Theorem addmodid 13013

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
2	1	mulid2d 10375	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 · 𝑀) = 𝑀)
3	2	3ad2ant2 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
4	3	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 = (1 · 𝑀))
5	4	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝑀 + 𝐴) = ((1 · 𝑀) + 𝐴))
6	5	oveq1d 6920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
7		1zzd 11736	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
8		nnrp 12125	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
9	8	3ad2ant2 1170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
10		nn0re 11628	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	11	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		nn0ge0 11645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
15		simp3 1174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 < 𝑀)
16		0xr 10403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
17		nnre 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10406	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ*)
19	18	3ad2ant2 1170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ*)
20		elico1 12506	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
21	16, 19, 20	sylancr 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
22	12, 14, 15, 21	mpbir3and 1448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ (0[,)𝑀))
23		muladdmodid 13005	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
24	7, 9, 22, 23	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((1 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
25	6, 24	eqtrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑀) → ((𝑀 + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391   ≤ cle 10392  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ℝ⁺crp 12112  [,)cico 12465   mod cmo 12963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-fl 12888  df-mod 12964

This theorem is referenced by:  addmodidr  13014  cshwidxn  13930  eucrctshift  27620  ex-mod  27864