Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre3 43799
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre3.2 Ⅎ𝑑𝐹
rfcnpre3.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre3.4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre3.5 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)}
rfcnpre3.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐡   𝑑,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑑)

Proof of Theorem rfcnpre3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre3.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 rfcnpre3.4 . . . . . . . 8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre3.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 43791 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 7059 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞))))
9 rfcnpre3.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11266 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 pnfxr 11270 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
13 elico1 13369 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞)))
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞)))
15 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞)) β†’ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ))
165ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1716rexrd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
19 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ))
2016adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
21 ltpnf 13102 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞)
2318, 19, 223jca 1128 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞))
2415, 23impbida 799 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < +∞) ↔ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
2514, 24bitrd 278 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞) ↔ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
2625pm5.32da 579 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (𝐡[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ))))
278, 26bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ ))))
28 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑠
29 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝐡
31 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 ≀
32 rfcnpre3.2 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐹
3332, 28nffv 6901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
3430, 31, 33nfbr 5195 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )
35 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘ ))
3635breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
3728, 29, 34, 36elrabf 3679 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
3827, 37bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)}))
3938eqrdv 2730 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)})
40 rfcnpre3.5 . . 3 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 𝐡 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)}
4139, 40eqtr4di 2790 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) = 𝐴)
42 icopnfcld 24291 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
439, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
441fveq2i 6894 . . . 4 (Clsdβ€˜πΎ) = (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
4543, 44eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
46 cnclima 22779 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐡[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
474, 45, 46syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡[,)+∞)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4841, 47eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  {crab 3432  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  topGenctg 17385  Clsdccld 22527   Cn ccn 22735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  44854
  Copyright terms: Public domain W3C validator