Theorem tan2h 38263

Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tan2h	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11205	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		pire 26619	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 11262	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ*
4		icossre 13450	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)π) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	halfcld 12484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	6	rehalfcld 12486	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
10	9	rered 15271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11		elico2 13432	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
12	1, 3, 11	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
13		pipos 26623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
14		lt0neg2 11716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
16	13, 15	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π < 0
17	2	renegcli 11514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
18		ltletr 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
19	17, 1, 18	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
20	16, 19	mpani 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21		2re 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24		ltdiv1 12074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
25	17, 23, 24	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26		picn 26621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
27		2cn 12311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
29		divneg 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
30	26, 27, 28, 29	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
31	30	breq1i 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
32	25, 31	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
33	20, 32	sylibd 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34		ltdiv1 12074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
35	2, 23, 34	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
36	35	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	anim12d 620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38		rehalfcl 12466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40		halfpire 26629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
41	40	renegcli 11514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
42	41	rexri 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
43	40	rexri 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
44		elioo5 13425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
45	42, 43, 44	mp3an12 1480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
46	39, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
47	37, 46	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48	47	3impib 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
49	12, 48	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	10, 49	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		cosne0 26694	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
52	8, 50, 51	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53		tanval 16179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
54	8, 52, 53	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55		0xr 11251	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56		elico1 13410	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
57	55, 3, 56	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
58	21, 2	remulcli 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
59	58	rexri 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
60		1lt2 12408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
61		ltmulgt12 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
62	2, 21, 13, 61	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
63	60, 62	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
64		xrlttr 13160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
65	3, 64	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
66	63, 65	mpan2i 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67		xrltle 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
68	66, 67	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
69	59, 68	mpan2 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
70	69	anim2d 623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
71		elicc4 13435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
72	55, 59, 71	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
73	70, 72	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74	73	3impib 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
75	57, 74	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76		sin2h 38261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
77	75, 76	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
78	1, 2, 13	ltleii 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
79		le0neg2 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
80	2, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
81	78, 80	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ≤ 0
82	17	rexri 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
83		xrletr 13178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
84	82, 55, 83	mp3an12 1480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
85	81, 84	mpani 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86		xrltle 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
87	3, 86	mpan2 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
88	85, 87	anim12d 620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
89		elicc4 13435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
90	82, 3, 89	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
91	88, 90	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92	91	3impib 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
93	57, 92	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94		cos2h 38262	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
95	93, 94	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
96	77, 95	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
97	54, 96	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98		1re 11203	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	6	recoscld 16195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100		resubcl 11517	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102	101	rehalfcld 12486	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103		cosbnd 16232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104	103	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105		recoscl 16192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106		subge0 11722	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107		halfnneg2 12470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108	100, 107	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109	106, 108	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
110	98, 105, 109	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111	104, 110	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
112	6, 111	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113		readdcl 11178	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	98, 99, 113	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115	103	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
116	98	renegcli 11514	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
117		subge0 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118	105, 116, 117	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119		recn 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120	119	coscld 16182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
122		subneg 11502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123		addcom 11391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124	122, 123	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125	120, 121, 124	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126	125	breq2d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127	118, 126	bitr3d 284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128	115, 127	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
129	6, 128	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130		snunioo 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
131	55, 3, 13, 130	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132	131	eleq2i 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133		elun 4107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134	132, 133	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135		elsni 4606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137		cos0 16201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
138	136, 137	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139	138	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140		df-2 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	139, 140	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
142	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143	141, 142	eqnetrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144	135, 143	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145		sinq12gt0 26672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146		ltne 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
147	1, 146	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148		elioore 13397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149	148	recnd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152		df-neg 11439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
153	152	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154		coscl 16178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155		0cn 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
156		subadd 11455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157	155, 121, 156	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158	154, 157	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159	153, 158	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160		sincl 16177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161	160	sqcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162		0cnd 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163	154	sqcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164	161, 162, 163	addcan2d 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165		sincossq 16227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166		neg1sqe1 14228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1↑2) = 1
167	165, 166	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168	163	addlidd 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169	167, 168	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170		sqeq0 14152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171	160, 170	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172	164, 169, 171	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173	151, 159, 172	3imtr3d 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174	149, 173	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175	174	necon3d 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176	147, 175	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177	145, 176	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178	144, 177	jaoi 870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179	134, 178	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180	114, 129, 179	ne0gt0d 11342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181	114, 180	elrpd 13052	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182	181	rphalfcld 13067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183	102, 112, 182	sqrtdivd 15471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
184	7	coscld 16182	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185		subcl 11451	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	121, 184, 185	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187		addcl 11177	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188	121, 184, 187	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189		2cnne0 12448	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190		divcan7 11919	. . . . 5 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191	189, 190	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192	186, 188, 179, 191	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193	192	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
194	97, 183, 193	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370  ↑cexp 14093  ℜcre 15144  √csqrt 15280  sincsin 16112  cosccos 16113  tanctan 16114  πcpi 16115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-tan 16120  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by: (None)