Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem4 35188
Description: Lemma for subfacp1 35191. The function 𝐹, which swaps 1 with 𝑀 and leaves all other elements alone, is a bijection of order 2, i.e. it is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem5.b 𝐵 = {𝑔𝐴 ∣ ((𝑔‘1) = 𝑀 ∧ (𝑔𝑀) ≠ 1)}
subfacp1lem5.f 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem4 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,𝑛,𝑥,𝑦   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑔)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem4
StepHypRef Expression
1 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
2 subfac.n . . . . 5 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
3 subfacp1lem.a . . . . 5 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
4 subfacp1lem1.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 subfacp1lem1.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
6 subfacp1lem1.x . . . . 5 𝑀 ∈ V
7 subfacp1lem1.k . . . . 5 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
8 subfacp1lem5.f . . . . 5 𝐹 = (( I ↾ 𝐾) ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
9 f1oi 6886 . . . . . 6 ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾):𝐾1-1-onto𝐾)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2a 35185 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
1211simp1d 1143 . . 3 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
13 f1ocnv 6860 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
14 f1ofn 6849 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
16 f1ofn 6849 . . 3 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
1712, 16syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (1...(𝑁 + 1)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7subfacp1lem1 35184 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1918simp2d 1144 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
2019eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
2120biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
22 elun 4153 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
2321, 22sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀}))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10subfacp1lem2b 35186 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = (( I ↾ 𝐾)‘𝑥))
25 fvresi 7193 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (( I ↾ 𝐾)‘𝑥) = 𝑥)
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2827fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2928, 27eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
30 vex 3484 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3130elpr 4650 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
3211simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
3332fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = (𝐹𝑀))
3411simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
3533, 34eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1)
36 2fveq3 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹‘1)))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
3836, 37eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹‘1)) = 1))
3935, 38syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 1 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4034fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = (𝐹‘1))
4140, 32eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
42 2fveq3 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹‘(𝐹𝑀)))
43 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀𝑥 = 𝑀)
4442, 43eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀))
4541, 44syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4639, 45jaod 860 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥))
4746imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀)) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4831, 47sylan2b 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {1, 𝑀}) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4929, 48jaodan 960 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {1, 𝑀})) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5023, 49syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5112adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
52 f1of 6848 . . . . . 6 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5312, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))⟶(1...(𝑁 + 1)))
5453ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
55 f1ocnvfv 7298 . . . 4 ((𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5651, 54, 55syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥)))
5750, 56mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
5815, 17, 57eqfnfvd 7054 1 (𝜑𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632  cmpt 5225   I cid 5577  ccnv 5684  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  ...cfz 13547  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  subfacp1lem5  35189
  Copyright terms: Public domain W3C validator