Theorem rfcnpre3 44933

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre3.2	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre3.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre3.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre3.5	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
rfcnpre3.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre3

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre3.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre3.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 44925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
9		rfcnpre3.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pnfxr 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
14	11, 12, 13	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
15		simpr2 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
16	5	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
20	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
21		ltpnf 13183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑠) < +∞)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) < +∞)
23	18, 19, 22	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞))
24	15, 23	impbida 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
25	14, 24	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
26	25	pm5.32da 578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
27	8, 26	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
28		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
31		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
32		rfcnpre3.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
33	32, 28	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
34	30, 31, 33	nfbr 5213	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)
35		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3704	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
38	27, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}))
39	38	eqrdv 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)})
40		rfcnpre3.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
41	39, 40	eqtr4di 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = 𝐴)
42		icopnfcld 24809	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	9, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23297	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  {crab 3443  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  topGenctg 17497  Clsdccld 23045   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45980