Theorem ico01fl0 13781

Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 13858 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ico01fl0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1xr 11233	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		icossre 13389	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (0[,)1) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0xr 11221	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		elico1 13349	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
8	6, 2, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1))
9	8	simp2bi 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
10	8	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11		recn 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	addlidd 11375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	12	fveqeq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14		0z 12540	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		flbi2 13779	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
16	14, 15	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
17	13, 16	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
18	17	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
19	5, 9, 10, 18	syl12anc 836	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  [,)cico 13308  ⌊cfl 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-ico 13312  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  dnizeq0  36463  dignnld  48592  digexp  48596