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Theorem bgoldbtbndlem2 42302
Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 42305. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbndlem2.s 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem2
StepHypRef Expression
1 bgoldbtbnd.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
2 elfzoelz 12678 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 12677 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4 elfzom1b 12775 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1))))
5 fzossrbm1 12705 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℤ → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
65adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
76sseld 3760 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
84, 7sylbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
98com12 32 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
102, 3, 9mp2and 690 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
11 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
1211eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)))
1413, 11oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
1514breq1d 4819 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
1614breq2d 4821 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
1712, 15, 163anbi123d 1560 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
1817rspcv 3457 . . . . . 6 ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
201, 19syl5com 31 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
2120a1d 25 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))))
22213imp 1137 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23 bgoldbtbndlem2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
24 simp2 1167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
25 oddprmALTV 42206 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
26253ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
2724, 26anim12i 606 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
2827adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
29 omoeALTV 42204 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
3123, 30syl5eqel 2848 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 ∈ Even )
322zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℂ)
33323ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ ℂ)
34 npcan1 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
3635fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹𝐼))
3736oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
3837breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
40 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
41 prmz 15671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
42 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
43 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
4443ralimi 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
45 fzo0ss1 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
4645sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
48 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐼))
4948eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5049rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
5251ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
5554com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
5644, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
571, 56mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
58573imp 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))
59 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℙ)
60 prmz 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℤ)
61 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝐼) ∈ ℤ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
62 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
63 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ11) → 𝑁 ∈ ℤ)
64 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65 oddz 42152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
6665zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
67 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
68 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
69 4re 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
7167, 68, 70lesubaddd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 ↔ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼))))
72 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑋 ∈ ℝ)
73 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
7472, 73resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
7569a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 4 ∈ ℝ)
76 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
7775, 76readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
7877, 73resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
79 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8070, 68readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (4 + (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
81 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
8267, 80, 81lesub1d 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
8382biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
8483adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
85 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
87 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88 ltaddsub2 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁 ↔ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
8988bicomd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9070, 86, 87, 89syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9190biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9291adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
9392imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁)
94 4cn 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 ∈ ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℂ)
9668recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℂ)
97 recn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
9897adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
10095, 96, 99addsubassd 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
101100breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
10393, 102mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
10474, 78, 79, 84, 103lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
105104exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹𝐼)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
10671, 105sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
107106com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
108107exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
10966, 108sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
110109ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
11164, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
11262, 63, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
113112imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
1141133adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11561, 114syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝐼) ∈ ℤ → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11659, 60, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
11758, 116mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
11842, 117syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
11940, 41, 1183syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
120119impcom 396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
12139, 120sylbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
122121expcom 402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
123122com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
124123imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
1251243adant3 1162 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
126125impcom 396 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
127126com12 32 . . . . . . 7 ((𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4 → (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
128127adantl 473 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
129128impcom 396 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
13023, 129syl5eqbr 4844 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 < 𝑁)
13169a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 ∈ ℝ)
132 1eluzge0 11932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (ℤ‘0)
133 fzoss1 12703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
134132, 133mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
135134sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
136 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
137136, 48oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
138137breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
139137breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
14049, 138, 1393anbi123d 1560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
141140rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
142135, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
14360zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
14459, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
1451443ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
146142, 145syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
147146ex 401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
1481, 147mpid 44 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
149148imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
1501493adant2 1161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
151150ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
15241zred 11729 . . . . . . . . . 10 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
15340, 152syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
1541533ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
155154ad2antlr 718 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
156151, 155resubcld 10712 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
157663ad2ant2 1164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ ℝ)
158 resubcl 10599 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
159157, 154, 158syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
160159adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
16132, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
1621613ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
163162fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹𝐼))
164163oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
165164breq2d 4821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ↔ 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
166165biimpcd 240 . . . . . . . . 9 (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
1671663ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
168167impcom 396 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
169168adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
170157ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 𝑋 ∈ ℝ)
171 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
172 eluzge3nn 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
174173adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
175 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
176175adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
177132, 133mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
178 fzossfz 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0..^𝐷) ⊆ (0...𝐷)
179177, 178syl6ss 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
180171, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
181180sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0...𝐷))
182174, 176, 181iccpartxr 42021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ*)
183 fzofzp1 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
184135, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
185174, 176, 184iccpartxr 42021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
186182, 185jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
1871863adant2 1161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
188 elico1 12420 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
190 simp2 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋)
191189, 190syl6bi 244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
192191adantrd 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
193192adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋))
194193imp 395 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹𝐼) ≤ 𝑋)
195151, 170, 155, 194lesub1dd 10897 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
196131, 156, 160, 169, 195ltletrd 10451 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
197196, 23syl6breqr 4851 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → 4 < 𝑆)
19831, 130, 1973jca 1158 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
199198ex 401 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
20022, 199mpdan 678 1 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  7c7 11332  cz 11624  cdc 11740  cuz 11886  [,)cico 12379  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cprime 15667  RePartciccp 42015   Even ceven 42145   Odd codd 42146   GoldbachEven cgbe 42241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-prm 15668  df-iccp 42016  df-even 42147  df-odd 42148
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem4  42304
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