Theorem subfacp1lem4 35326

Description: Lemma for subfacp1 35329. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b	⊢ 𝐵 = {𝑔 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔‘𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f	⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem4	⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		subfac.n	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3		subfacp1lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
4		subfacp1lem1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		subfacp1lem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6		subfacp1lem1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
7		subfacp1lem1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8		subfacp1lem5.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9		f1oi 6810	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾–1-1-onto→𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2a 35323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))
12	11	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13		f1ocnv 6784	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14		f1ofn 6773	. . 3 ⊢ (◡𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16		f1ofn 6773	. . 3 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
17	12, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	subfacp1lem1 35322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
19	18	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
20	19	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
21	20	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22		elun 4103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
23	21, 22	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	subfacp1lem2b 35324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25		fvresi 7117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
27	24, 26	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
29	28, 27	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
30		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
31	30	elpr 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
32	11	simp2d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
33	32	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹‘𝑀))
34	11	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36		2fveq3 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
38	36, 37	eqeq12d 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
39	35, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
40	34	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘1))
41	40, 32	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀)
42		2fveq3 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘𝑀)))
43		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → 𝑥 = 𝑀)
44	42, 43	eqeq12d 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘𝑀)) = 𝑀))
45	41, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
46	39, 45	jaod 859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥))
47	46	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
48	31, 47	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
49	29, 48	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
50	23, 49	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
51	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52		f1of 6772	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
54	53	ffvelcdmda 7027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55		f1ocnvfv 7222	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
56	51, 54, 55	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹‘𝑥)) = 𝑥 → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
57	50, 56	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (◡𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
58	15, 17, 57	eqfnfvd 6977	1 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  {crab 3397  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   ↦ cmpt 5177   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  1c1 11025   + caddc 11027   − cmin 11362  ℕcn 12143  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  35327