Theorem subfacp1lem4 34472

Description: Lemma for subfacp1 34475. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b	⊢ 𝐵 = {𝑔 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔‘𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f	⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem4	⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem5.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		f1oi 6870	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2a 34469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
12	11	simp1d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13		f1ocnv 6844	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14		f1ofn 6833	. . 3 ⊢ (◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16		f1ofn 6833	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
17	12, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	subfacp1lem1 34468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
19	18	simp2d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
20	19	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
21	20	biimpar 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22		elun 4147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
23	21, 22	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2b 34470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25		fvresi 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
26	25	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
27	24, 26	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
29	28, 27	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
30		vex 3476	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
31	30	elpr 4650	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
32	11	simp2d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
33	32	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹‘𝑀))
34	11	simp3d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36		2fveq3 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
38	36, 37	eqeq12d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
39	35, 38	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
40	34	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘1))
41	40, 32	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀)
42		2fveq3 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘𝑀)))
43		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → 𝑥 = 𝑀)
44	42, 43	eqeq12d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀))
45	41, 44	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
46	39, 45	jaod 855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
47	46	imp 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
48	31, 47	sylan2b 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
49	29, 48	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
50	23, 49	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
51	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52		f1of 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
54	53	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55		f1ocnvfv 7278	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
56	51, 54, 55	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
57	50, 56	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
58	15, 17, 57	eqfnfvd 7034	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  1c1 11113   + caddc 11115   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ...cfz 13488  ♯chash 14294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295

This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  34473