MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ico01fl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ico01fl0 13790
Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 13867 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ico01fl0 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0
StepHypRef Expression
1 0re 11220 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 1xr 11277 . . . 4 1 ∈ ℝ*
3 icossre 13411 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 689 . . 3 (0[,)1) ⊆ ℝ
54sseli 3973 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0xr 11265 . . . 4 0 ∈ ℝ*
7 elico1 13373 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
86, 2, 7mp2an 689 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1))
98simp2bi 1143 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
108simp3bi 1144 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11 recn 11202 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211addlidd 11419 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
1312fveqeq2d 6893 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14 0z 12573 . . . . 5 0 ∈ ℤ
15 flbi2 13788 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1614, 15mpan 687 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1713, 16bitr3d 281 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1817biimpar 477 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
195, 9, 10, 18syl12anc 834 1 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  cz 12562  [,)cico 13332  cfl 13761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13336  df-fl 13763
This theorem is referenced by:  dnizeq0  35859  dignnld  47561  digexp  47565
  Copyright terms: Public domain W3C validator