Theorem ico01fl0 13027

Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 13102 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ico01fl0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10478	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1xr 10536	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		icossre 12656	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . 3 ⊢ (0[,)1) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0xr 10523	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		elico1 12620	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
8	6, 2, 7	mp2an 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1))
9	8	simp2bi 1137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
10	8	simp3bi 1138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11		recn 10462	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	addid2d 10677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	12	fveqeq2d 6538	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14		0z 11829	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		flbi2 13025	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
16	14, 15	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
17	13, 16	bitr3d 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
18	17	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
19	5, 9, 10, 18	syl12anc 833	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ⊆ wss 3854   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375  ℝ^*cxr 10509   < clt 10510   ≤ cle 10511  ℤcz 11818  [,)cico 12579  ⌊cfl 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-ico 12583  df-fl 13000

This theorem is referenced by:  dnizeq0  33367  dignnld  44098  digexp  44102