bgoldbtbndlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem bgoldbtbndlem2 43373

Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 43376. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
bgoldbtbnd.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
bgoldbtbnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
bgoldbtbnd.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ;13)
bgoldbtbnd.l	⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝐹‘𝐷))
bgoldbtbndlem2.s	⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑖 𝑖,𝐹 𝑖,𝐼 𝑖,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑖,𝑛) 𝐷(𝑛) 𝑆(𝑖,𝑛) 𝐹(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝑀(𝑖,𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑋(𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem bgoldbtbndlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bgoldbtbnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))))
2		elfzoelz 12852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 12851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		elfzom1b 12949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1))))
5		fzossrbm1 12879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
6	5	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (0..^(𝐷 − 1)) ⊆ (0..^𝐷))
7	6	sseld 3850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 1) ∈ (0..^(𝐷 − 1)) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
8	4, 7	sylbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
9	8	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷)))
10	2, 3, 9	mp2and 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷))
11		fveq2 6496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝐼 − 1)))
12	11	eleq1d 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13		fvoveq1 6997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)))
14	13, 11	oveq12d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
15	14	breq1d 4935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
16	14	breq2d 4937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
17	12, 15, 16	3anbi123d 1416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 − 1) → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
18	17	rspcv 3524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
20	1, 19	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))))
21	20	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))))
22	21	3imp 1092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
23		bgoldbtbndlem2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1)))
24		simp2 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
25		oddprmALTV 43254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
26	25	3ad2ant1 1114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd )
27	24, 26	anim12i 604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
28	27	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ))
29		omoeALTV 43252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ Even )
31	23, 30	syl5eqel 2863	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 ∈ Even )
32	2	zcnd 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant3 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ ℂ)
34		npcan1 10864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
36	35	fveq2d 6500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
37	36	oveq1d 6989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
38	37	breq1d 4935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
39	38	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
40		eldifi 3986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ)
41		prmz 15873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
42		zre 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
43		simp1 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
44	43	ralimi 3103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}))
45		fzo0ss1 12880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
46	45	sseli 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
47	46	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
48		fveq2 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝐼))
49	48	eleq1d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
50	49	rspcv 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
52	51	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
55	54	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)(𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))))
57	1, 56	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))))
58	57	3imp 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}))
59		eldifi 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℙ)
60		prmz 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℤ)
61		zre 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
62		bgoldbtbnd.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11))
63		eluzelz 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;11) → 𝑁 ∈ ℤ)
64		zre 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65		oddz 43198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
66	65	zred 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
67		simplr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
68		simprl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
69		4re 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 4 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
71	67, 68, 70	lesubaddd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 ↔ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))))
72		simpllr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑋 ∈ ℝ)
73		simplrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
74	72, 73	resubcld 10867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
75	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 4 ∈ ℝ)
76		simplrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
77	75, 76	readdcld 10467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
78	77, 73	resubcld 10867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
79		simplll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → 𝑁 ∈ ℝ)
80	70, 68	readdcld 10467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (4 + (𝐹‘𝐼)) ∈ ℝ)
81		simprr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
82	67, 80, 81	lesub1d 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ↔ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
83	82	biimpa 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
84	83	adantrr 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
85		resubcl 10749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
86	85	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
87		simpll 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88		ltaddsub2 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁 ↔ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)))
89	88	bicomd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
90	70, 86, 87, 89	syl3anc 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
91	90	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
92	91	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
93	92	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁)
94		4cn 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 4 ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℂ)
96	68	recnd 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℂ)
97		recn 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
98	97	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
99	98	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℂ)
100	95, 96, 99	addsubassd 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
101	100	breq1d 4935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
102	101	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) < 𝑁))
103	93, 102	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → ((4 + (𝐹‘𝐼)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
104	74, 78, 79, 84, 103	lelttrd 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) ∧ ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
105	104	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ (4 + (𝐹‘𝐼)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
106	71, 105	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
107	106	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
108	107	exp32 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
109	66, 108	sylan2 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
110	109	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
111	64, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
112	62, 63, 111	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))))
113	112	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
114	113	3adant3 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
115	61, 114	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
116	59, 60, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))))
117	58, 116	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
118	42, 117	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
119	40, 41, 118	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
120	119	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
121	39, 120	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
122	121	expcom 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
123	122	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))))
124	123	imp 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
125	124	3adant3 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)))
126	125	impcom 399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
127	126	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4 → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
128	127	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁))
129	128	impcom 399	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < 𝑁)
130	23, 129	syl5eqbr 4960	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑆 < 𝑁)
131	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 ∈ ℝ)
132		1eluzge0 12104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ (ℤ_≥‘0)
133		fzoss1 12877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ (ℤ_≥‘0) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
134	132, 133	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
135	134	sselda 3851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
136		fvoveq1 6997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
137	136, 48	oveq12d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))
138	137	breq1d 4935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4)))
139	137	breq2d 4937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))))
140	49, 138, 139	3anbi123d 1416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) ↔ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
141	140	rspcv 3524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
142	135, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)))))
143	60	zred 11898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ ℙ → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
144	59, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
145	144	3ad2ant1 1114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹‘𝐼))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
146	142, 145	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
147	146	ex 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)))
148	1, 147	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ))
149	148	imp 398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
150	149	3adant2 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
151	150	ad2antrr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ)
152	41	zred 11898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℙ → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
153	40, 152	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
154	153	3ad2ant1 1114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
155	154	ad2antlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ)
156	151, 155	resubcld 10867	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
157	66	3ad2ant2 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ ℝ)
158		resubcl 10749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
159	157, 154, 158	syl2an 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
160	159	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
161	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
162	161	3ad2ant3 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
163	162	fveq2d 6500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝐼))
164	163	oveq1d 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) = ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
165	164	breq2d 4937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ↔ 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
166	165	biimpcd 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
167	166	3ad2ant3 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))) → ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1)))))
168	167	impcom 399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
169	168	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
170	157	ad2antrr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 𝑋 ∈ ℝ)
171		bgoldbtbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3))
172		eluzge3nn 12102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
174	173	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ)
175		bgoldbtbnd.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
176	175	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
177	132, 133	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷))
178		fzossfz 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0..^𝐷) ⊆ (0...𝐷)
179	177, 178	syl6ss 3863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ_≥‘3) → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
180	171, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1..^𝐷) ⊆ (0...𝐷))
181	180	sselda 3851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝐼 ∈ (0...𝐷))
182	174, 176, 181	iccpartxr 42985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^*)
183		fzofzp1 12947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
184	135, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
185	174, 176, 184	iccpartxr 42985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*)
186	182, 185	jca 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
187	186	3adant2 1112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^*))
188		elico1 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐼) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ^) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^ ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
190		simp2 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
191	189, 190	syl6bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
192	191	adantrd 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
193	192	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋))
194	193	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝐹‘𝐼) ≤ 𝑋)
195	151, 170, 155, 194	lesub1dd 11055	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → ((𝐹‘𝐼) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) ≤ (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
196	131, 156, 160, 169, 195	ltletrd 10598	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < (𝑋 − (𝐹‘(𝐼 − 1))))
197	196, 23	syl6breqr 4967	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → 4 < 𝑆)
198	31, 130, 197	3jca 1109	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
199	198	ex 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 − 1)) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘((𝐼 − 1) + 1)) − (𝐹‘(𝐼 − 1))))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
200	22, 199	mpdan 675	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹‘𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 − (𝐹‘𝐼)) ≤ 4) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1069 = wceq 1508 ∈ wcel 2051 ∀wral 3081 ∖ cdif 3819 ⊆ wss 3822 {csn 4435 class class class wbr 4925 ‘cfv 6185 (class class class)co 6974 ℂcc 10331 ℝcr 10332 0cc0 10333 1c1 10334 + caddc 10336 ℝ^*cxr 10471 < clt 10472 ≤ cle 10473 − cmin 10668 ℕcn 11437 2c2 11493 3c3 11494 4c4 11495 7c7 11498 ℤcz 11791 cdc 11909 ℤ_≥cuz 12056 [,)cico 12554 ...cfz 12706 ..^cfzo 12847 ℙcprime 15869 RePartciccp 42979 Even ceven 43191 Odd codd 43192 GoldbachEven cgbe 43312

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1759 ax-4 1773 ax-5 1870 ax-6 1929 ax-7 1966 ax-8 2053 ax-9 2060 ax-10 2080 ax-11 2094 ax-12 2107 ax-13 2302 ax-ext 2743 ax-sep 5056 ax-nul 5063 ax-pow 5115 ax-pr 5182 ax-un 7277 ax-cnex 10389 ax-resscn 10390 ax-1cn 10391 ax-icn 10392 ax-addcl 10393 ax-addrcl 10394 ax-mulcl 10395 ax-mulrcl 10396 ax-mulcom 10397 ax-addass 10398 ax-mulass 10399 ax-distr 10400 ax-i2m1 10401 ax-1ne0 10402 ax-1rid 10403 ax-rnegex 10404 ax-rrecex 10405 ax-cnre 10406 ax-pre-lttri 10407 ax-pre-lttrn 10408 ax-pre-ltadd 10409 ax-pre-mulgt0 10410 ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 835 df-3or 1070 df-3an 1071 df-tru 1511 df-ex 1744 df-nf 1748 df-sb 2017 df-mo 2548 df-eu 2585 df-clab 2752 df-cleq 2764 df-clel 2839 df-nfc 2911 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3086 df-rex 3087 df-reu 3088 df-rmo 3089 df-rab 3090 df-v 3410 df-sbc 3675 df-csb 3780 df-dif 3825 df-un 3827 df-in 3829 df-ss 3836 df-pss 3838 df-nul 4173 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4709 df-iun 4790 df-br 4926 df-opab 4988 df-mpt 5005 df-tr 5027 df-id 5308 df-eprel 5313 df-po 5322 df-so 5323 df-fr 5362 df-we 5364 df-xp 5409 df-rel 5410 df-cnv 5411 df-co 5412 df-dm 5413 df-rn 5414 df-res 5415 df-ima 5416 df-pred 5983 df-ord 6029 df-on 6030 df-lim 6031 df-suc 6032 df-iota 6149 df-fun 6187 df-fn 6188 df-f 6189 df-f1 6190 df-fo 6191 df-f1o 6192 df-fv 6193 df-riota 6935 df-ov 6977 df-oprab 6978 df-mpo 6979 df-om 7395 df-1st 7499 df-2nd 7500 df-wrecs 7748 df-recs 7810 df-rdg 7848 df-1o 7903 df-2o 7904 df-er 8087 df-map 8206 df-en 8305 df-dom 8306 df-sdom 8307 df-fin 8308 df-sup 8699 df-pnf 10474 df-mnf 10475 df-xr 10476 df-ltxr 10477 df-le 10478 df-sub 10670 df-neg 10671 df-div 11097 df-nn 11438 df-2 11501 df-3 11502 df-4 11503 df-n0 11706 df-z 11792 df-uz 12057 df-rp 12203 df-ico 12558 df-fz 12707 df-fzo 12848 df-seq 13183 df-exp 13243 df-cj 14317 df-re 14318 df-im 14319 df-sqrt 14453 df-abs 14454 df-dvds 15466 df-prm 15870 df-iccp 42980 df-even 43193 df-odd 43194

This theorem is referenced by: bgoldbtbndlem4 43375

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