Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem4 35168
Description: Lemma for subfacp1 35171. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b 𝐵 = {𝑔𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem4 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
2 subfac.n . . . . 5 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3 subfacp1lem.a . . . . 5 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
4 subfacp1lem1.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 subfacp1lem1.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6 subfacp1lem1.x . . . . 5 𝑀 ∈ V
7 subfacp1lem1.k . . . . 5 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8 subfacp1lem5.f . . . . 5 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9 f1oi 6887 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2a 35165 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
1211simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13 f1ocnv 6861 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14 f1ofn 6850 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16 f1ofn 6850 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1712, 16syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7subfacp1lem1 35164 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1918simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
2019eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
2120biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22 elun 4163 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
2321, 22sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2b 35166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25 fvresi 7193 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2724, 26eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2827fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2928, 27eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
30 vex 3482 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3130elpr 4655 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
3211simp2d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
3332fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹𝑀))
3411simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
3533, 34eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36 2fveq3 6912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3836, 37eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
3935, 38syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4034fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = (𝐹‘1))
4140, 32eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
42 2fveq3 6912 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹𝑀)))
43 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑀)
4442, 43eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀))
4541, 44syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4639, 45jaod 859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4746imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4831, 47sylan2b 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4929, 48jaodan 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5023, 49syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5112adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52 f1of 6849 . . . . . 6 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5453ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55 f1ocnvfv 7298 . . . 4 ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5651, 54, 55syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5750, 56mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
5815, 17, 57eqfnfvd 7054 1 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  cmpt 5231   I cid 5582  ccnv 5688  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  35169
  Copyright terms: Public domain W3C validator