Theorem rfcnpre3 43717

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre3.2	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre3.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre3.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre3.5	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
rfcnpre3.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre3

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre3.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre3.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 43709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
9		rfcnpre3.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pnfxr 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
14	11, 12, 13	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
15		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
16	5	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
20	16	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
21		ltpnf 13100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑠) < +∞)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) < +∞)
23	18, 19, 22	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞))
24	15, 23	impbida 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
25	14, 24	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
26	25	pm5.32da 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
27	8, 26	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
28		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
31		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
32		rfcnpre3.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
33	32, 28	nffv 6902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
34	30, 31, 33	nfbr 5196	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)
35		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq2d 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3680	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
38	27, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}))
39	38	eqrdv 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)})
40		rfcnpre3.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
41	39, 40	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = 𝐴)
42		icopnfcld 24284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	9, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6895	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 22772	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  {crab 3433  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5676  ran crn 5678   “ cima 5680   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  topGenctg 17383  Clsdccld 22520   Cn ccn 22728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  44775