Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tan2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tan2h 35506
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 10835 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 pire 25348 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
32rexri 10891 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
4 icossre 13016 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 692 . . . . . . 7 (0[,)π) ⊆ ℝ
65sseli 3896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10861 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
87halfcld 12075 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
96rehalfcld 12077 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
109rered 14787 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11 elico2 12999 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
121, 3, 11mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
13 pipos 25350 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
14 lt0neg2 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < π ↔ -π < 0)
1613, 15mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 -π < 0
172renegcli 11139 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
18 ltletr 10924 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
1917, 1, 18mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
2016, 19mpani 696 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21 2re 11904 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 11933 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24 ltdiv1 11696 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
2517, 23, 24mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26 picn 25349 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
27 2cn 11905 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
28 2ne0 11934 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
29 divneg 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
3026, 27, 28, 29mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) = (-π / 2)
3130breq1i 5060 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
3225, 31bitr4di 292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
3320, 32sylibd 242 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34 ltdiv1 11696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
352, 23, 34mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3635biimpd 232 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3733, 36anim12d 612 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38 rehalfcl 12056 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3938rexrd 10883 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40 halfpire 25354 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℝ
4140renegcli 11139 . . . . . . . . . . . 12 -(π / 2) ∈ ℝ
4241rexri 10891 . . . . . . . . . . 11 -(π / 2) ∈ ℝ*
4340rexri 10891 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ*
44 elioo5 12992 . . . . . . . . . . 11 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4542, 43, 44mp3an12 1453 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4737, 46sylibrd 262 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48473impib 1118 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
4912, 48sylbi 220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
5010, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51 cosne0 25418 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
528, 50, 51syl2anc 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53 tanval 15689 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
548, 52, 53syl2anc 587 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55 0xr 10880 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
56 elico1 12978 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
5755, 3, 56mp2an 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
5821, 2remulcli 10849 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5958rexri 10891 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
60 1lt2 12001 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
61 ltmulgt12 11693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
622, 21, 13, 61mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
6360, 62mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
64 xrlttr 12730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
653, 64mp3an2 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
6663, 65mpan2i 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67 xrltle 12739 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6866, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6959, 68mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
7069anim2d 615 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
71 elicc4 13002 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7255, 59, 71mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7370, 72sylibrd 262 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74733impib 1118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
7557, 74sylbi 220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76 sin2h 35504 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
7775, 76syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
781, 2, 13ltleii 10955 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
79 le0neg2 11341 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
8178, 80mpbi 233 . . . . . . . . . 10 -π ≤ 0
8217rexri 10891 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
83 xrletr 12748 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8482, 55, 83mp3an12 1453 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8581, 84mpani 696 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86 xrltle 12739 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
873, 86mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
8885, 87anim12d 612 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
89 elicc4 13002 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9082, 3, 89mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9188, 90sylibrd 262 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92913impib 1118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
9357, 92sylbi 220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94 cos2h 35505 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9677, 95oveq12d 7231 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
9754, 96eqtrd 2777 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98 1re 10833 . . . . 5 1 ∈ ℝ
996recoscld 15705 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100 resubcl 11142 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
10198, 99, 100sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102101rehalfcld 12077 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103 cosbnd 15742 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104103simprd 499 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105 recoscl 15702 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106 subge0 11345 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107 halfnneg2 12061 . . . . . . . 8 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108100, 107syl 17 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109106, 108bitr3d 284 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
11098, 105, 109sylancr 590 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111104, 110mpbid 235 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
1126, 111syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113 readdcl 10812 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11498, 99, 113sylancr 590 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115103simpld 498 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
11698renegcli 11139 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
117 subge0 11345 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118105, 116, 117sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119 recn 10819 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120119coscld 15692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121 ax-1cn 10787 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
122 subneg 11127 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123 addcom 11018 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124122, 123eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125120, 121, 124sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126125breq2d 5065 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127118, 126bitr3d 284 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128115, 127mpbid 235 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
1296, 128syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130 snunioo 13066 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
13155, 3, 13, 130mp3an 1463 . . . . . . . . 9 ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132131eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133 elun 4063 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134132, 133bitr3i 280 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135 elsni 4558 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137 cos0 15711 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
138136, 137eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139138oveq2d 7229 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140 df-2 11893 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
141139, 140eqtr4di 2796 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143141, 142eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145 sinq12gt0 25397 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146 ltne 10929 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
1471, 146mpan 690 . . . . . . . . . 10 (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148 elioore 12965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149148recnd 10861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152 df-neg 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 − 1)
153152eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154 coscl 15688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155 0cn 10825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
156 subadd 11081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157155, 121, 156mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159153, 158syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160 sincl 15687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161160sqcld 13714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162 0cnd 10826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163154sqcld 13714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164161, 162, 163addcan2d 11036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165 sincossq 15737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166 neg1sqe1 13765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1↑2) = 1
167165, 166eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168163addid2d 11033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169167, 168eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170 sqeq0 13692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172164, 169, 1713bitr3d 312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173151, 159, 1723imtr3d 296 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175174necon3d 2961 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176147, 175syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178144, 177jaoi 857 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179134, 178sylbi 220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180114, 129, 179ne0gt0d 10969 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181114, 180elrpd 12625 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182181rphalfcld 12640 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183102, 112, 182sqrtdivd 14987 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
1847coscld 15692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185 subcl 11077 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186121, 184, 185sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187 addcl 10811 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188121, 184, 187sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189 2cnne0 12040 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190 divcan7 11541 . . . . 5 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191189, 190mp3an3 1452 . . . 4 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192186, 188, 179, 191syl12anc 837 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193192fveq2d 6721 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
19497, 183, 1933eqtr2d 2783 1 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  cun 3864  wss 3866  {csn 4541   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  (,)cioo 12935  [,)cico 12937  [,]cicc 12938  cexp 13635  cre 14660  csqrt 14796  sincsin 15625  cosccos 15626  tanctan 15627  πcpi 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-tan 15633  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator