Theorem rfcnpre3 45488

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre3.2	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre3.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre3.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre3.5	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
rfcnpre3.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre3

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre3.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre3.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7006	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
9		rfcnpre3.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pnfxr 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
14	11, 12, 13	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
15		simpr2 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
16	5	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
20	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
21		ltpnf 13069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑠) < +∞)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) < +∞)
23	18, 19, 22	3jca 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞))
24	15, 23	impbida 806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
25	14, 24	bitrd 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
26	25	pm5.32da 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
27	8, 26	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
28		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
31		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
32		rfcnpre3.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
33	32, 28	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
34	30, 31, 33	nfbr 5126	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)
35		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq2d 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3633	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
38	27, 37	bitr4di 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}))
39	38	eqrdv 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)})
40		rfcnpre3.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
41	39, 40	eqtr4di 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = 𝐴)
42		icopnfcld 24757	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	9, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23258	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887  {crab 3392  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  (,)cioo 13296  [,)cico 13298  topGenctg 17398  Clsdccld 23006   Cn ccn 23214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-topgen 17404  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-cld 23009  df-cn 23217

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  46509