Theorem tan2h 36143

Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tan2h	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11166	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		pire 25852	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 11222	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ*
4		icossre 13355	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)π) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	halfcld 12407	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	6	rehalfcld 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
10	9	rered 15121	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11		elico2 13338	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
12	1, 3, 11	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
13		pipos 25854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
14		lt0neg2 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
16	13, 15	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π < 0
17	2	renegcli 11471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
18		ltletr 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
19	17, 1, 18	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
20	16, 19	mpani 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21		2re 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24		ltdiv1 12028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
25	17, 23, 24	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26		picn 25853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
27		2cn 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
29		divneg 11856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
30	26, 27, 28, 29	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
31	30	breq1i 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
32	25, 31	bitr4di 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
33	20, 32	sylibd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34		ltdiv1 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
35	2, 23, 34	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
36	35	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38		rehalfcl 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40		halfpire 25858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
41	40	renegcli 11471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
42	41	rexri 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
43	40	rexri 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
44		elioo5 13331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
45	42, 43, 44	mp3an12 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
46	39, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
47	37, 46	sylibrd 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48	47	3impib 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
49	12, 48	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	10, 49	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		cosne0 25922	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
52	8, 50, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53		tanval 16021	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
54	8, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55		0xr 11211	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56		elico1 13317	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
57	55, 3, 56	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
58	21, 2	remulcli 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
59	58	rexri 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
60		1lt2 12333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
61		ltmulgt12 12025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
62	2, 21, 13, 61	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
63	60, 62	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
64		xrlttr 13069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
65	3, 64	mp3an2 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
66	63, 65	mpan2i 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67		xrltle 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
68	66, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
69	59, 68	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
70	69	anim2d 612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
71		elicc4 13341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
72	55, 59, 71	mp3an12 1451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
73	70, 72	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74	73	3impib 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
75	57, 74	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76		sin2h 36141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
77	75, 76	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
78	1, 2, 13	ltleii 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
79		le0neg2 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
80	2, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
81	78, 80	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ≤ 0
82	17	rexri 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
83		xrletr 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
84	82, 55, 83	mp3an12 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
85	81, 84	mpani 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86		xrltle 13078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
87	3, 86	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
88	85, 87	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
89		elicc4 13341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
90	82, 3, 89	mp3an12 1451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
91	88, 90	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92	91	3impib 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
93	57, 92	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94		cos2h 36142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
96	77, 95	oveq12d 7380	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
97	54, 96	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98		1re 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	6	recoscld 16037	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100		resubcl 11474	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102	101	rehalfcld 12409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103		cosbnd 16074	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104	103	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105		recoscl 16034	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106		subge0 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107		halfnneg2 12393	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108	100, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109	106, 108	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
110	98, 105, 109	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111	104, 110	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
112	6, 111	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113		readdcl 11143	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	98, 99, 113	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115	103	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
116	98	renegcli 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
117		subge0 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118	105, 116, 117	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119		recn 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120	119	coscld 16024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121		ax-1cn 11118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
122		subneg 11459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123		addcom 11350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124	122, 123	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125	120, 121, 124	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126	125	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127	118, 126	bitr3d 280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128	115, 127	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
129	6, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130		snunioo 13405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
131	55, 3, 13, 130	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132	131	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133		elun 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134	132, 133	bitr3i 276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135		elsni 4608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137		cos0 16043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
138	136, 137	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139	138	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140		df-2 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	139, 140	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
142	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143	141, 142	eqnetrd 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144	135, 143	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145		sinq12gt0 25901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146		ltne 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
147	1, 146	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148		elioore 13304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149	148	recnd 11192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152		df-neg 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
153	152	eqeq1i 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154		coscl 16020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155		0cn 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
156		subadd 11413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157	155, 121, 156	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159	153, 158	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160		sincl 16019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161	160	sqcld 14059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162		0cnd 11157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163	154	sqcld 14059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164	161, 162, 163	addcan2d 11368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165		sincossq 16069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166		neg1sqe1 14110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1↑2) = 1
167	165, 166	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168	163	addlidd 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169	167, 168	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170		sqeq0 14035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171	160, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172	164, 169, 171	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173	151, 159, 172	3imtr3d 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174	149, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175	174	necon3d 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176	147, 175	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177	145, 176	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178	144, 177	jaoi 855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179	134, 178	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180	114, 129, 179	ne0gt0d 11301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181	114, 180	elrpd 12963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182	181	rphalfcld 12978	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183	102, 112, 182	sqrtdivd 15320	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
184	7	coscld 16024	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185		subcl 11409	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	121, 184, 185	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187		addcl 11142	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188	121, 184, 187	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189		2cnne0 12372	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190		divcan7 11873	. . . . 5 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191	189, 190	mp3an3 1450	. . . 4 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192	186, 188, 179, 191	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193	192	fveq2d 6851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
194	97, 183, 193	3eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  (,)cioo 13274  [,)cico 13276  [,]cicc 13277  ↑cexp 13977  ℜcre 14994  √csqrt 15130  sincsin 15957  cosccos 15958  tanctan 15959  πcpi 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-tan 15965  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268

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