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Theorem tan2h 33712
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 10325 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 pire 24423 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
32rexri 10380 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
4 icossre 12470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 675 . . . . . . 7 (0[,)π) ⊆ ℝ
65sseli 3792 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10351 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
87halfcld 11542 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
96rehalfcld 11544 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
109rered 14185 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11 elico2 12453 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
121, 3, 11mp2an 675 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
13 pipos 24425 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
14 lt0neg2 10818 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < π ↔ -π < 0)
1613, 15mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 -π < 0
172renegcli 10625 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
18 ltletr 10412 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
1917, 1, 18mp3an12 1568 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
2016, 19mpani 679 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21 2re 11372 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24 ltdiv1 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
2517, 23, 24mp3an13 1569 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26 picn 24424 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
27 2cn 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
28 2ne0 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
29 divneg 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
3026, 27, 28, 29mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) = (-π / 2)
3130breq1i 4849 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
3225, 31syl6bbr 280 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
3320, 32sylibd 230 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34 ltdiv1 11170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
352, 23, 34mp3an23 1570 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3635biimpd 220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3733, 36anim12d 598 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38 rehalfcl 11523 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3938rexrd 10372 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40 halfpire 24429 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℝ
4140renegcli 10625 . . . . . . . . . . . 12 -(π / 2) ∈ ℝ
4241rexri 10380 . . . . . . . . . . 11 -(π / 2) ∈ ℝ*
4340rexri 10380 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ*
44 elioo5 12447 . . . . . . . . . . 11 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4542, 43, 44mp3an12 1568 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4737, 46sylibrd 250 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48473impib 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
4912, 48sylbi 208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
5010, 49eqeltrd 2883 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51 cosne0 24489 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
528, 50, 51syl2anc 575 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53 tanval 15076 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
548, 52, 53syl2anc 575 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55 0xr 10369 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
56 elico1 12434 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
5755, 3, 56mp2an 675 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
5821, 2remulcli 10339 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5958rexri 10380 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
60 1lt2 11468 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
61 ltmulgt12 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
622, 21, 13, 61mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
6360, 62mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
64 xrlttr 12187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
653, 64mp3an2 1566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
6663, 65mpan2i 680 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67 xrltle 12196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6866, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6959, 68mpan2 674 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
7069anim2d 601 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
71 elicc4 12456 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7255, 59, 71mp3an12 1568 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7370, 72sylibrd 250 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74733impib 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
7557, 74sylbi 208 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76 sin2h 33710 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
7775, 76syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
781, 2, 13ltleii 10443 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
79 le0neg2 10820 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
8178, 80mpbi 221 . . . . . . . . . 10 -π ≤ 0
8217rexri 10380 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
83 xrletr 12205 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8482, 55, 83mp3an12 1568 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8581, 84mpani 679 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86 xrltle 12196 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
873, 86mpan2 674 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
8885, 87anim12d 598 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
89 elicc4 12456 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9082, 3, 89mp3an12 1568 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9188, 90sylibrd 250 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92913impib 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
9357, 92sylbi 208 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94 cos2h 33711 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9677, 95oveq12d 6890 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
9754, 96eqtrd 2838 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98 1re 10323 . . . . 5 1 ∈ ℝ
996recoscld 15092 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100 resubcl 10628 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
10198, 99, 100sylancr 577 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102101rehalfcld 11544 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103 cosbnd 15129 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104103simprd 485 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105 recoscl 15089 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106 subge0 10824 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107 halfnneg2 11528 . . . . . . . 8 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108100, 107syl 17 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109106, 108bitr3d 272 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
11098, 105, 109sylancr 577 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111104, 110mpbid 223 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
1126, 111syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113 readdcl 10302 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11498, 99, 113sylancr 577 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115103simpld 484 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
11698renegcli 10625 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
117 subge0 10824 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118105, 116, 117sylancl 576 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119 recn 10309 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120119coscld 15079 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121 ax-1cn 10277 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
122 subneg 10613 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123 addcom 10505 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124122, 123eqtrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125120, 121, 124sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126125breq2d 4854 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127118, 126bitr3d 272 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128115, 127mpbid 223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
1296, 128syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130 snunioo 12519 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
13155, 3, 13, 130mp3an 1578 . . . . . . . . 9 ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132131eleq2i 2875 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133 elun 3950 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134132, 133bitr3i 268 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135 elsni 4385 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136 fveq2 6406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137 cos0 15098 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
138136, 137syl6eq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139138oveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140 df-2 11362 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
141139, 140syl6eqr 2856 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143141, 142eqnetrd 3043 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145 sinq12gt0 24472 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146 ltne 10417 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
1471, 146mpan 673 . . . . . . . . . 10 (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148 elioore 12421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149148recnd 10351 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150 oveq1 6879 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152 df-neg 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 − 1)
153152eqeq1i 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154 coscl 15075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155 0cn 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
156 subadd 10567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157155, 121, 156mp3an12 1568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159153, 158syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160 sincl 15074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161160sqcld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162 0cnd 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163154sqcld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164161, 162, 163addcan2d 10523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165 sincossq 15124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166 neg1sqe1 13180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1↑2) = 1
167165, 166syl6eqr 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168163addid2d 10520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169167, 168eqeq12d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170 sqeq0 13148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172164, 169, 1713bitr3d 300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173151, 159, 1723imtr3d 284 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175174necon3d 2997 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176147, 175syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178144, 177jaoi 875 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179134, 178sylbi 208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180114, 129, 179ne0gt0d 10457 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181114, 180elrpd 12081 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182181rphalfcld 12096 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183102, 112, 182sqrtdivd 14383 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
1847coscld 15079 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185 subcl 10563 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186121, 184, 185sylancr 577 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187 addcl 10301 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188121, 184, 187sylancr 577 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189 2cnne0 11507 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190 divcan7 11017 . . . . 5 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191189, 190mp3an3 1567 . . . 4 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192186, 188, 179, 191syl12anc 856 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193192fveq2d 6410 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
19497, 183, 1933eqtr2d 2844 1 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2976  cun 3765  wss 3767  {csn 4368   class class class wbr 4842  cfv 6099  (class class class)co 6872  cc 10217  cr 10218  0cc0 10219  1c1 10220   + caddc 10222   · cmul 10224  *cxr 10356   < clt 10357  cle 10358  cmin 10549  -cneg 10550   / cdiv 10967  2c2 11354  (,)cioo 12391  [,)cico 12393  [,]cicc 12394  cexp 13081  cre 14058  csqrt 14194  sincsin 15012  cosccos 15013  tanctan 15014  πcpi 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-inf2 8783  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297  ax-addf 10298  ax-mulf 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-of 7125  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-supp 7528  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-pm 8093  df-ixp 8144  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-fsupp 8513  df-fi 8554  df-sup 8585  df-inf 8586  df-oi 8652  df-card 9046  df-cda 9273  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-q 12006  df-rp 12045  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12395  df-ioc 12396  df-ico 12397  df-icc 12398  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-fl 12815  df-mod 12891  df-seq 13023  df-exp 13082  df-fac 13279  df-bc 13308  df-hash 13336  df-shft 14028  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-limsup 14423  df-clim 14440  df-rlim 14441  df-sum 14638  df-ef 15016  df-sin 15018  df-cos 15019  df-tan 15020  df-pi 15021  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-ip 16169  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16286  df-topn 16287  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-topgen 16307  df-pt 16308  df-prds 16311  df-xrs 16365  df-qtop 16370  df-imas 16371  df-xps 16373  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-mulg 17744  df-cntz 17949  df-cmn 18394  df-psmet 19944  df-xmet 19945  df-met 19946  df-bl 19947  df-mopn 19948  df-fbas 19949  df-fg 19950  df-cnfld 19953  df-top 20910  df-topon 20927  df-topsp 20949  df-bases 20962  df-cld 21035  df-ntr 21036  df-cls 21037  df-nei 21114  df-lp 21152  df-perf 21153  df-cn 21243  df-cnp 21244  df-haus 21331  df-tx 21577  df-hmeo 21770  df-fil 21861  df-fm 21953  df-flim 21954  df-flf 21955  df-xms 22336  df-ms 22337  df-tms 22338  df-cncf 22892  df-limc 23842  df-dv 23843
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