Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tan2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tan2h 36070
Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
tan2h (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h
StepHypRef Expression
1 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 pire 25815 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
32rexri 11213 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
4 icossre 13345 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 690 . . . . . . 7 (0[,)π) ⊆ ℝ
65sseli 3940 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
87halfcld 12398 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
96rehalfcld 12400 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
109rered 15109 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11 elico2 13328 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
121, 3, 11mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
13 pipos 25817 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
14 lt0neg2 11662 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
152, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < π ↔ -π < 0)
1613, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 -π < 0
172renegcli 11462 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
18 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
1917, 1, 18mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
2016, 19mpani 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24 ltdiv1 12019 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
2517, 23, 24mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26 picn 25816 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
27 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
28 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
29 divneg 11847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
3026, 27, 28, 29mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) = (-π / 2)
3130breq1i 5112 . . . . . . . . . . . 12 (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
3225, 31bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
3320, 32sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34 ltdiv1 12019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
352, 23, 34mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
3733, 36anim12d 609 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38 rehalfcl 12379 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3938rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40 halfpire 25821 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℝ
4140renegcli 11462 . . . . . . . . . . . 12 -(π / 2) ∈ ℝ
4241rexri 11213 . . . . . . . . . . 11 -(π / 2) ∈ ℝ*
4340rexri 11213 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ*
44 elioo5 13321 . . . . . . . . . . 11 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4542, 43, 44mp3an12 1451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
4737, 46sylibrd 258 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48473impib 1116 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
4912, 48sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
5010, 49eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51 cosne0 25885 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
528, 50, 51syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53 tanval 16010 . . . 4 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
548, 52, 53syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55 0xr 11202 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
56 elico1 13307 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π)))
5755, 3, 56mp2an 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π))
5821, 2remulcli 11171 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5958rexri 11213 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℝ*
60 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
61 ltmulgt12 12016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
622, 21, 13, 61mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
6360, 62mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 π < (2 · π)
64 xrlttr 13059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
653, 64mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
6663, 65mpan2i 695 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67 xrltle 13068 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6866, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
6959, 68mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
7069anim2d 612 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
71 elicc4 13331 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7255, 59, 71mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π))))
7370, 72sylibrd 258 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74733impib 1116 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
7557, 74sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76 sin2h 36068 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
7775, 76syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
781, 2, 13ltleii 11278 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
79 le0neg2 11664 . . . . . . . . . . . 12 (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
802, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
8178, 80mpbi 229 . . . . . . . . . 10 -π ≤ 0
8217rexri 11213 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
83 xrletr 13077 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8482, 55, 83mp3an12 1451 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
8581, 84mpani 694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86 xrltle 13068 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
873, 86mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
8885, 87anim12d 609 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
89 elicc4 13331 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9082, 3, 89mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴𝐴 ≤ π)))
9188, 90sylibrd 258 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92913impib 1116 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
9357, 92sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94 cos2h 36069 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
9677, 95oveq12d 7375 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
9754, 96eqtrd 2776 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98 1re 11155 . . . . 5 1 ∈ ℝ
996recoscld 16026 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100 resubcl 11465 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
10198, 99, 100sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102101rehalfcld 12400 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103 cosbnd 16063 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104103simprd 496 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105 recoscl 16023 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106 subge0 11668 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107 halfnneg2 12384 . . . . . . . 8 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108100, 107syl 17 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109106, 108bitr3d 280 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
11098, 105, 109sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111104, 110mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
1126, 111syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113 readdcl 11134 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
11498, 99, 113sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115103simpld 495 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
11698renegcli 11462 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
117 subge0 11668 . . . . . . . . . 10 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118105, 116, 117sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119 recn 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120119coscld 16013 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
122 subneg 11450 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123 addcom 11341 . . . . . . . . . . . 12 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124122, 123eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125120, 121, 124sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126125breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127118, 126bitr3d 280 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128115, 127mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
1296, 128syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130 snunioo 13395 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
13155, 3, 13, 130mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132131eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133 elun 4108 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134132, 133bitr3i 276 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135 elsni 4603 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137 cos0 16032 . . . . . . . . . . . . 13 (cos‘0) = 1
138136, 137eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139138oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140 df-2 12216 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
141139, 140eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
14228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143141, 142eqnetrd 3011 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144135, 143syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145 sinq12gt0 25864 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146 ltne 11252 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
1471, 146mpan 688 . . . . . . . . . 10 (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149148recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 − 1)
153152eqeq1i 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154 coscl 16009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℂ
156 subadd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157155, 121, 156mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159153, 158bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160 sincl 16008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161160sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163154sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164161, 162, 163addcan2d 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165 sincossq 16058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166 neg1sqe1 14100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1↑2) = 1
167165, 166eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168163addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169167, 168eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170 sqeq0 14025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171160, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172164, 169, 1713bitr3d 308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173151, 159, 1723imtr3d 292 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174149, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175174necon3d 2964 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176147, 175syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177145, 176mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178144, 177jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179134, 178sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180114, 129, 179ne0gt0d 11292 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181114, 180elrpd 12954 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182181rphalfcld 12969 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183102, 112, 182sqrtdivd 15308 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
1847coscld 16013 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185 subcl 11400 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186121, 184, 185sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187 addcl 11133 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188121, 184, 187sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189 2cnne0 12363 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190 divcan7 11864 . . . . 5 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191189, 190mp3an3 1450 . . . 4 (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192186, 188, 179, 191syl12anc 835 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193192fveq2d 6846 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
19497, 183, 1933eqtr2d 2782 1 (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  cexp 13967  cre 14982  csqrt 15118  sincsin 15946  cosccos 15947  tanctan 15948  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator