Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tan2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tan2h 36099
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (tanβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄)))))

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 pire 25831 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
32rexri 11220 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ*
4 icossre 13352 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (0[,)Ο€) βŠ† ℝ)
51, 3, 4mp2an 691 . . . . . . 7 (0[,)Ο€) βŠ† ℝ
65sseli 3945 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 11190 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
87halfcld 12405 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
96rehalfcld 12407 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
109rered 15116 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (β„œβ€˜(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11 elico2 13335 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€)))
121, 3, 11mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€))
13 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . 13 0 < Ο€
14 lt0neg2 11669 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (0 < Ο€ ↔ -Ο€ < 0))
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < Ο€ ↔ -Ο€ < 0)
1613, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ < 0
172renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ
18 ltletr 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((-Ο€ < 0 ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ -Ο€ < 𝐴))
1917, 1, 18mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-Ο€ < 0 ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ -Ο€ < 𝐴))
2016, 19mpani 695 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ 𝐴 β†’ -Ο€ < 𝐴))
21 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24 ltdiv1 12026 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (-Ο€ < 𝐴 ↔ (-Ο€ / 2) < (𝐴 / 2)))
2517, 23, 24mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-Ο€ < 𝐴 ↔ (-Ο€ / 2) < (𝐴 / 2)))
26 picn 25832 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ β„‚
27 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
28 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 2 β‰  0
29 divneg 11854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2))
3026, 27, 28, 29mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2)
3130breq1i 5117 . . . . . . . . . . . 12 (-(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-Ο€ / 2) < (𝐴 / 2))
3225, 31bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-Ο€ < 𝐴 ↔ -(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2)))
3320, 32sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ 𝐴 β†’ -(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2)))
34 ltdiv1 12026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 < Ο€ ↔ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2)))
352, 23, 34mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < Ο€ ↔ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2)))
3733, 36anim12d 610 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (-(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2))))
38 rehalfcl 12386 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3938rexrd 11212 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40 halfpire 25837 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
4140renegcli 11469 . . . . . . . . . . . 12 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ
4241rexri 11220 . . . . . . . . . . 11 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
4340rexri 11220 . . . . . . . . . . 11 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
44 elioo5 13328 . . . . . . . . . . 11 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2))))
4542, 43, 44mp3an12 1452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2))))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-(Ο€ / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (Ο€ / 2))))
4737, 46sylibrd 259 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))))
48473impib 1117 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
4912, 48sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
5010, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (β„œβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
51 cosne0 25901 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2))) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
528, 50, 51syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0)
53 tanval 16017 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(𝐴 / 2)) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) / (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
548, 52, 53syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (tanβ€˜(𝐴 / 2)) = ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) / (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
55 0xr 11209 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
56 elico1 13314 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€)))
5755, 3, 56mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€))
5821, 2remulcli 11178 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
5958rexri 11220 . . . . . . . . . 10 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
60 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
61 ltmulgt12 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€) β†’ (1 < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· Ο€)))
622, 21, 13, 61mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ Ο€ < (2 Β· Ο€))
6360, 62mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ < (2 Β· Ο€)
64 xrlttr 13066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 < Ο€ ∧ Ο€ < (2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
653, 64mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 < Ο€ ∧ Ο€ < (2 Β· Ο€)) β†’ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
6663, 65mpan2i 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
67 xrltle 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < (2 Β· Ο€) β†’ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
6866, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
6959, 68mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€)))
7069anim2d 613 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€))))
71 elicc4 13338 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) ↔ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€))))
7255, 59, 71mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) ↔ (0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ (2 Β· Ο€))))
7370, 72sylibrd 259 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€))))
74733impib 1117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)))
7557, 74sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)))
76 sin2h 36097 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,](2 Β· Ο€)) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
7775, 76syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
781, 2, 13ltleii 11285 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ Ο€
79 le0neg2 11671 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (0 ≀ Ο€ ↔ -Ο€ ≀ 0))
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≀ Ο€ ↔ -Ο€ ≀ 0)
8178, 80mpbi 229 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ≀ 0
8217rexri 11220 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ*
83 xrletr 13084 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((-Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴))
8482, 55, 83mp3an12 1452 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ ((-Ο€ ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ -Ο€ ≀ 𝐴))
8581, 84mpani 695 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (0 ≀ 𝐴 β†’ -Ο€ ≀ 𝐴))
86 xrltle 13075 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ 𝐴 ≀ Ο€))
873, 86mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 < Ο€ β†’ 𝐴 ≀ Ο€))
8885, 87anim12d 610 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (-Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€)))
89 elicc4 13338 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (-Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€)))
9082, 3, 89mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (-Ο€ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€)))
9188, 90sylibrd 259 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ ((0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€)))
92913impib 1117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
9357, 92sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
94 cos2h 36098 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2)))
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2)))
9677, 95oveq12d 7380 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) / (cosβ€˜(𝐴 / 2))) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) / (βˆšβ€˜((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2))))
9754, 96eqtrd 2777 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (tanβ€˜(𝐴 / 2)) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) / (βˆšβ€˜((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2))))
98 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
996recoscld 16033 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
100 resubcl 11472 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
10198, 99, 100sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
102101rehalfcld 12407 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ ℝ)
103 cosbnd 16070 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
104103simprd 497 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ≀ 1)
105 recoscl 16030 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
106 subge0 11675 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
107 halfnneg2 12391 . . . . . . . 8 ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
108100, 107syl 17 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
109106, 108bitr3d 281 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
11098, 105, 109sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)))
111104, 110mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
1126, 111syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 0 ≀ ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2))
113 readdcl 11141 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
11498, 99, 113sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
115103simpld 496 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -1 ≀ (cosβ€˜π΄))
11698renegcli 11469 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
117 subge0 11675 . . . . . . . . . 10 (((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) ↔ -1 ≀ (cosβ€˜π΄)))
118105, 116, 117sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) ↔ -1 ≀ (cosβ€˜π΄)))
119 recn 11148 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
120119coscld 16020 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
121 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
122 subneg 11457 . . . . . . . . . . . 12 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) = ((cosβ€˜π΄) + 1))
123 addcom 11348 . . . . . . . . . . . 12 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) + 1) = (1 + (cosβ€˜π΄)))
124122, 123eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) = (1 + (cosβ€˜π΄)))
125120, 121, 124sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) = (1 + (cosβ€˜π΄)))
126125breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ -1) ↔ 0 ≀ (1 + (cosβ€˜π΄))))
127118, 126bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ↔ 0 ≀ (1 + (cosβ€˜π΄))))
128115, 127mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (1 + (cosβ€˜π΄)))
1296, 128syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 0 ≀ (1 + (cosβ€˜π΄)))
130 snunioo 13402 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 < Ο€) β†’ ({0} βˆͺ (0(,)Ο€)) = (0[,)Ο€))
13155, 3, 13, 130mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ({0} βˆͺ (0(,)Ο€)) = (0[,)Ο€)
132131eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} βˆͺ (0(,)Ο€)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)Ο€))
133 elun 4113 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} βˆͺ (0(,)Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)Ο€)))
134132, 133bitr3i 277 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)Ο€)))
135 elsni 4608 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} β†’ 𝐴 = 0)
136 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 β†’ (cosβ€˜π΄) = (cosβ€˜0))
137 cos0 16039 . . . . . . . . . . . . 13 (cosβ€˜0) = 1
138136, 137eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 0 β†’ (cosβ€˜π΄) = 1)
139138oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) = (1 + 1))
140 df-2 12223 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
141139, 140eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) = 2)
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 β†’ 2 β‰  0)
143141, 142eqnetrd 3012 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {0} β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)
145 sinq12gt0 25880 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
146 ltne 11259 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sinβ€˜π΄)) β†’ (sinβ€˜π΄) β‰  0)
1471, 146mpan 689 . . . . . . . . . 10 (0 < (sinβ€˜π΄) β†’ (sinβ€˜π΄) β‰  0)
148 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
149148recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
150 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cosβ€˜π΄) β†’ (-1↑2) = ((cosβ€˜π΄)↑2))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-1 = (cosβ€˜π΄) β†’ (-1↑2) = ((cosβ€˜π΄)↑2)))
152 df-neg 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 βˆ’ 1)
153152eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cosβ€˜π΄) ↔ (0 βˆ’ 1) = (cosβ€˜π΄))
154 coscl 16016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
155 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„‚
156 subadd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((0 βˆ’ 1) = (cosβ€˜π΄) ↔ (1 + (cosβ€˜π΄)) = 0))
157155, 121, 156mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ ((0 βˆ’ 1) = (cosβ€˜π΄) ↔ (1 + (cosβ€˜π΄)) = 0))
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((0 βˆ’ 1) = (cosβ€˜π΄) ↔ (1 + (cosβ€˜π΄)) = 0))
159153, 158bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-1 = (cosβ€˜π΄) ↔ (1 + (cosβ€˜π΄)) = 0))
160 sincl 16015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
161160sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
162 0cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„‚)
163154sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
164161, 162, 163addcan2d 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (0 + ((cosβ€˜π΄)↑2)) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) = 0))
165 sincossq 16065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
166 neg1sqe1 14107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1↑2) = 1
167165, 166eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (-1↑2))
168163addid2d 11363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = ((cosβ€˜π΄)↑2))
169167, 168eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (0 + ((cosβ€˜π΄)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cosβ€˜π΄)↑2)))
170 sqeq0 14032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (sinβ€˜π΄) = 0))
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) = 0 ↔ (sinβ€˜π΄) = 0))
172164, 169, 1713bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((-1↑2) = ((cosβ€˜π΄)↑2) ↔ (sinβ€˜π΄) = 0))
173151, 159, 1723imtr3d 293 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 + (cosβ€˜π΄)) = 0 β†’ (sinβ€˜π΄) = 0))
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((1 + (cosβ€˜π΄)) = 0 β†’ (sinβ€˜π΄) = 0))
175174necon3d 2965 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((sinβ€˜π΄) β‰  0 β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0))
176147, 175syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0))
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)Ο€) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)
178144, 177jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)
179134, 178sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)
180114, 129, 179ne0gt0d 11299 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ 0 < (1 + (cosβ€˜π΄)))
181114, 180elrpd 12961 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ ℝ+)
182181rphalfcld 12976 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2) ∈ ℝ+)
183102, 112, 182sqrtdivd 15315 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (βˆšβ€˜(((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) / ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2))) = ((βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2)) / (βˆšβ€˜((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2))))
1847coscld 16020 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
185 subcl 11407 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
186121, 184, 185sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
187 addcl 11140 . . . . 5 ((1 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
188121, 184, 187sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
189 2cnne0 12370 . . . . 5 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
190 divcan7 11871 . . . . 5 (((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) / ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2)) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄))))
191189, 190mp3an3 1451 . . . 4 (((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((1 + (cosβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ (1 + (cosβ€˜π΄)) β‰  0)) β†’ (((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) / ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2)) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄))))
192186, 188, 179, 191syl12anc 836 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) / ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2)) = ((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄))))
193192fveq2d 6851 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (βˆšβ€˜(((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / 2) / ((1 + (cosβ€˜π΄)) / 2))) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄)))))
19497, 183, 1933eqtr2d 2783 1 (𝐴 ∈ (0[,)Ο€) β†’ (tanβ€˜(𝐴 / 2)) = (βˆšβ€˜((1 βˆ’ (cosβ€˜π΄)) / (1 + (cosβ€˜π΄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974  β„œcre 14989  βˆšcsqrt 15125  sincsin 15953  cosccos 15954  tanctan 15955  Ο€cpi 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator