Theorem tan2h 37725

Description: Half-angle rule for tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tan2h	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Proof of Theorem tan2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11125	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		pire 26413	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 11181	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ*
4		icossre 13335	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0[,)π) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)π) ⊆ ℝ
6	5	sseli 3926	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	halfcld 12377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	6	rehalfcld 12379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
10	9	rered 15138	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
11		elico2 13317	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
12	1, 3, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
13		pipos 26415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
14		lt0neg2 11635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
16	13, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π < 0
17	2	renegcli 11433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
18		ltletr 11216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
19	17, 1, 18	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-π < 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π < 𝐴))
20	16, 19	mpani 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -π < 𝐴))
21		2re 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24		ltdiv1 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
25	17, 23, 24	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2)))
26		picn 26414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
27		2cn 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
29		divneg 11824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
30	26, 27, 28, 29	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
31	30	breq1i 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ↔ (-π / 2) < (𝐴 / 2))
32	25, 31	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-π < 𝐴 ↔ -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
33	20, 32	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → -(π / 2) < (𝐴 / 2)))
34		ltdiv1 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
35	2, 23, 34	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
36	35	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π → (𝐴 / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
38		rehalfcl 12359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
40		halfpire 26420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
41	40	renegcli 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
42	41	rexri 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
43	40	rexri 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
44		elioo5 13310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
45	42, 43, 44	mp3an12 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
46	39, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (-(π / 2) < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2))))
47	37, 46	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))))
48	47	3impib 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
49	12, 48	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (𝐴 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
50	10, 49	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
51		cosne0 26485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
52	8, 50, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
53		tanval 16044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
54	8, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))))
55		0xr 11170	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56		elico1 13295	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
57	55, 3, 56	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
58	21, 2	remulcli 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
59	58	rexri 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
60		1lt2 12302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
61		ltmulgt12 11993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < π) → (1 < 2 ↔ π < (2 · π)))
62	2, 21, 13, 61	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 < 2 ↔ π < (2 · π))
63	60, 62	mpbi 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π < (2 · π)
64		xrlttr 13045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
65	3, 64	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → ((𝐴 < π ∧ π < (2 · π)) → 𝐴 < (2 · π)))
66	63, 65	mpan2i 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 < (2 · π)))
67		xrltle 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < (2 · π) → 𝐴 ≤ (2 · π)))
68	66, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
69	59, 68	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ (2 · π)))
70	69	anim2d 612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
71		elicc4 13320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
72	55, 59, 71	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π))))
73	70, 72	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π))))
74	73	3impib 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
75	57, 74	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (0[,](2 · π)))
76		sin2h 37723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
77	75, 76	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
78	1, 2, 13	ltleii 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ π
79		le0neg2 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0))
80	2, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ π ↔ -π ≤ 0)
81	78, 80	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π ≤ 0
82	17	rexri 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
83		xrletr 13063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
84	82, 55, 83	mp3an12 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-π ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → -π ≤ 𝐴))
85	81, 84	mpani 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 → -π ≤ 𝐴))
86		xrltle 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
87	3, 86	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < π → 𝐴 ≤ π))
88	85, 87	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
89		elicc4 13320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
90	82, 3, 89	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (-π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
91	88, 90	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π)))
92	91	3impib 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
93	57, 92	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
94		cos2h 37724	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2)))
96	77, 95	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((sin‘(𝐴 / 2)) / (cos‘(𝐴 / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
97	54, 96	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
98		1re 11123	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	6	recoscld 16060	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
100		resubcl 11436	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
101	98, 99, 100	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
102	101	rehalfcld 12379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
103		cosbnd 16097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
104	103	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
105		recoscl 16057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
106		subge0 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
107		halfnneg2 12363	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
108	100, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
109	106, 108	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
110	98, 105, 109	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
111	104, 110	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
112	6, 111	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
113		readdcl 11100	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	98, 99, 113	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
115	103	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ≤ (cos‘𝐴))
116	98	renegcli 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
117		subge0 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
118	105, 116, 117	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
119		recn 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
120	119	coscld 16047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
121		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
122		subneg 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = ((cos‘𝐴) + 1))
123		addcom 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + 1) = (1 + (cos‘𝐴)))
124	122, 123	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
125	120, 121, 124	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) − -1) = (1 + (cos‘𝐴)))
126	125	breq2d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴) − -1) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
127	118, 126	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴))))
128	115, 127	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
129	6, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 ≤ (1 + (cos‘𝐴)))
130		snunioo 13385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π))
131	55, 3, 13, 130	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∪ (0(,)π)) = (0[,)π)
132	131	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ 𝐴 ∈ (0[,)π))
133		elun 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ({0} ∪ (0(,)π)) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
134	132, 133	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) ↔ (𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)))
135		elsni 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → 𝐴 = 0)
136		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = (cos‘0))
137		cos0 16066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
138	136, 137	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 0 → (cos‘𝐴) = 1)
139	138	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = (1 + 1))
140		df-2 12199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
141	139, 140	eqtr4di 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) = 2)
142	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → 2 ≠ 0)
143	141, 142	eqnetrd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
144	135, 143	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {0} → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
145		sinq12gt0 26463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
146		ltne 11221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (sin‘𝐴)) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
147	1, 146	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘𝐴) → (sin‘𝐴) ≠ 0)
148		elioore 13282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℝ)
149	148	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 𝐴 ∈ ℂ)
150		oveq1 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2))
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) → (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
152		df-neg 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
153	152	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (0 − 1) = (cos‘𝐴))
154		coscl 16043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
155		0cn 11115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
156		subadd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
157	155, 121, 156	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − 1) = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
159	153, 158	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 = (cos‘𝐴) ↔ (1 + (cos‘𝐴)) = 0))
160		sincl 16042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
161	160	sqcld 14058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
162		0cnd 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
163	154	sqcld 14058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
164	161, 162, 163	addcan2d 11328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = 0))
165		sincossq 16092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
166		neg1sqe1 14110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1↑2) = 1
167	165, 166	eqtr4di 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (-1↑2))
168	163	addlidd 11325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑2))
169	167, 168	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (0 + ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ (-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2)))
170		sqeq0 14034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
171	160, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (sin‘𝐴) = 0))
172	164, 169, 171	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1↑2) = ((cos‘𝐴)↑2) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
173	151, 159, 172	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
174	149, 173	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) = 0 → (sin‘𝐴) = 0))
175	174	necon3d 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝐴) ≠ 0 → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
176	147, 175	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0))
177	145, 176	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
178	144, 177	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ {0} ∨ 𝐴 ∈ (0(,)π)) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
179	134, 178	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)
180	114, 129, 179	ne0gt0d 11261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → 0 < (1 + (cos‘𝐴)))
181	114, 180	elrpd 12937	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
182	181	rphalfcld 12952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → ((1 + (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
183	102, 112, 182	sqrtdivd 15338	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) / (√‘((1 + (cos‘𝐴)) / 2))))
184	7	coscld 16047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
185		subcl 11370	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
186	121, 184, 185	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
187		addcl 11099	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
188	121, 184, 187	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
189		2cnne0 12341	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
190		divcan7 11841	. . . . 5 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
191	189, 190	mp3an3 1452	. . . 4 ⊢ (((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 + (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (cos‘𝐴)) ≠ 0)) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
192	186, 188, 179, 191	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2)) = ((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴))))
193	192	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (√‘(((1 − (cos‘𝐴)) / 2) / ((1 + (cos‘𝐴)) / 2))) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))
194	97, 183, 193	3eqtr2d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)π) → (tan‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / (1 + (cos‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  -cneg 11356   / cdiv 11785  2c2 12191  (,)cioo 13252  [,)cico 13254  [,]cicc 13255  ↑cexp 13975  ℜcre 15011  √csqrt 15147  sincsin 15977  cosccos 15978  tanctan 15979  πcpi 15980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-tan 15985  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815

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