ∈ ℝ*
7 elico1 13427 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
86, 2, 7mp2an 692 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1))
98simp2bi 1145 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
108simp3bi 1146 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11 recn 11243 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211addlidd 11460 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
1312fveqeq2d 6915 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14 0z 12622 . . . . 5 0 ∈ ℤ
15 flbi2 13854 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1614, 15mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1713, 16bitr3d 281 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1817biimpar 477 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
195, 9, 10, 18syl12anc 837 1 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  [,)cico 13386  cfl 13827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ico 13390  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  dnizeq0  36458  dignnld  48453  digexp  48457
  Copyright terms: Public domain W3C validator