Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem4 33444
Description: Lemma for subfacp1 33447. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b 𝐵 = {𝑔𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem4 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
2 subfac.n . . . . 5 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3 subfacp1lem.a . . . . 5 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
4 subfacp1lem1.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 subfacp1lem1.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6 subfacp1lem1.x . . . . 5 𝑀 ∈ V
7 subfacp1lem1.k . . . . 5 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8 subfacp1lem5.f . . . . 5 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9 f1oi 6806 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2a 33441 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
1211simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13 f1ocnv 6780 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14 f1ofn 6769 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16 f1ofn 6769 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1712, 16syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7subfacp1lem1 33440 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1918simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
2019eleq2d 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
2120biimpar 478 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22 elun 4096 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
2321, 22sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2b 33442 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25 fvresi 7102 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2724, 26eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2827fveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2928, 27eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
30 vex 3445 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3130elpr 4597 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
3211simp2d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
3332fveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹𝑀))
3411simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
3533, 34eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36 2fveq3 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3836, 37eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
3935, 38syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4034fveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = (𝐹‘1))
4140, 32eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
42 2fveq3 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹𝑀)))
43 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑀)
4442, 43eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀))
4541, 44syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4639, 45jaod 856 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4746imp 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4831, 47sylan2b 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4929, 48jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5023, 49syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5112adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52 f1of 6768 . . . . . 6 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5453ffvelcdmda 7018 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55 f1ocnvfv 7207 . . . 4 ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5651, 54, 55syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5750, 56mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
5815, 17, 57eqfnfvd 6969 1 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2713  wne 2940  wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441  cdif 3895  cun 3896  cin 3897  c0 4270  {csn 4574  {cpr 4576  cop 4580  cmpt 5176   I cid 5518  ccnv 5620  cres 5623   Fn wfn 6475  wf 6476  1-1-ontowf1o 6479  cfv 6480  (class class class)co 7338  Fincfn 8805  1c1 10974   + caddc 10976  cmin 11307  cn 12075  2c2 12130  0cn0 12335  ...cfz 13341  chash 14146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-hash 14147
This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  33445
  Copyright terms: Public domain W3C validator