MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodid 13888
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
addmodid ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)

Proof of Theorem addmodid
StepHypRef Expression
1 nncn 12224 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
21mullidd 11236 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘€) = ๐‘€)
323ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (1 ยท ๐‘€) = ๐‘€)
43eqcomd 2738 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ = (1 ยท ๐‘€))
54oveq1d 7426 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ + ๐ด) = ((1 ยท ๐‘€) + ๐ด))
65oveq1d 7426 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ + ๐ด) mod ๐‘€) = (((1 ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€))
7 1zzd 12597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
8 nnrp 12989 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
983ad2ant2 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
10 nn0re 12485 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110rexrd 11268 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
12113ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 nn0ge0 12501 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
14133ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
15 simp3 1138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐ด < ๐‘€)
16 0xr 11265 . . . . 5 0 โˆˆ โ„*
17 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1817rexrd 11268 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
19183ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
20 elico1 13371 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
2116, 19, 20sylancr 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
2212, 14, 15, 21mpbir3and 1342 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€))
23 muladdmodid 13880 . . 3 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€)) โ†’ (((1 ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
247, 9, 22, 23syl3anc 1371 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (((1 ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
256, 24eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  [,)cico 13330   mod cmo 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-mod 13839
This theorem is referenced by:  addmodidr  13889  cshwidxn  14763  eucrctshift  29751  ex-mod  29957
  Copyright terms: Public domain W3C validator