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Theorem bgoldbtbndlem2 46088
Description: Lemma 2 for bgoldbtbnd 46091. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
bgoldbtbnd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
bgoldbtbnd.b (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑁) β†’ 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
bgoldbtbnd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (RePartβ€˜π·))
bgoldbtbnd.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
bgoldbtbnd.0 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 13)
bgoldbtbnd.l (πœ‘ β†’ 𝑀 < (πΉβ€˜π·))
bgoldbtbndlem2.s 𝑆 = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem2
StepHypRef Expression
1 bgoldbtbnd.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))))
2 elfzoelz 13581 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3 elfzoel2 13580 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4 elfzom1b 13680 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^(𝐷 βˆ’ 1))))
5 fzossrbm1 13610 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (0..^(𝐷 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝐷))
65adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (0..^(𝐷 βˆ’ 1)) βŠ† (0..^𝐷))
76sseld 3947 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^(𝐷 βˆ’ 1)) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷)))
84, 7sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷)))
98com12 32 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ β„€) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷)))
102, 3, 9mp2and 698 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷))
11 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
1211eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
13 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)) = (πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)))
1413, 11oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) = ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
1514breq1d 5119 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)))
1614breq2d 5121 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ↔ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
1712, 15, 163anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 βˆ’ 1) β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) ↔ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
1817rspcv 3579 . . . . . 6 ((𝐼 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
201, 19syl5com 31 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))))
2120a1d 25 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))))
22213imp 1112 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
23 bgoldbtbndlem2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))
24 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ Odd )
25 oddprmALTV 45969 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd )
2724, 26anim12i 614 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ (𝑋 ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (𝑋 ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ))
29 omoeALTV 45967 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Odd ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ Odd ) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even )
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ Even )
3123, 30eqeltrid 2838 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 𝑆 ∈ Even )
322zcnd 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
33323ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
34 npcan1 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ β„‚ β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) + 1) = 𝐼)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) + 1) = 𝐼)
3635fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) = (πΉβ€˜πΌ))
3736oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
3837breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)))
40 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™)
41 prmz 16559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
42 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
43 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
4443ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
45 fzo0ss1 13611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1..^𝐷) βŠ† (0..^𝐷)
4645sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
48 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜πΌ))
4948eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
5049rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
5251ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}))))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}))))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ Odd β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))))
5554com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)(πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))))
5644, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2})))))
571, 56mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}))))
58573imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
59 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ β„™)
60 prmz 16559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ β„€)
61 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ β„€ β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
62 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜11))
63 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜11) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
64 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
65 oddz 45913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 ∈ Odd β†’ 𝑋 ∈ β„€)
6665zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ Odd β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
67 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
68 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
69 4re 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ 4 ∈ ℝ)
7167, 68, 70lesubaddd 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 ↔ 𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ))))
72 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
73 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
7472, 73resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
7569a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ 4 ∈ ℝ)
76 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
7775, 76readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∈ ℝ)
7877, 73resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
79 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
8070, 68readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∈ ℝ)
81 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
8267, 80, 81lesub1d 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ↔ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ≀ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
8382biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ≀ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
8483adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ≀ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
85 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
8685adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
87 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
88 ltaddsub2 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((4 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁 ↔ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)))
8988bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((4 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
9070, 86, 87, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
9190biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
9291adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)) β†’ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
9392imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁)
94 4cn 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 ∈ β„‚
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ 4 ∈ β„‚)
9668recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ β„‚)
97 recn 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9897adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9998adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
10095, 96, 99addsubassd 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
101100breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁 ↔ (4 + ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) < 𝑁))
10393, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ ((4 + (πΉβ€˜πΌ)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)
10474, 78, 79, 84, 103lelttrd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)
105104exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (𝑋 ≀ (4 + (πΉβ€˜πΌ)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
10671, 105sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
107106com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
108107exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
10966, 108sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
110109ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))))
11164, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))))
11262, 63, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ Odd β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))))
113112imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
1141133adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
11561, 114syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ β„€ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
11659, 60, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))))
11758, 116mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))
11842, 117syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„€ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))
11940, 41, 1183syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))
120119impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
12139, 120sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
122121expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))
123122com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))))
124123imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
1251243adant3 1133 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)))
126125impcom 409 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))
127126com12 32 . . . . . . 7 ((𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))
128127adantl 483 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁))
129128impcom 409 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < 𝑁)
13023, 129eqbrtrid 5144 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 𝑆 < 𝑁)
13169a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 4 ∈ ℝ)
132 1eluzge0 12825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
133 fzoss1 13608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1..^𝐷) βŠ† (0..^𝐷))
134132, 133mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1..^𝐷) βŠ† (0..^𝐷))
135134sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
136 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝐼 β†’ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)) = (πΉβ€˜(𝐼 + 1)))
137136, 48oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) = ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)))
138137breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 β†’ (((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ↔ ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) < (𝑁 βˆ’ 4)))
139137breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐼 β†’ (4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) ↔ 4 < ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ))))
14049, 138, 1393anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐼 β†’ (((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) ↔ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)))))
141140rspcv 3579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)))))
142135, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)))))
14360zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
14459, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
1451443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜πΌ) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝐼 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜πΌ))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
146142, 145syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ))
147146ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^𝐷)((πΉβ€˜π‘–) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–)) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘–))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)))
1481, 147mpid 44 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ))
149148imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
1501493adant2 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
151150ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ)
15241zred 12615 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ β„™ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
15340, 152syl 17 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
1541533ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
155154ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
156151, 155resubcld 11591 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
157663ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
158 resubcl 11473 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
159157, 154, 158syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
160159adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
16132, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) + 1) = 𝐼)
1621613ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝐼 βˆ’ 1) + 1) = 𝐼)
163162fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) = (πΉβ€˜πΌ))
164163oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) = ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
165164breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ↔ 4 < ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
166165biimpcd 249 . . . . . . . . 9 (4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 4 < ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
1671663ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 4 < ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)))))
168167impcom 409 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ 4 < ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
169168adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 4 < ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
170157ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
171 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
172 eluzge3nn 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝐷 ∈ β„•)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
174173adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ β„•)
175 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (RePartβ€˜π·))
176175adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (RePartβ€˜π·))
177132, 133mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (1..^𝐷) βŠ† (0..^𝐷))
178 fzossfz 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0..^𝐷) βŠ† (0...𝐷)
179177, 178sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (1..^𝐷) βŠ† (0...𝐷))
180171, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1..^𝐷) βŠ† (0...𝐷))
181180sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ (0...𝐷))
182174, 176, 181iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ*)
183 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
184135, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝐷))
185174, 176, 184iccpartxr 45701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (πΉβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
186182, 185jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
1871863adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
188 elico1 13316 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (πΉβ€˜(𝐼 + 1)))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (πΉβ€˜(𝐼 + 1)))))
190 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < (πΉβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋)
191189, 190syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋))
192191adantrd 493 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋))
193192adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋))
194193imp 408 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (πΉβ€˜πΌ) ≀ 𝑋)
195151, 170, 155, 194lesub1dd 11779 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ ((πΉβ€˜πΌ) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) ≀ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
196131, 156, 160, 169, 195ltletrd 11323 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 4 < (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))
197196, 23breqtrrdi 5151 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ 4 < 𝑆)
19831, 130, 1973jca 1129 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) ∧ (𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4)) β†’ (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
199198ex 414 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1)) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))) < (𝑁 βˆ’ 4) ∧ 4 < ((πΉβ€˜((𝐼 βˆ’ 1) + 1)) βˆ’ (πΉβ€˜(𝐼 βˆ’ 1))))) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
20022, 199mpdan 686 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ((πΉβ€˜πΌ)[,)(πΉβ€˜(𝐼 + 1))) ∧ (𝑋 βˆ’ (πΉβ€˜πΌ)) ≀ 4) β†’ (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  4c4 12218  7c7 12221  β„€cz 12507  cdc 12626  β„€β‰₯cuz 12771  [,)cico 13275  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  β„™cprime 16555  RePartciccp 45695   Even ceven 45906   Odd codd 45907   GoldbachEven cgbe 46027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-iccp 45696  df-even 45908  df-odd 45909
This theorem is referenced by:  bgoldbtbndlem4  46090
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