Theorem subfacp1lem4 35533

Description: Lemma for subfacp1 35536. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b	⊢ 𝐵 = {𝑔 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔‘𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f	⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem4	⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem5.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		f1oi 6845	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2a 35530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
12	11	simp1d 1155	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13		f1ocnv 6819	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14		f1ofn 6807	. . 3 ⊢ (◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16		f1ofn 6807	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
17	12, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	subfacp1lem1 35529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
19	18	simp2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
20	19	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
21	20	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22		elun 4106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
23	21, 22	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2b 35531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25		fvresi 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
26	25	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
27	24, 26	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
29	28, 27	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
30		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
31	30	elpr 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
32	11	simp2d 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
33	32	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹‘𝑀))
34	11	simp3d 1157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36		2fveq3 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
38	36, 37	eqeq12d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
39	35, 38	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
40	34	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘1))
41	40, 32	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀)
42		2fveq3 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘𝑀)))
43		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → 𝑥 = 𝑀)
44	42, 43	eqeq12d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀))
45	41, 44	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
46	39, 45	jaod 870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
47	46	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
48	31, 47	sylan2b 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
49	29, 48	jaodan 970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
50	23, 49	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
51	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52		f1of 6806	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
54	53	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55		f1ocnvfv 7262	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
56	51, 54, 55	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
57	50, 56	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
58	15, 17, 57	eqfnfvd 7014	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  {crab 3414  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   I cid 5541  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  1c1 11074   + caddc 11076   − cmin 11414  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ♯chash 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344

This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  35534