Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre3 44971
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre3.2 𝑡𝐹
rfcnpre3.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre3.4 𝑇 = 𝐽
rfcnpre3.5 𝐴 = {𝑡𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑡)}
rfcnpre3.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre3 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre3.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 rfcnpre3.4 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre3.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 44963 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 ffn 6737 . . . . . . 7 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 7078 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
9 rfcnpre3.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 pnfxr 11313 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
13 elico1 13427 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ*𝐵 ≤ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) < +∞)))
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ*𝐵 ≤ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) < +∞)))
15 simpr2 1194 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ*𝐵 ≤ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) < +∞)) → 𝐵 ≤ (𝐹𝑠))
165ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1716rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)) → 𝐵 ≤ (𝐹𝑠))
2016adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
21 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → (𝐹𝑠) < +∞)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)) → (𝐹𝑠) < +∞)
2318, 19, 223jca 1127 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ*𝐵 ≤ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) < +∞))
2415, 23impbida 801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → (((𝐹𝑠) ∈ ℝ*𝐵 ≤ (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) < +∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)))
2514, 24bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)))
2625pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑠))))
278, 26bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑠))))
28 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑡𝑠
29 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑡𝑇
30 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑡𝐵
31 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑡
32 rfcnpre3.2 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3332, 28nffv 6917 . . . . . . 7 𝑡(𝐹𝑠)
3430, 31, 33nfbr 5195 . . . . . 6 𝑡 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)
35 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3635breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ≤ (𝐹𝑡) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹𝑠)))
3728, 29, 34, 36elrabf 3691 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑡)} ↔ (𝑠𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑠)))
3827, 37bitr4di 289 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑡)}))
3938eqrdv 2733 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = {𝑡𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑡)})
40 rfcnpre3.5 . . 3 𝐴 = {𝑡𝑇𝐵 ≤ (𝐹𝑡)}
4139, 40eqtr4di 2793 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = 𝐴)
42 icopnfcld 24804 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
439, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
441fveq2i 6910 . . . 4 (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
4543, 44eleqtrrdi 2850 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾))
46 cnclima 23292 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
474, 45, 46syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
4841, 47eqeltrrd 2840 1 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnfc 2888  {crab 3433   cuni 4912   class class class wbr 5148  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  topGenctg 17484  Clsdccld 23040   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  46015
  Copyright terms: Public domain W3C validator