bgoldbtbndlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem2 47994

Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 47997. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbndlem2.s	⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑖,𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑋(𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
2		elfzoelz 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 13572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		elfzom1b 13680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1))))
5		fzossrbm1 13602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
7	6	sseld 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
8	4, 7	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
9	8	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
10	2, 3, 9	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
11		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
12	11	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)))
14	13, 11	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
15	14	breq1d 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
16	14	breq2d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
17	12, 15, 16	3anbi123d 1438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
18	17	rspcv 3570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
20	1, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
21	20	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))))
22	21	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23		bgoldbtbndlem2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
24		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
25		oddprmALTV 47875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
27	24, 26	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
29		omoeALTV 47873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
31	23, 30	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 ∈ Even )
32	2	zcnd 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ ℂ)
34		npcan1 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
36	35	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
37	36	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
38	37	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
40		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
41		prmz 16600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
42		zre 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
43		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
44	43	ralimi 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
45		fzo0ss1 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
46	45	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
48		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐼))
49	48	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
50	49	rspcv 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
52	51	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
55	54	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
57	1, 56	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
58	57	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))
59		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℙ)
60		prmz 16600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℤ)
61		zre 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
62		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
63		eluzelz 12759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		zre 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65		oddz 47819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
66	65	zred 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
67		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
68		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
69		4re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 4 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
71	67, 68, 70	lesubaddd 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 ↔ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))))
72		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑋 ∈ ℝ)
73		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
74	72, 73	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
75	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 4 ∈ ℝ)
76		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
77	75, 76	readdcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
78	77, 73	resubcld 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
79		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑁 ∈ ℝ)
80	70, 68	readdcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
81		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
82	67, 80, 81	lesub1d 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
83	82	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
84	83	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
85		resubcl 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
87		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		ltaddsub2 11610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁 ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
89	88	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
90	70, 86, 87, 89	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
91	90	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
92	91	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
93	92	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁)
94		4cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 4 ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℂ)
96	68	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℂ)
97		recn 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
100	95, 96, 99	addsubassd 11510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
101	100	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
103	93, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
104	74, 78, 79, 84, 103	lelttrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
105	104	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
106	71, 105	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
107	106	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
108	107	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
109	66, 108	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
110	109	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
111	62, 63, 64, 110	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
113	112	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
114	61, 113	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
115	59, 60, 114	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
116	58, 115	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
117	42, 116	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
118	40, 41, 117	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
119	118	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
120	39, 119	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
121	120	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
122	121	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
123	122	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
124	123	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
125	124	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
126	125	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
127	126	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
128	127	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
129	23, 128	eqbrtrid 5131	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 < 𝑁)
130	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 ∈ ℝ)
131		1eluzge0 12791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
132		fzoss1 13600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ (ℤ_≥‘0) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
133	131, 132	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
134	133	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
135		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
136	135, 48	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
137	136	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
138	136	breq2d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
139	49, 137, 138	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
140	139	rspcv 3570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
141	134, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
142	60	zred 12594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
143	59, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
144	143	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
145	141, 144	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
146	145	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)))
147	1, 146	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
148	147	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
149	148	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
150	149	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
151	41	zred 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
152	40, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
153	152	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
154	153	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
155	150, 154	resubcld 11563	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
156	66	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ ℝ)
157		resubcl 11443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
158	156, 153, 157	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
159	158	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
160	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
161	160	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
162	161	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
163	162	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
164	163	breq2d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ↔ 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
165	164	biimpcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
166	165	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
167	166	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
168	167	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
169	156	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑋 ∈ ℝ)
170		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
171		eluz3nn 12800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
173	172	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
174		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
176	131, 132	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
177		fzossfz 13592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0..^𝐷) ⊆ (0...𝐷)
178	176, 177	sstrdi 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
179	170, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
180	179	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0...𝐷))
181	173, 175, 180	iccpartxr 47607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^*)
182		fzofzp1 13678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
183	134, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
184	173, 175, 183	iccpartxr 47607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*)
185	181, 184	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
186	185	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
187		elico1 13302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^ ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
188	186, 187	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
189		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
190	188, 189	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
191	190	adantrd 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
192	191	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
193	192	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
194	150, 169, 154, 193	lesub1dd 11751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
195	130, 155, 159, 168, 194	ltletrd 11291	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
196	195, 23	breqtrrdi 5138	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < 𝑆)
197	31, 129, 196	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
198	197	ex 412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
199	22, 198	mpdan 687	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∀wral 3049 ∖ cdif 3896 ⊆ wss 3899 {csn 4578 class class class wbr 5096 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 1c1 11025 + caddc 11027 ℝ^*cxr 11163 < clt 11164 ≤ cle 11165 − cmin 11362 ℕcn 12143 2c2 12198 3c3 12199 4c4 12200 7c7 12203 ℤcz 12486 cdc 12605 ℤ_≥cuz 12749 [,)cico 13261 ...cfz 13421 ..^cfzo 13568 ℙcprime 16596 RePartciccp 47601 Even ceven 47812 Odd codd 47813 GoldbachEven cgbe 47933

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8633 df-map 8763 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-sup 9343 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-4 12208 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-rp 12904 df-ico 13265 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-seq 13923 df-exp 13983 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-sqrt 15156 df-abs 15157 df-dvds 16178 df-prm 16597 df-iccp 47602 df-even 47814 df-odd 47815

This theorem is referenced by: bgoldbtbndlem4 47996

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