Theorem rfcnpre3 42249

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre3.2	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre3.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre3.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre3.5	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
rfcnpre3.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre3.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre3

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre3.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre3.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 42241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞))))
9		rfcnpre3.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pnfxr 10887	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
14	11, 12, 13	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)))
15		simpr2 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
16	5	ffvelrnda 6904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))
20	16	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
21		ltpnf 12712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑠) < +∞)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → (𝐹‘𝑠) < +∞)
23	18, 19, 22	3jca 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞))
24	15, 23	impbida 801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) < +∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
25	14, 24	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
26	25	pm5.32da 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
27	8, 26	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠))))
28		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
31		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
32		rfcnpre3.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
33	32, 28	nffv 6727	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
34	30, 31, 33	nfbr 5100	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)
35		fveq2 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq2d 5065	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3598	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑠)))
38	27, 37	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}))
39	38	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)})
40		rfcnpre3.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 𝐵 ≤ (𝐹‘𝑡)}
41	39, 40	eqtr4di 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) = 𝐴)
42		icopnfcld 23665	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	9, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6720	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 22165	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2884  {crab 3065  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550  ran crn 5552   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  (,)cioo 12935  [,)cico 12937  topGenctg 16942  Clsdccld 21913   Cn ccn 22121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-topgen 16948  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cld 21916  df-cn 22124

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  43275